2020-2021学年龙岩市高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年龙岩市高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知函数/（%）=含m-er,xG［0,+oo）,现有如下四个结论:

①函数/（x）的极大值为2e1-K；

②函数f（x）的最小值为0;

③函数/（x）在［0,b一1）上单调递减；

④函数/（x）在（百-1,+8）上单调递减.

则上述结论正确的是（）

A.②③B.①④C.②④D.①②④

顿

2.设定点M2（0,3）,动点P满足条件|PMI|+IPM2I=a+三（其中a是正常数），则点P的

贫

轨迹是（）

A.椭圆B.线段C.椭圆或线段D.不存在

3.已知向量五=（一1,1•，-1）,b=（2,0,-3）.则五•石等于（）

A.-5B.-4C.2D.1

4.甲，乙两人下棋，两人下成和棋的概率是也乙获胜的概率是右则甲获胜的概率是（）

A.|B.；C.；D.?

32636

5.“直线ax+3y+l=0与直线2x+（a+l）y+l=0平行”是“a=—3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.如果双曲线9一5=1的离心率等于2,则实数m等于（）

A.6B.14C.4D.8

7.已知函数f（x）=log2X，任取一个右€专2］使/3））＞0的概率为（）

A.iB.；C.；D.；

4243

8.直线。的方向向量编=（1,一1,1）,直线%的方向向量雨=（12-1），设直线人与％所成的角为巴

则（）

A.sinO=——B.sinO=—C.cos9———D.cos9——

3333

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.如图，已知ABCO-AiBiGDi为正方体，E,F分别是BC,aC的中点，则（）

A.A^C■—4遇）=0

B.（瓦式+瓦万+瓦办2=6CD2

C.向量砧与向量福的夹角是60°

D.异面直线EF与DDi所成的角为45°

10.2020年11月23日，中国脱贫攻坚战再传捷报，贵州省宣布紫云县、纳雍县、威宁县等9个县退

出贫困县序列，至此，贵州全省66个贫困县全部实现脱贫摘帽，标志着全国832个贫困县全部

脱贫摘帽.某研究性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭、对他们过去7年（2013年至2019

年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：千元/人）数据，绘

制折线图如图：

2013年至2019年甲、乙家庭人均纯收入（单位：千元/人）

根据如图信息，对于甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称"甲”、“乙”）情况的判断，

正确的是（）

A.过去7年，“甲”的极差小于“乙”的极差

B.过去7年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值

C.过去7年，“甲”的中位数小于“乙”的中位数

D.过去7年，“甲”的年平均增长率小于“乙”的年平均增长率

11.如图，直三棱柱ABC-aB1C1，△ABC为等腰直角三角形,4B1BC,

且4c=AAr=2,E,F分别是4C,4心的中点，。，M分别是

BBi上的两个动点，则（）

A.FM与B0一定是异面直线

B.三棱锥D-MEF的体积为定值;

C.直线&G与BD所成角为]

D.若。为的中点，则四棱锥。-BBiFE的外接球表面积为57r

12.已知抛物线E：-=4丫与圆心—+⑶―i）2=16的公共点为A,B,点P为圆C的劣弧卷上不

同于4B的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线/交抛物线E于点N,则下列四个命题中正确的

是（）

A.\AB\=2V3

B.点P纵坐标的取值范围是（3,5]

C.点N到圆心C距离的最小值为1

D.若，不经过原点，则ACPN周长的取值范围是（8,10）

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.某老师从星期一到星期五收到信件数分别为10,6,9,6,6,则该组数数据的众数为.

14.已知双曲线条一q=l（m>0）的一个焦点为&（5,0）（设另一个为尸2，P是双曲线上的一点，若

|PFi|=9,则仍尸2|=.（用数值表示）

15.已知苍=（1,一2,1）,b=（-1,2,3）.则五.»=.

16.双曲线方程为M-2y2=1,则它的焦点的坐标为.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.下面给出了根据我国2012年〜2018年水果人均占有量y（单位：kg）和年份代码x绘制的散点图和

线性回归方程的残差图（2012年〜2018年的年份代码x分别为1〜7）.

(8o我国2012年〜2018年水果人均占有显散点图

受

)7o

e6o

;5o

y4o

-4-3o

2O

xY?

234567

年份代码x

(我国2012勺:〜2()18年水果人均占仃取残圣图

富

)

於

塞

23457

年份代码x

(1)根据散点图分析y与x之间的相关关系；

(2)由散点图数据得2屋%=1074,邕=1看%=4517,求y关于x的线性回归方程；

(3)根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果.(精确到0.01)

附：回归方程夕=a+公x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=邓%：)对,S=

J乙t=ll阳x)

A

bx-

18.设命题p：函数/(%)=lg(%2-%+白。2)的定义域为R,q.\/mG［一1,1］，a2-5a-3>Vm2+8

lo

恒成立，如果命题“pvq”为真命题，且“p/\q"为假命题，求实数a的取值范围.

19.某市医院消化内科外聘知名专家，建立专家门诊.假定前来就诊每位患者的专家会诊时间是相

互独立的，且都是整数分钟.为了了解会诊情况，医院对某一天患者被会诊所需要的时间进行

了统计，其结果如下：

会诊所需时间

234567

(分钟)

频率0.10.20.30.20.10.1

从第一个患者开始被会诊时计时(用频率估计概率).

(1)估计第三个患者恰好等待6分钟开始被会诊的概率；

(2)若用X表示第4分钟末已被会诊完的患者数，求X的分布列和数学期望.

20.如图所示，在RtAABC中，Z.CAB=90°,AB=2,4C=返,一曲线E过点C,

2

动点P在曲线E上运动，且保持|P2|+|PB|的值不变，直线/经过4与曲线E交于

M,N两点.

(1)建立适当的直角坐标系，求曲线E的方程；

(2)设直线l的斜率为k,若4MBN为钝角，求k的取值范围.

21.如图，在直四棱柱4BCD—4B1GD1中，底面ABCD是平行四边形=AD=^AB=

1.

(I)求证：ADLBDV

(口)求二面角为一8。-4的大小；

(HI)在线段BD】上是否存在点M,使得DM_L平面&BC?若存在，求瞿的值；若不存在，说明理由.

22.过椭圆5+，=1的右焦点尸作斜率k=—1的直线交椭圆于4B两点,且市+而与五=(1,§共

线.

(1)求椭圆的离心率；

(2)设P为椭圆上任意一点，且加=in瓦？+n万6R)证明：/^+标为定值.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解：易知当x>0时，/(刈=江呼飞-，>0,

所以当x=0时，函数/Q)取得最小值为/(0)=0,所以②正确.

—(2x+4)(x+l)-(x2+4x)X(X+4)>1、_-(X+2)(X2+2X-2)

囚为/(X)----------------ex+,(一万)=一”语语「一，

令/'(%)=0,结合x>0可得x=V3-1，所以当xe[0,g—1)时，[(%)>0,函数f(x)单调递增；

当1,+8)时，f(x)<0,函数f(x)单调递减,

所以当％=遍一1时，函数/(x)取得极大值为/(遮—l)=2e-6,所以①④正确，③不正确.

故选：D.

研究f(x)的极值，单调性我们需要求其导函数，根据导函数与0的关系判断f(x)的性质.

本题考查利用函数的导数来研究函数的性质，难度适中.但在本题中求函数的导函数是本题的难点.

2.答案：C

解析：试题分析：:a是正常数，.•・a+->^=6,当|PMi|+|PM2|=6时，点P的轨迹是线段幅/；

当a+*>6时，点P的轨迹是椭圆，故选C..

考点：椭圆的定义.

3.答案：D

解析：解：••・向量五=(一1,1,一1)，b=(2,0,-3).

••CL,b——1x2+1x0+(-1)x(—3)—1•

故选：D.

根据空间向量数量积的坐标运算，进行计算即可.

本题考查了空间向量数量积的坐标运算问题，是基础题目.

4.答案:C

解析：解：甲，乙两人下棋，两人下成和棋的概率是土

乙获胜的概率是看

••・甲获胜的概率为：P==

Zoo

故选：C.

利用互斥事件概率加法公式直接求解.

本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

5.答案：C

解析：解：当直线ax+3y+1=0与直线2%+(a+l)y+1=0平行时，

Q(Q4-1)-2x3=0,

解得。=-3或Q=2(两直线重合，应舍去)，充分性成立；

当。=一3时，直线—3%+3y+1=0与直线2%-2y+1=0平行，必要性成立；

・・・“直线a%+3y+1=0与直线2%+(a+l)y+1=0平行”是“a=一3”的充要条件.

故选：C.

当直线ax+3y+1=0与直线2x+(a+l)y4-1=0平行时，a=-3,判断充分性成立；

当a=-3时,直线-3%+3y+1=0与直线2%-2y+1=0平行，判断必要性成立.

本题考查了两直线平行的应用问题，也考查了充分、必要条件的判定问题，是基础题目.

6.答案：A

22

解析：解：因为双曲线为——=1,所以2a=2鱼，Z?=gii,

2m

所以c=VI不沅，因为双曲线”一匕=1的离心率等于2,

2m

所以2=罕，所以m=6.

V2

故选A.

直接求出双曲线的实轴长，焦距的长，然后利用双曲线的离心率，求出m值.

本题考查双曲线的基本性质，考查基本运算能力.

7.答案：D

解析：解:由f(Xo)>0得log2%0>0,得1<XOW2,

2—12

则任取一个沏eR1,2］使/(与)>0的概率P=口=》

故选：D.

根据对数不等式的解法求出不等式的解，结合几何概型的概率公式进行计算即可.

本题主要考查几何概型的概率的计算，根据对数不等式的解法求出不等式的解是解决本题的关键.

8.答案：C

解析：解：因为直线。的方向向量石(=(1,一1,1)，直线0的方向向量诙=(L2,-1)，

所以cos<而,芯>=黑凯=一套忑=

laillailV3V63

所以cos<a^,a^>=

故选：c.

直接由公式计算两直线的方向向量的夹角，进而得出直线k与，2所成角的大小.

本题考查异面直线所成的角的求法，考查计算能力，属简单题.

9.答案:ABD

解析：

本题考查了空间向量在立体几何中的应用，解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，求出所需点

的坐标，将问题转化为空间向量的坐标表示.属于中档题.

在正方体ABCD-&B1GD1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2,根据空间向量的

坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可.

解：在正方体ABC。-&当6。1中，以点4为坐标原点，分别以4B,AD,4人为X轴、y轴、z轴建立

空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2,则4(0,0,0),4(0,0,2),8(2,0,0),8式2,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),0式0,2,2),

所以砧=(2,2,-2),不瓦一审=丽=(2,0,2).

故砧•(不瓦一羽)=不•福=4-4=0，故选项A正确；

又取；+B^B+B^C=B^A+B^C=(-2,0,-2)+(0,2,-2)=(-2,2,-4),

又而=(-2,0,0).

所以+布+成)2=4+4+16=24,6而2=24，

贝I(瓦不<+瓦片+瓦下)2=6Z7而，故选项8正确；

福=(2,0,-2),^=(0,2,2)，

所以cos<初，丽>==-i,

11依1即|皿|V4+4XV4+42

因此彳了与画的夹角为120。，故选项C错误；

因为E,尸分别是BC,&C的中点，

所以E(2,l,0),

则丽=西=(0,0,2).

所以cos<市,>—---,

'1lEFUDDilV1+1X22

又异面直线的夹角大于0°小于等于90。，

所以异面直线EF与。么所成的角为45。，故选项。正确;

故选：ABD.

10.答案：ACD

解析：解：极差是一组数据中最大的数减去最小的数，甲的极差为：4.2-3.6=0.6,乙的极差为:

4.1-3.4=0.7；故A正确；

甲的平均值为:3.6+3.7+3.6+3.7+3.8+4.0+4.226.6乙的平均数为:3.4+3.6+3.8+3.6+3.9+4.0+4.1等；故B

7—77

错误;

甲的中位数为：3.7；乙的中位数为：3.8,；故C正确;

过去7年甲的平均增长率为:--1;乙的平均增长率为:--1;故。正确;

故选：ACD.

利用统计知识的相关性质可以解决.

本题考查了统计与概率中的相关基础概念，属于基础题.

11.答案：BCD

解析：解：对于4当M与B重合时，FM与BD是相交直线，故A错误;

对于B,由已知可得14修1，又平面ABCL平面C/MiG，

•••B/"L平面C441G，

在矩形AE凡打中，△DEF的面积S=：xE尸x&F=gx2xl=l,

乂B]F=~A^C^=1,YD-MEF~KW-DEF=§x1x1=,,故B正确；

对于C,由44]_1_平面ZiBiG，得441J-BiG，

又BIGQIBI，4出0441=4,.•.BQ_L平面得直线与BD所成角为(故C正确;

对于。，由题意可知，四边形BB/E为矩形，连接BF,则矩形BB/E的外接圆的圆心为BF的中点。「

且。iF=01B=?，

过Oi作O1NJ.EF,垂足为N,连接DN,0m,则OiN=g,DN=1,O^N1DN,故。1。=?，

•••。1就是四棱锥D-BB】FE的外接球的球心，外接球的半径为R=多

则外接球的表面积为S=轨x0)2=5兀，故。正确.

故选：BCD.

根据特殊位置法判断A错误；根据三棱锥的体积公式及等体积法求三棱锥。-MEF的体积判断8；

证明BiGJ■平面判断C；求出四棱锥。-BBiFE的外接球的球心，进一步求出半径，再求出

表面积判断D.

本题考查空间两直线位置关系的判定，考查利用等体积法求多面体的体积，考查多面体外接球表面

积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题.

12.答案：BCD

解析：解：如图，

圆C：x2+(y-I)2=16的圆心坐标为C(0,l),半径r=4,与y正半轴交点为(0,5),

抛物线E：x2=4y的焦点F(0,l)与C重合，准线为y=-1,

联北力解得忆产或屋何

即4(一28,3),6(273,3).

则=故选项A错误；

•・•点P为圆C的劣弧卷上不同于4,B的一个动点，P点纵坐标yp€(3,5],故选项B正确；

圆心C即为抛物线的焦点，由抛物线定义知抛物线上的点到焦点距离最小值为]=1,故选项C正确;

直线/不经过原点，则APCN的周长为|PC|+|PN|+|NC|=r+yp+l=5+yp€(8,10),故选项。

正确.

故选：BCD.

由题意画出图形，联立圆和抛物线方程可得4、B的坐标，求得|AB|的长度判断选项A；由4、B的纵

坐标可得P的纵坐标范围判断选项B；由图象可知点N到圆心C距离的最小值判断选项C；利用转化

思想可知^PCN的周长为|PC|+\PN\+\NC\=力+5,结合的范围判断选项D.

本题考查圆与抛物线的综合，考查抛物线的性质，着重考查抛物线定义的应用，属于中档题.

13.答案：6

解析：解：根据众数的概念知，众数是一组数据中出现次数最多的数，

数据10,6,9,6,6的众数是6.

故答案为：6.

根据众数的概念知，结合该组数据，得出它的众数是什么.

本题考查了众数的概念问题，解题时应根据该组数据得出众数是什么，属于基础题.

14.答案：17或1

解析：解：••・双曲线5-苓=l(m>0)的一个焦点为0(5,0),

•••c=5,

•••a2=c2—Z>2=25—9=16,

•••a=4,

•••P为双曲线上一点，且|「&|=9,

^\\PF2\-\PFl\\=2a=8,

•••\PF2\=17,或IPF2I=1,

故答案为：17或1

根据已知条件，直接利用双曲线的定义进行求解即可.

本题主要考查了双曲线的性质，运用双曲线的定义||PFi|-|P6ll=2a,是解题的关键，属基础题.

15.答案：-2

解析：解：•：五二(1,—2,1),b=(—1,2,3)，

**•3,h=-1-4+3=—2•

故答案为：-2.

利用向量数量积的运算求解.

本题考查向量的数量积的求法，考查向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

16.答案：(±1,0)

解析：

本题主要考查双曲线的焦点坐标的求法，做题时注意判断焦点位置.属于基础题.

把双曲线方程变为标准方程，就可求出双曲线中的a,b的值，再根据双曲线中a,b,c的关系式即

可求出半焦距c的值，判断焦点位置，就可得到焦点坐标.

解：•••双曲线方程可变形为/一芋=1,

2

•••a2=1,b2—c2=1+i=I，c=—>

2222

又•••双曲线焦点在x轴上，二焦点坐标为(土日,0),

故答案为

17.答案：解：(1)由散点图可以看出，当x由小变大时，y也由小变大，从而y与久之间是正相关关系；

(2)由题中数据可得元=^(1+2+3+44-5+6+7)=4,y=^x1074«153.43,

从而务='=广跖-7三歹=4517-7XA1074X4

-222222222

X]=1Xt-7x—1+2+3+4+S+6+7-7X4

221

=—«7.89

28

a=y-b-x^153.43-7.89x4=121.87,

从而所求y关于％的线性回归方程为9=7.89X+121.87.

(3)由残差图可以看出，残差对应的点均匀地落在水平带状区域内，且宽度较窄，说明拟合效果较好.

解析：本题考查利用散点图判断两个变量的相关关系，考查求线性回归直线方程，考查学生的运算

能力，是中档题.

(1)由散点图，根据x由小变大时，y也由小变大即可判断；

(2)由已知数据求出完和歹，再根据公式求出务，,即可求解；

(3)根据残差图得残差对应的点均匀地落在水平带状区域内，且宽度较窄，即可判断.

18.答案：解：命题p：若函数f(x)=lg(x2-%+2a2)的定义域为R,

1O

则％2—%>0恒成立，

16

即判别式△=1一;a?<0,

4

即Q2>4,解得Q>2或QV-2.…(1分)

命题q：•・,m£[―1,1],.%Vm2+8G[2V2,3]•

・・・对m6[-1,1],不等式a2-5a-3N7m2+8恒成立,可得M-5a-3N3,

即/一5。一620,

・•・a>6或Q<—1.

故命题q为真命题时，Q26或a4-1....(3分)

命题“pvq”为真命题，且“pAq”为假命题，则p,q—真一假…(4分)

(1)若p真q假，则卜<-2或a>l,解得2<”6...(8分)

(-1<a<6

(—2Vav2

(2)若p假q真，则旻N6'解得一2WaW-l.“(IO分)

综上(1)(2)所述：-24aW-l或2<a<6为所求的取值范围....(12分)

解析：求出命题p,q成立的等价条件，结合命题“pVq”为真命题，且“p八q”为假命题，得到p,

q一真一假，然后进行求解即可.

本题主要考查复合命题的真假的判断，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键.

19.答案：解：(1)第三位患者恰好等待6分钟开始被会诊，说明了前两位患者会诊一个用了2分钟，

另一个用了4分钟，或前两位患者会诊各用了3分钟.

故第三个患者恰好等待6分钟开始被会诊的概率=0.1x0.3x2+0.2x0.2=0.1.

(2)用X表示第4分钟末已被会诊完的患者数X,

则由题意可得X=0,1,2,

X=0对应第1位患者会诊所需的时间超过4分钟，故P(X=0)=0.2+0.1+0.1=0.4；

X=1对应第1位患者会诊所需的时间正好为4分钟，

或第1位患者会诊所需的时间正好为2分钟而第2位患者会诊所需的时间超过2分钟，

或第1位患者会诊所需的时间正好为3分钟而第2位患者会诊所需的时间超过1分钟；

故P(X=1)=0.3+0.1X0.9+0.2X1=0.59；

X=2对应第一个患者会诊所需的时间为2分钟，且第二个患者会诊所需的时间为2分钟，

故P(X=2)=0.1x0.1=0.01；

因此X的分布列为

X012

p0.40.590.01

X的数学期望为E(X)=0x0.4+1x0.59+2x0.01=0.61.

解析：本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式，离散型随机变量的分布列与数学期望，考

查了数据处理能力，属于中档题.

(1)第三位患者恰好等待6分钟开始被会诊，说明了前两位患者会诊一个用了2分钟，另一个用了4分

钟，或前两位患者会诊各用了3分钟.利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出第三个患者

恰好等待6分钟开始被会诊的概率.

(2)用X表示第4分钟末已被会诊完的患者数X,则由题意可得X=0,1,2,即可求出结果.

20.答案：解：(1)以4B所在直线为%轴，4B的中点。为坐标原点，建立直角坐cV

标系，则4(—1,0)，B(l,0),

-'O?

由题意，可得|P4|+\PB\=\CA\+\CB\=2V2

P的轨迹为椭圆

设它的方程为m+1=l(a>b>0),则。=&,c=l

a2bL

b=y/a2-c2=1

二椭圆的方程为q+y2=i；

直线的方程为设

(2)MNy=k(%+l),W(x2,y2)

直线与椭圆方程联立，可得(1+2k2)x2+4fc2x+2(fc2-l)=0

,,,△=8k24-8>0

；•方程有两个不等的实数根

4fc22(/cz-l)

=Xi%7=

Xi1+%/?l+2k21N1+2上2

BM=(%iBN=(%21,丫2)

.•,而•丽=(%1-l.yj-(%2-1》2)=77^1

•••NMBN是钝角

■■.'BM-BN<0,即片

l+2k2

解得：一"<k<亚

77

又M、8、N三点不共线

・•・々工0

综上所述，k的取值范围是(_9,0)u(0,»

解析：(1)以4B所在直线为%轴，4B的中点。为坐标原点，建立直角坐标系，确定P的轨迹为椭圆，

即可求曲线E的方程；

(2)直线MN的方程为y=k(x+1),与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论.

本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属

于中档题.

21.答案:(1)证明:在直四棱柱4BCD-4BiGDi中，

DDi_L底面4BCD,

因为ADu底面ABCD,

所以1AD.

因为

AD1BD,BDnDDr=D,

所以ZD1平面

因为BD】u平面BDDi，

所以4。1BD「

(□)解：因为1平面ABC。，且4。1所以。4,DB,两两垂直.

如图建立空间直角坐标系。一xyz,则。(0,0,0),4(1,0,0),B(0,V3,0),C(-1,6,0)，

01(0,0,1).

设平面4BC的法向量为记=(x,y,z).福=(1,0,0),两＞=(2,-百,1)，

两'.沆=0.“谷岳一届+z=0.

令y=l,解得z=遮，

所以布=(0,1,遮).

因为叫_L平面4BCD,

所以平面4BCD的一个法向量为元=(0,0,1).

所以cos你网=岗'=尊

由题可知二面角4-BC-A为锐角，

所以二面角4-BC-4的大小为30。.

(m)解：设印/=4瓦石,4e[0,1].

因为丽=西+^^=9+2胞=(0,0,1)+A(0,V3,-l)=(0,V3A,1-A),

由(〃)知平面&BC的一个法向