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文档简介
陕西省延安市宝塔四中2024届高考数学必刷试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图是国家统计局公布的年入境游客(单位:万人次)的变化情况,则下列结论错误的是()A.2014年我国入境游客万人次最少B.后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C.这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D.前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差2.已知集合,,若,则()A.4 B.-4 C.8 D.-83.已知函数,当时,的取值范围为,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.4.记集合和集合表示的平面区域分别是和,若在区域内任取一点,则该点落在区域的概率为()A. B. C. D.5.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1),充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平,也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春(秋)分”,“夏(冬)至”的示意图,图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计),夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角.由历法理论知,黄赤交角近1万年持续减小,其正切值及对应的年代如下表:黄赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息,通过计算黄赤交角,可估计该骨笛的大致年代是()A.公元前2000年到公元元年 B.公元前4000年到公元前2000年C.公元前6000年到公元前4000年 D.早于公元前6000年6.已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则|FA|=()A.1 B.2 C.3 D.47.若函数的图象如图所示,则的解析式可能是()A. B. C. D.8.抛物线的准线与轴的交点为点,过点作直线与抛物线交于、两点,使得是的中点,则直线的斜率为()A. B. C.1 D.9.已知曲线且过定点,若且,则的最小值为().A. B.9 C.5 D.10.函数在上的大致图象是()A. B.C. D.11.已知函数,若对于任意的,函数在内都有两个不同的零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.12.阿基米德(公元前287年—公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家,他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说,他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二,并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论,要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球,如图,该球顶天立地,四周碰边,表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则该球的体积为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.直线是圆:与圆:的公切线,并且分别与轴正半轴,轴正半轴相交于,两点,则的面积为_________14.已知函数是定义在上的奇函数,其图象关于直线对称,当时,(其中是自然对数的底数,若,则实数的值为_____.15.数学家狄里克雷对数论,数学分析和数学物理有突出贡献,是解析数论的创始人之一.函数,称为狄里克雷函数.则关于有以下结论:①的值域为;②;③;④其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号)16.角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(1,2),则sin(π﹣α)的值是_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列,其前项和为,满足,,其中,,,.⑴若,,(),求证:数列是等比数列;⑵若数列是等比数列,求,的值;⑶若,且,求证:数列是等差数列.18.(12分)已知中心在原点的椭圆的左焦点为,与轴正半轴交点为,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明:当时,直线过定点.19.(12分)选修4—5;不等式选讲.已知函数.(1)若的解集非空,求实数的取值范围;(2)若正数满足,为(1)中m可取到的最大值,求证:.20.(12分)已知椭圆与抛物线有共同的焦点,且离心率为,设分别是为椭圆的上下顶点(1)求椭圆的方程;(2)过点与轴不垂直的直线与椭圆交于不同的两点,当弦的中点落在四边形内(含边界)时,求直线的斜率的取值范围.21.(12分)团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式,不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在市开展了团购业务,市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况,从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查,他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.(1)从所调查的50家商家中任选两家,求他们加入团购网站的数量不相等的概率;(2)从所调查的50家商家中任取两家,用表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值,求随机变量的分布列和数学期望;(3)将频率视为概率,现从市随机抽取3家已加入团购网站的商家,记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为,试求事件“”的概率.22.(10分)设(1)证明:当时,;(2)当时,求整数的最大值.(参考数据:,)
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
ABD可通过统计图直接分析得出结论,C可通过计算中位数判断选项是否正确.【详解】A.由统计图可知:2014年入境游客万人次最少,故正确;B.由统计图可知:后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势,故正确;C.入境游客万人次的中位数应为与的平均数,大于万次,故正确;D.由统计图可知:前年的入境游客万人次相比于后年的波动更大,所以对应的方差更大,故错误.故选:D.【点睛】本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解,难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图,分析出对应的信息,对学生分析问题的能力有一定要求.2、B【解析】
根据交集的定义,,可知,代入计算即可求出.【详解】由,可知,又因为,所以时,,解得.故选:B.【点睛】本题考查交集的概念,属于基础题.3、C【解析】
求导分析函数在时的单调性、极值,可得时,满足题意,再在时,求解的x的范围,综合可得结果.【详解】当时,,令,则;,则,∴函数在单调递增,在单调递减.∴函数在处取得极大值为,∴时,的取值范围为,∴又当时,令,则,即,∴综上所述,的取值范围为.故选C.【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法,考查了分段函数的性质,属于难题.4、C【解析】
据题意可知,是与面积有关的几何概率,要求落在区域内的概率,只要求、所表示区域的面积,然后代入概率公式,计算即可得答案.【详解】根据题意可得集合所表示的区域即为如图所表示:的圆及内部的平面区域,面积为,集合,,表示的平面区域即为图中的,,根据几何概率的计算公式可得,故选:C.【点睛】本题主要考查了几何概率的计算,本题是与面积有关的几何概率模型.解决本题的关键是要准确求出两区域的面积.5、D【解析】
先理解题意,然后根据题意建立平面几何图形,在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角,即黄赤交角,即可得到正确选项.【详解】解:由题意,可设冬至日光与垂直线夹角为,春秋分日光与垂直线夹角为,则即为冬至日光与春秋分日光的夹角,即黄赤交角,将图3近似画出如下平面几何图形:则,,.,估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年.故选:.【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力,运用了两角和与差的正切公式,考查了转化思想,数学建模思想,以及数学运算能力,属中档题.6、C【解析】
方法一:设,利用抛物线的定义判断出是的中点,结合等腰三角形的性质求得点的横坐标,根据抛物线的定义求得,进而求得.方法二:设出两点的横坐标,由抛物线的定义,结合求得的关系式,联立直线的方程和抛物线方程,写出韦达定理,由此求得,进而求得.【详解】方法一:由题意得抛物线的准线方程为,直线恒过定点,过分别作于,于,连接,由,则,所以点为的中点,又点是的中点,则,所以,又所以由等腰三角形三线合一得点的横坐标为,所以,所以.方法二:抛物线的准线方程为,直线由题意设两点横坐标分别为,则由抛物线定义得又①②由①②得.故选:C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义,考查直线和抛物线的位置关系,属于中档题.7、A【解析】
由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.【详解】对于选项B,为奇函数可判断B错误;对于选项C,当时,,可判断C错误;对于选项D,,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D错误;故选:A.【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.8、B【解析】
设点、,设直线的方程为,由题意得出,将直线的方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,结合可求得的值,由此可得出直线的斜率.【详解】由题意可知点,设点、,设直线的方程为,由于点是的中点,则,将直线的方程与抛物线的方程联立得,整理得,由韦达定理得,得,,解得,因此,直线的斜率为.故选:B.【点睛】本题考查直线斜率的求解,考查直线与抛物线的综合问题,涉及韦达定理设而不求法的应用,考查运算求解能力,属于中等题.9、A【解析】
根据指数型函数所过的定点,确定,再根据条件,利用基本不等式求的最小值.【详解】定点为,,当且仅当时等号成立,即时取得最小值.故选:A【点睛】本题考查指数型函数的性质,以及基本不等式求最值,意在考查转化与变形,基本计算能力,属于基础题型.10、D【解析】
讨论的取值范围,然后对函数进行求导,利用导数的几何意义即可判断.【详解】当时,,则,所以函数在上单调递增,令,则,根据三角函数的性质,当时,,故切线的斜率变小,当时,,故切线的斜率变大,可排除A、B;当时,,则,所以函数在上单调递增,令,,当时,,故切线的斜率变大,当时,,故切线的斜率变小,可排除C,故选:D【点睛】本题考查了识别函数的图像,考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义,属于中档题.11、D【解析】
将原题等价转化为方程在内都有两个不同的根,先求导,可判断时,,是增函数;当时,,是减函数.因此,再令,求导得,结合韦达定理可知,要满足题意,只能是存在零点,使得在有解,通过导数可判断当时,在上是增函数;当时,在上是减函数;则应满足,再结合,构造函数,求导即可求解;【详解】函数在内都有两个不同的零点,等价于方程在内都有两个不同的根.,所以当时,,是增函数;当时,,是减函数.因此.设,,若在无解,则在上是单调函数,不合题意;所以在有解,且易知只能有一个解.设其解为,当时,在上是增函数;当时,在上是减函数.因为,方程在内有两个不同的根,所以,且.由,即,解得.由,即,所以.因为,所以,代入,得.设,,所以在上是增函数,而,由可得,得.由在上是增函数,得.综上所述,故选:D.【点睛】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题,构造函数法,导数法研究函数增减性与最值关系,转化与化归能力,属于难题12、C【解析】
设球的半径为R,根据组合体的关系,圆柱的表面积为,解得球的半径,再代入球的体积公式求解.【详解】设球的半径为R,根据题意圆柱的表面积为,解得,所以该球的体积为.故选:C【点睛】本题主要考查组合体的表面积和体积,还考查了对数学史了解,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据题意画出图形,设,利用三角形相似求得的值,代入三角形的面积公式,即可求解.【详解】如图所示,设,由与相似,可得,解得,再由与相似,可得,解得,由三角形的面积公式,可得的面积为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,以及三角形相似的应用,着重考查了数形结合思想,以及推理与运算能力,属于基础题.14、【解析】
先推导出函数的周期为,可得出,代值计算,即可求出实数的值.【详解】由于函数是定义在上的奇函数,则,又该函数的图象关于直线对称,则,所以,,则,所以,函数是周期为的周期函数,所以,解得.故答案为:.【点睛】本题考查利用函数的对称性计算函数值,解题的关键就是结合函数的奇偶性与对称轴推导出函数的周期,考查推理能力与计算能力,属于中等题.15、②【解析】
根据新定义,结合实数的性质即可判断①②③,由定义求得比小的有理数个数,即可确定④.【详解】对于①,由定义可知,当为有理数时;当为无理数时,则值域为,所以①错误;对于②,因为有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数,所以满足,所以②正确;对于③,因为,当为无理数时,可以是有理数,也可以是无理数,所以③错误;对于④,由定义可知,所以④错误;综上可知,正确的为②.故答案为:②.【点睛】本题考查了新定义函数的综合应用,正确理解题意是解决此类问题的关键,属于中档题.16、【解析】
计算sinα,再利用诱导公式计算得到答案.【详解】由题意可得x=1,y=2,r,∴sinα,∴sin(π﹣α)=sinα.故答案为:.【点睛】本题考查了三角函数定义,诱导公式,意在考查学生的计算能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)(3)见解析【解析】试题分析:(1)(),所以,故数列是等比数列;(2)利用特殊值法,得,故;(3)得,所以,得,可证数列是等差数列.试题解析:(1)证明:若,则当(),所以,即,所以,又由,,得,,即,所以,故数列是等比数列.(2)若是等比数列,设其公比为(),当时,,即,得,①当时,,即,得,②当时,,即,得,③②①,得,③②,得,解得.代入①式,得.此时(),所以,是公比为1的等比数列,故.(3)证明:若,由,得,又,解得.由,,,,代入得,所以,,成等差数列,由,得,两式相减得:即所以相减得:所以所以,因为,所以,即数列是等差数列.18、(1);(2)见解析.【解析】
(1)在中,计算出的值,可得出的值,进而可得出的值,由此可得出椭圆的标准方程;(2)设点、,设直线的方程为,将该直线方程与椭圆方程联立,列出韦达定理,根据已知条件得出,利用韦达定理和斜率公式化简得出与所满足的关系式,代入直线的方程,即可得出直线所过定点的坐标.【详解】(1)在中,,,,,,,,因此,椭圆的标准方程为;(2)由题不妨设,设点,联立,消去化简得,且,,,,,∴代入,化简得,化简得,,,,直线,因此,直线过定点.【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了椭圆中直线过定点的问题,考查计算能力,属于中等题.19、(1);(2)见解析.【解析】试题分析:(1)讨论三种情况去绝对值符号,可得所以,由此得,解得;(2)利用分析法,由(1)知,,所以,因为,要证,只需证,即证,只需证即可得结果.试题解析:(1)去绝对值符号,可得所以,所以,解得,所以实数的取值范围为.(2)由(1)知,,所以.因为,所以要证,只需证,即证,即证.因为,所以只需证,因为,∴成立,所以解法二:x2+y2=2,x、y∈R+,x+y≥2xy设:证明:x+y-2xy==令,∴原式====当时,20、(1)(2)或【解析】
(1)由已知条件得到方程组,解得即可;(2)由题意得直线的斜率存在,设直线方程为,联立直线与椭圆方程,消元、列出韦达定理,由得到的范围,设弦中点坐标为则,所以在轴上方,只需位于内(含边界)就可以,即满足,得到不等式组,解得即可;【详解】解:(1)由已知椭圆右焦点坐标为,离心率为,,,所以椭圆的标准方程为;(2)由题意得直线的斜率存在,设直线方程为联立,消元整理得,,由,解得设弦中点坐标为,所以在轴上方,只需位于内(含边界)就可以,即满足,即,解得或【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质,直线与椭圆的综合应用,考查了推理能力
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