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文档简介
济宁市2024年高三3月份模拟考试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,是椭圆的左、右焦点,过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列,且,则椭圆的离心率为A. B. C. D.2.向量,,且,则()A. B. C. D.3.已知圆关于双曲线的一条渐近线对称,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.4.设i是虚数单位,若复数是纯虚数,则a的值为()A. B.3 C.1 D.5.若函数,在区间上任取三个实数,,均存在以,,为边长的三角形,则实数的取值范围是()A. B. C. D.6.关于函数在区间的单调性,下列叙述正确的是()A.单调递增 B.单调递减 C.先递减后递增 D.先递增后递减7.要得到函数的导函数的图像,只需将的图像()A.向右平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍B.向右平移个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的倍C.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的倍D.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍8.已知命题p:若,,则;命题q:,使得”,则以下命题为真命题的是()A. B. C. D.9.在中,角所对的边分别为,已知,则()A.或 B. C. D.或10.已知数列满足:)若正整数使得成立,则()A.16 B.17 C.18 D.1911.如图,这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图,则下列说法不正确的是()A.甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B.甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C.甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D.甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是10312.中国的国旗和国徽上都有五角星,正五角星与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的正五角星中,以、、、、为顶点的多边形为正五边形,且,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知复数(为虚数单位),则的模为____.14.抛物线的焦点到准线的距离为.15.设,则“”是“”的__________条件.16.某地区连续5天的最低气温(单位:℃)依次为8,,,0,2,则该组数据的标准差为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)解不等式;(2)记函数的最小值为,正实数、满足,求证:.18.(12分)2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动,治疗特种病的创新药研发成了当务之急.为此,某药企加大了研发投入,市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用(百万元)和销量(万盒)的统计数据如下:研发费用(百万元)2361013151821销量(万盒)1122.53.53.54.56(1)求与的相关系数精确到0.01,并判断与的关系是否可用线性回归方程模型拟合?(规定:时,可用线性回归方程模型拟合);(2)该药企准备生产药品的三类不同的剂型,,,并对其进行两次检测,当第一次检测合格后,才能进行第二次检测.第一次检测时,三类剂型,,合格的概率分别为,,,第二次检测时,三类剂型,,合格的概率分别为,,.两次检测过程相互独立,设经过两次检测后,,三类剂型合格的种类数为,求的数学期望.附:(1)相关系数(2),,,.19.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程是为参数),曲线的参数方程是为参数),以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线和曲线的极坐标方程;(2)已知射线与曲线交于两点,射线与直线交于点,若的面积为1,求的值和弦长.20.(12分)已知数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,证明:.21.(12分)某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验,并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据,且作了一定的数据处理(如表),得到了散点图(如图).表中,.(1)根据散点图判断,与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型?(不必说明理由)(2)根据判断结果和表中数据,建立y关于x的回归方程;(3)若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比,那么x为多少时,烧开一壶水最省煤气?附:对于一组数据,,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.22.(10分)已知等差数列中,,数列的前项和.(1)求;(2)若,求的前项和.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
如图所示,设依次构成等差数列,其公差为.根据椭圆定义得,又,则,解得,.所以,,,.在和中,由余弦定理得,整理解得.故选D.2、D【解析】
根据向量平行的坐标运算以及诱导公式,即可得出答案.【详解】故选:D【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用,属于中档题.3、C【解析】
将圆,化为标准方程为,求得圆心为.根据圆关于双曲线的一条渐近线对称,则圆心在渐近线上,.再根据求解.【详解】已知圆,所以其标准方程为:,所以圆心为.因为双曲线,所以其渐近线方程为,又因为圆关于双曲线的一条渐近线对称,则圆心在渐近线上,所以.所以.故选:C【点睛】本题主要考查圆的方程及对称性,还有双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题.4、D【解析】
整理复数为的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解.【详解】由题,,因为纯虚数,所以,则,故选:D【点睛】本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算.5、D【解析】
利用导数求得在区间上的最大值和最小,根据三角形两边的和大于第三边列不等式,由此求得的取值范围.【详解】的定义域为,,所以在上递减,在上递增,在处取得极小值也即是最小值,,,,,所以在区间上的最大值为.要使在区间上任取三个实数,,均存在以,,为边长的三角形,则需恒成立,且,也即,也即当、时,成立,即,且,解得.所以的取值范围是.故选:D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值,考查恒成立问题的求解,属于中档题.6、C【解析】
先用诱导公式得,再根据函数图像平移的方法求解即可.【详解】函数的图象可由向左平移个单位得到,如图所示,在上先递减后递增.故选:C【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.7、D【解析】
先求得,再根据三角函数图像变换的知识,选出正确选项.【详解】依题意,所以由向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到的图像.故选:D【点睛】本小题主要考查复合函数导数的计算,考查诱导公式,考查三角函数图像变换,属于基础题.8、B【解析】
先判断命题的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案.【详解】,,因为,,所以,所以,即命题p为真命题;画出函数和图象,知命题q为假命题,所以为真.故选:B.【点睛】本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题的真假,难度较易.9、D【解析】
根据正弦定理得到,化简得到答案.【详解】由,得,∴,∴或,∴或.故选:【点睛】本题考查了正弦定理解三角形,意在考查学生的计算能力.10、B【解析】
计算,故,解得答案.【详解】当时,,即,且.故,,故.故选:.【点睛】本题考查了数列的相关计算,意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.11、D【解析】
计算两班的平均值,中位数,方差得到正确,两班人数不知道,所以两班的总平均分无法计算,错误,得到答案.【详解】由题意可得甲班的平均分是104,中位数是103,方差是26.4;乙班的平均分是102,中位数是101,方差是37.6,则A,B,C正确.因为甲、乙两班的人数不知道,所以两班的总平均分无法计算,故D错误.故选:.【点睛】本题考查了茎叶图,平均值,中位数,方差,意在考查学生的计算能力和应用能力.12、A【解析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义,便可解决问题.【详解】解:.故选:A【点睛】本题以正五角星为载体,考查平面向量的概念及运算法则等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】,所以.14、【解析】试题分析:由题意得,因为抛物线,即,即焦点到准线的距离为.考点:抛物线的性质.15、充分必要【解析】
根据充分条件和必要条件的定义可判断两者之间的条件关系.【详解】当时,有,故“”是“”的充分条件.当时,有,故“”是“”的必要条件.故“”是“”的充分必要条件,故答案为:充分必要.【点睛】本题考查充分必要条件的判断,可利用定义来判断,也可以根据两个条件构成命题及逆命题的真假来判断,还可以利用两个条件对应的集合的包含关系来判断,本题属于容易题.16、【解析】
先求出这组数据的平均数,再求出这组数据的方差,由此能求出该组数据的标准差.【详解】解:某地区连续5天的最低气温(单位:依次为8,,,0,2,平均数为:,该组数据的方差为:,该组数据的标准差为1.故答案为:1.【点睛】本题考查一组数据据的标准差的求法,考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)见解析.【解析】
(1)分、、三种情况解不等式,综合可得出原不等式的的解集;(2)利用绝对值三角不等式可求得函数的最小值为,进而可得出,再将代数式与相乘,利用基本不等式求得的最小值,进而可证得结论成立.【详解】(1)当时,由,得,即,解得,此时;当时,由,得,即,解得,此时;当时,由,得,即,解得,此时.综上所述,不等式的解集为;(2),当且仅当时取等号,所以,.所以,当且仅当,即,时等号成立,所以.所以,即.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解,同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立,涉及绝对值三角不等式的应用,考查运算求解能力,属于中等题.18、(1)0.98;可用线性回归模型拟合.(2)【解析】
(1)根据题目提供的数据求出,代入相关系数公式求出,根据的大小来确定结果;(2)求出药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率,发现它们相同,那么经过两次检测后,,三类剂型合格的种类数为,服从二项分布,利用二项分布的期望公式求解即可.【详解】解:(1)由题意可知,,由公式,,∴与的关系可用线性回归模型拟合;(2)药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为,,,由题意,,.【点睛】本题考查相关系数的求解,考查二项分布的期望,是中档题.19、(1),;(2).【解析】
(1)先把直线和曲线的参数方程化成普通方程,再化成极坐标方程;(2)联立极坐标方程,根据极径的几何意义可得,再由面积可解得极角,从而可得.【详解】(1)直线的参数方程是为参数),消去参数得直角坐标方程为:.转换为极坐标方程为:,即.曲线的参数方程是(为参数),转换为直角坐标方程为:,化为一般式得化为极坐标方程为:.
(2)由于,得,.所以,所以,由于,所以,所以.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化,熟记公式即可,属于常考题型.20、(1)(2)证明见解析【解析】
(1),①当时,,②两式相减即得数列的通项公式;(2)先求出,再利用裂项相消法求和证明.【详解】(1)解:,①当时,.当时,,②由①-②,得,因为符合上式,所以.(2)证明:因为,所以.【点睛】本题主要考查数列通项的求法,考查数列求和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21、(1)更适宜(2)(3)x为2时,烧开一壶水最省煤气【解析】
(1)根据散点图是否按直线型分布作答;(2)根据回归系数公式得出y关于的线性回归方程,再得出y关于x的回归方程;(3)利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件.【详解】(1)更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型.(2)由公式可得:,,所以所求回归方程为.(3)设,则煤气用量,当且仅当时取“”,即时,煤气用量最小.故x为2时,烧开一壶水最省煤气.【点睛】
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