2020高考数学核心突破《四　数列、推理与证明》(含往年真题分析)

专题四数列、推理与证明

高频考点--------------------------备考策略

1.充分理解数列的概念和递推公式.

2.掌握等差、等比数列的概念及相关公式和性

1.等差数列、等比数列的概念、通项公式、前质.

"项和公式，等差、等比数列的性质.3.加强基本问题的训练，熟练灵活运用相关公

2.数列的递推公式的理解、递推思想.式.

3.数列求和的思想和方法.4.对于数列综合问题，通常用常规方法分层推

4.归纳推理、演绎推理和证明.

进.

5.以合情推理为重点，加强归纳和类比方面的

练习.

第1讲数列

①有关等差数列的计算与证明［例］（2017•北京卷，10）（2016•浙江卷，6）

设问［例］（2017•全国卷HI,14）（2016•全国卷III,

②有关等比数列的计算与证明

方式17）

③有关数列的综合问题例］（2017•浙江卷,22）（2016•江苏卷，20）

①根据条件判定属于哪一类数列问题.

审题

②关注结论，寻求解决问题的方法.

要点

③注意题设条件，并挖掘隐含条件.

①等差、等比数列的通项及求和问题：判断类型f确定公式

判断结构|~>|乘公比|->|错位相减|

解题a.可用错位相减法求和的问题：f1求和1

模板

b.可用裂项相消法求和的问题：判断结构一裂开为连续两项之差f求和

③有关数列的综合问题：仔细审题—►转化成等差或等比数列问题

・热点题型突破

题型一等差、等比数列的基本运算

高考中常从以下角度命题：

命题⑴等差(比)数列中a,n,d(或g),&,£的计算;

规律(2)等差、等比数列的交汇运算.

选择题、填空题、解答题均有考查，难度中等.

关于等差(比)数列的基本运算，一般通过其通项公式和前〃项和公式构造关于

方法

4/1和d(或/的方程或方程组解决.在求解过程中还要灵活运用等差(比)数列的性

点拨

质.

II突破题组II

1.(1)(2017・广东广州模拟)设等比数列｛斯｝的前"项和为S,("GN*),若S3,S9,兴成等

差数列，则〃一的值是|.

(2)将数列｛斯｝按如图所示的规律排成一个三角形表，并同时满足以下两个条件：

。2

〃5。6。7。9

①各行的第一个数0，。2,。5,…构成公差为d的等差数列；

②从第二行起，每行各数按从左到右的顺序构成公比为q的等比数列.

若“1=1,<73—4,4/5=3,则d=1>第n行的和T”='-1).

突破点拨

(1)依题意设出基本元素，列方程求解.

(2)弄清数表的排列规律，判断其数列的构成，求出公差或公比以及数列的项数，问题

可解.

解析⑴F，阳,&成等差数列，“9=53+56,且户1.由驾铲=咕>

0（1一统）解得/*=一；,则_43_.=.-9%=!

i~~q4/2+051+q~2-

(2)根据题意得45=0+24.•.3=l+2d,；・d=l.又•••。3=024=(〃1+①q,〃・q=2,，二

q的值分别为1,2.记第拉行第1个数为A,则4=〃]+(〃-1)"=〃.又根据此数表的排列规律可

知：每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，J第〃行共有2〃一1个数，

yi(I—22”')

・•・第〃行各数为以〃为首项，4=2为公比的等比数列，因此其总数的和Tn=1L2

-n.

2.（2017•浙江宁波模拟）已知正项等差数列｛如｝的前"项和为S“，且满足G+痣*屈,

$7=63.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）若数列｛儿｝满足区=0,m1-6“=如+1，求数列圈的前”项和7；“

—突破点拨

（1）先求出首项和公差，再求出通项公式.

（2）先求仇,再利用裂项相消法求

解析（1）设正项等差数列｛册｝的公差为d,

-2

ci\+m+4d=式〃]+2d）2,

则由题意得J7

,7«i+21J=63,

"1C

a\+21=次。］+2J):

即j

Oi+3d=9,

又〈〃〃〉。，.二6=S+26f>0,

m+2d=7,pi=3,

m+3d=9,・1d=2,

・・・斯=3+(〃-1)X2=2〃+1(〃£N*).

(2)Vbn+\—bn=an+\,且m=2〃+l,

:.bn+\—b“=2〃+3.

当一22时，bn=—瓦-。+(bn-i一bn-2)T---卜(•一")+>=(2九+1)+(2九-1)1-----卜5

+3=〃(〃+2),

又当〃=1时，6=3满足上式，

，"?=〃(九+2)(〃£N").

/=_

99

bn〃(〃+2)式〃n+2)'

•.•T+t+…+£

l/iJ-k3.2n+3

2V2n+1n+2)42(ir+3n+2)'

・解题小结।

数列中的方程思想

等差（比）数列的通项公式、求和公式中含“1,4（或q）,n,a”和S,这五个量，如果已知

其中的三个，就可以求其余的两个.其中功和或或q）是两个基本量，所以等差（比）数列的

基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组,

通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现.

题型二等差、等比数列的性质

高考中常从以下角度命题：

命题(1)等差、等比数列的性质；

规律

(2)等差、等比数列和的性质.

多为选择、填空题，难度中等，小巧灵活.

方法解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些

点拨特点入手选择恰当的性质进行求解，“巧用性质、整体考虑、减少运算量”.

II突破题组II

1.(1)(2017•河南郑州模拟)已知等比数列｛〃〃｝满足0=:,〃3的=4(44—1)，则〃2=(c)

A.2B.1

C，2D.1

(2)(2017・山东烟台模拟)设等差数列｛〃〃｝的公差为d.若数歹为递减数列，则

(C)

A.d<0B.d>0

C.a\d<0D.a\d>0

4突破点拨

(1)根据等比数列的性质，结合已知条件求出44与公比今后求解.

(2)把2切斯看成一个整体劣，利用递减数列的关系式与>儿+］求解.

解析(1)设｛〃”｝的公比为q,

因为的。5=届，。3。5=4(。4—1),

所以届=4(〃4—1),

所以曷―4。4+4=0,所以44=2.

又因为/或=j=8

所以q=2,所以〃2=mq=；X2=；.故选C.

(2)设④=2。1。叼则—+1=2。1斯+i,由于｛2的斯｝是递减数列，则。〃>b〃+i,即斯

+1.因为y=2"是单调递增函数，所以a[an>a\an+\9所以a\an—a\(an+d)>0,所以m(〃〃一〃”一

J)>0,即。所以md〈O.故选C.

2.(1)(2017・河北唐山统考)设S.是等比数列｛斯｝的前〃项和，若3=3,则3=(B)

32J4

昂D.1或2

1+斯

(2)(2018•山西大同模拟)已知数列｛m｝满足0=2,an+l=-—^(ne^),则该数列的前2

018项的乘积12「砂43...a?oiR---6..

一突破点拨

(1)利用S2,S4-S2,S6—S4成等比数列求解.

(2)多次求解，发现周期性特征.

解析(1)设S2=Z,Si=3k,由数列｛%｝为等比数列，得S2,S4-S2,S6-S4为等比数列,

:.Si=k,S4—$2=2/,Sf>—S4=4k,；.S6=7&,.•噂=卷=，.故选B.

二数列｛如｝是以4为周期的数列，且0%2y4=2X(—3)X(-4)X3=1,而2018=

4X504+2,

.,.前2018项乘积为S“2=2X(-3)=-6.

题型三等差、等比数列的判定与证明

一"高考中常从以下角度命题：

命题(1)数列的前〃项和S.与通项如的关系；

规律(2)等差(比)数列的判定与证明.

多为解答题，难度中等.

(1)证明｛斯｝是等差数列的两种常用方法：

①利用定义，证明a“+i—a”(〃GN*)为一常数；

方法②利用等差中项，即证明2%=小一]+如+1。722).

点拨(2)证明｛斯｝是等比数列的两种常用方法：

①利用定义，证明等ZzGN*)为一常数；

②利用等比中项，即证明显=%-|知+|(〃22)

II突破题组II

=

1.(2017•江西重点中学协作体联考)已知数列｛%｝满足0=1,的=5,an+22an+]—an

+1.

(1)设儿=%+1—斯，证明：｛与｝是等差数列，并求｛儿｝的通项公式；

(2)设c”=tanbn-tanbn+\,求数列｛金｝的前几项和Sn.

＞突破点拨

(1)由递推公式及劣=如+1—〃〃变换.

(2)由两角差的正切公式将tan-+i转化为~号空一l=J~y(tand+]—tan

tan(Z?n+i-bn)tan1

bn)~ly再求和.

解析(1)由知+2=2〃〃+]—〃〃+1,得

(。〃+2-斯+1)—(如+1—〃〃)=1.

又b〃-a〃+i—%,即bn+i—bn—1,

・•・｛儿｝为等差数列，且首项为。1=。2—。1=4,

・,・儿=/?]+(〃-l)Xl="+3.

tan为+Ltan为

(2)・.・tanS〃+i—力〃)=tan1,

1+tantanbn

,,tanZ?M+i-tanbn

••tan为+「tanb=---------j-------------1,

ntail1

.,,tanb+\-tmb

・・c=tantanb+\=nfjn-1

wnidiii

tan(〃+4)-tan(〃+3)

=tarilX,

.tan(〃+4)—tan4

'S产tan1f

2.(2017-山西太原二模)已知数列｛4“｝满足0=5,。2=5,。“+|=%+6斯-1(”22,nSN*).

(1)求证：｛斯+1+2%｝是等比数列；

(2)求数列｛”“｝的通项公式.

一突破点拨

=

(1)将已知an+\—an+-11+2an3(〃”+2〃”-1)易证.

⑵由⑴中的结论先将斯+i+2a〃=5X3”变形为知+i-3"+i=-2%+2X3”=—23〃—3〃),

进而求解.

解析(1)证明：因为斯+尸斯+6斯t(〃为2,〃£N*),

所以an+\~\-2an=3tzZj+6an-1=3(an+2an-i)(n^2,z?GN*).

又〃i=5,〃2=5,所以〃2+2〃I=15,

Io

所以为+2斯一1#0(〃》2),所以斯二斯=3(〃22),

an-\~lan-\

所以数列｛斯+i+2a“｝是以15为首项，3为公比的等比数列.

(2)由(1)得知+|+2斯=15X3"1=5X3”,

则知+i=—2斯+5X3”,

所以如+1—3"+|=一2(斯一3").

又因为”|—3=2,所以斯一3"#0,

所以｛斯一3"｝是以2为首项，一2为公比的等比数列.

所以斯一3"=2X(-2)"-i,

即a,,=2X(-2),,-1+3M(neN*).

■解题小结।

判断数列等差(等比)的注意事项

(1)判断一个数列是等差(等比)数列除用定义外，还有通项公式法及前”项和公式法，但

不能作为证明方法.

(2)等="和屈=斯-1%+1(”22,〃^^)都是｛小｝为等比数列的必要不充分条件，判断

时要注意各项不为0.

题型四数列的综合问题

高考中常从以下角度命题：

命题(1)等差、等比数列的综合运算问题；

规律

(2)数列的求和问题.

一般为解答题，难度中等.

(1)数列问题中的重点是等差数列和等比数列，高考中有关数列的解答题一般都

是等差数列和等比数列的综合题，解答这类题的关键是熟悉等差、等比数列的

通项公式和前八项和公式，根据已知条件列出正确的方程或方程组，求出数列

的基本量.

方法

点拨(2)非等差、等比数列问题需转化为等差、等比数列问题，并结合函数与方程的

思想方法分析、解决问题.

(3)特殊数列求和的常见方法：

①分组求和；②裂项相消；③错位相减.

II突破题组II

1.(2017•安徽“淮南十校”二模)已知数列｛%｝中，a2=a(a为非零常数)，其前n项和

S„满足S,=-^―eN).

(1)求数列｛以｝的通项公式；

(2)若”=2,且44一So=11,求〃?，〃的值；

(3)是否存在实数a,从使得对任意正整数P，数列｛如｝中满足蜘+bWp的最大项恰为

第3P—2项？若存在，分别求出。与匕的取值范围；若不存在，请说明理由.

＞突破点拨

(1)可证明数列｛小｝是等差数列.

(2)化简方程，注意到〃?，〃均为正整数，以质数的性质可求解.

(3)分类讨论.

解析(1)由已知，得0=s=L@尸。=0,;.s产号.

.c(»+l)g„+|

•,品+1-2:.2(Sn+\—S〃)=(〃+1)〃〃+1—nan,

即(n-1)〃,?+1=nafl,〃斯+2=(〃+1)〃,1+1,

两式相减，得2a〃+i=〃〃+2+a〃，

即斯+1一知=%+2-an+b〃£N*,

故数列｛劣｝是等差数列.

又•・•〃]=0,ci2=cif；•ci〃=(n-1)ci.

(2)若。=2,则a〃=2(〃-1),.*.S/j=n(«—1).

由(晶一S?=ll,得/—〃+ll=(m—1产，

即4(m一一(2〃-1)2=43,

(2例+2〃-3)(2加一2〃-1)=43.

V43是质数，2m+2n—3>2m—2n—\,2m+2n~3>0,

[2^—2/?—1=1,\m—12,

[2〃?+2〃-3=43,11.

(3)由4〃+/?Wp,得a(n—l)+6Wp.

若a<0,则">与2+l,不合题意，舍去；

若a>0,则nW。“L

•.•不等式即+Z?Wp成立的最大正整数解为3/7-2,

.•.3p—2W~~~+l<3p—1,

即2〃一b<(3。-l)pW3〃一。对任意正整数〃都成立.

•**3d―1=0,解得a=q,

22

此时Q—6<0〈l—〃，解得?<〃W1.

故存在实数a,b满足条件，〃与6的取值范围分别是怩<6W1

2.(2017•山东济南检测)数列｛斯｝满足ai=l4+1=

⑴证明：身为等差数列,并求知;

⑵设。"=2"-3.@+3),数列｛金｝的前n项和为T„,求T”；

(3)设S"=C*+〃WH---1■品，bn=S2n+]~S,n是否存在最小的正整数机，使对任意"GN',

有小嗡成立？若存在，求出〃7的值；若不存在，说明理由.

、突破点拨

(1)由递推公式转化出｛2｝的递进关系，再由定义判断.

(2)运用错位相减法求Tn.

(3)用比差法确定数列｛儿｝的单调性.

解析⑴：斯+尸7嬴*P••・居+产防7

,14届+1I,11

•・右=FFF+4,B即熬F=4,

.••15｝是以1为首项，4为公差的等差数列・

.*=)+(〃-1).4=4”-3,.•.扇=上.

又由题知tz/?>0,/.an=i1.

yj4n—3

(2)以=2厂3.6+3)=〃.2"-1,

1n1

Tn=l+2-2'+3-i+-+n-2~,

27；=2+2-22+3-23+-+«-2n,

两式相减，得

-7；=l+2i+22+…+2"-|一"2"=-1一(〃-1>2”,

：.T„=(n-l)2"+\.

(3)力己bn—S?〃+1Snf••bn+1—§2〃+3S〃+],

••bn+1-bn—(S2,?+3-§2〃+1)-(S〃+1-Sn)

=后"+3+.”+2-屈+i=8n+9+8n+5-4n+l

_40〃+31

=一(8〃+9)(8"+5)(4〃+1)<0'

IYIM7

：・bn+l<bn,即数列仍〃｝为递减数列，则要使乩<不恒成立，只需加学.

・・，cc,14.14m70

•—§3-Si一询7十指7一45，••45*^251机>9.

F17

,二存在最小的正整数加=8,使对任意〃£1\”,有/?〃〈不成立.

■热点题源预测

数列与其它知识的交汇问题

考向(1)数列与函数的交汇问题.

预测(2)数列与不等式的交汇问题.

(1)求解这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确转化；

对于函数的有关性质，主要利用函数的单调性或有界性来求解数列中的最值.

解题

(2)求解数列与不等式交汇题的关键：一是活用等差数列与等比数列的通项公式、

关键

前〃项和公式以及它们的性质；二是会解不等式，有关一元二次不等式、指数不

等式、对数不等式应能熟练求解.

(1)借助函数的性质研究数列问题，一定要注意数列中的自变量只能取正整数这-

失分特点.

防范(2)求解数列与其它知识交汇问题时，注意隐蔽条件，有关数列题不要忽视下标"

GN*这一重要隐蔽条件.

【预测】已知数列｛“”｝中，0=2,42=3,其前〃项和S,满足5"+2+S,=2S“+I+1(〃G

N)数列电｝中,历=加瓦+尸4瓦+6(〃GN*).

(1)求数列｛斯｝,仍“｝的通项公式；

(2)设C"=8“+2+(—1)"一42斯”为非零整数，〃GN"),试确定4的值，使得对任意

N",都有C"+i>c“成立.

>思维导航

(1)变形递推关系，求出数列｛斯｝,｛与｝的通项公式.

(2)利用“作差法”将c“+i>C”恒成立转化成讨论(一1)”1衣2"r恒成立问题.

J规范解答

(1)由已知，得S”+2—S,+|—(S"+i—S")=l,

所以a,i+2—an+i=1(/?eN*).

又0=1,

所以数列｛〃〃｝是以2为首项，1为公差的等差数列.

所以an=n+l.

因为儿+]+2=4(b〃+2),"+2=〃i+2=4,

所以｛为+2｝是以4为首项，4为公比的等比数列.

所以乩=4〃-2.

(2)因为斯=〃+1,瓦=4"一2,所以以=4"+(—1)'-42"+|.要使Q+I>C“成立，只需c”+i

一金=4"।一4"+(—1)”•2/2一(-1)“-1》2产।>0恒成立.

所以3・4"-3/1(—l)"-i2"+i>0恒成立，

所以(-1)L」<22E恒成立.

①当〃为奇数时，即衣2"一恒成立，

当且仅当〃=1时，2"-1有最小值1,所以2<1;

②当〃为偶数时，即力>一2"一।恒成立，

当且仅当〃=2时，-2"r有最大值一2,所以2>—2.

结合①②知，一2«1.又％为非零整数，所以a=一1.

综上所述，存在2=-1,使得对任意“GN*,都有金+i>如成立.

【变式考法】设〃6N*,x.是曲线y=/#2+i在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.

(1)求数列｛融｝的通项公式；

⑵记4=市?…&-I，证明：T"》点.

解析(1»'=(x2n+2+D，=(2n+2)f"+i,曲线>=口+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2〃

+2,从而切线方程为y—2=(2〃+2)(x—1).

令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标

n+1H+1'

(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知

〃=后看…焉"-1=63、

当n=l时，71=丁

(2〃-1)2(2,—1)2—1

(2〃)2>(2")2

2n-2n-1

2nn

"12n—11

所以刀乂于火炉？…XT=赤

综上可得，对任意的“GN*,均有7；?卷.

■■对点规范演练

1.(2017•江西南昌质检)已知数列｛&｝,｛儿｝满足瓦=k>g2a,”〃GN*,其中｛儿｝是等差数

列，且。9〃2009=4,则6+岳+/?3+…+岳017=(B)

A.2016

B.2017

C.log22017

解析设等差数列｛仇｝的公差为"，则儿+1—b〃=10g2«?+l—10g2〃〃=10g2-7—="，即T-=

ClnCln

d

2f故数列｛m｝为等比数列.因为b〃=k)g2斯，〃£N*,所以b\+b2+b^---1■岳oi7=log2〃i

+log2〃2+log2a3H--------Hog2a2017=log2(〃l〃2〃3〜〃2017).又因为〃婚2009=4,所以log2(〃l〃2〃3…〃2

2017

0l6a2017)=lOg2(429«2009)~~=log222()l7=2017.故选B.

2.（2017•湖北黄冈调考）已知｛&｝是等差数列,公差。不为零,前〃项和是S”若。3,04,

48成等比数列，则（B）

A.a\d>0,dSi>Q

B.a\d<0,dS4<0

C.“id>0,dS4<0

D.a\d<0,”&|>0

解析由屈=的痣，得31+20（0+7（/）=3|+3</）2,整理得4（54+3S）=0,又4W0,

5

-

=3

22

-

-3J‘3,故选B.

3.（数学文化）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿

墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以

后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.问几天后两鼠相遇？（B）

A.2天B.3天

C.4天D.5天

解析方法一设第〃天两鼠相遇，则依题意，得

大老鼠打洞1+2+2?+23+…+2"一|（尺）；

小老鼠打洞1+3+（；）2+&+…门（尺）.

l+2+22+23H---F2"「+1+J+(J)+----1=5,即

则

化简得22"—4义2"—2=0,

解得2"=2+#.

因为4<2+#<8,所以2<〃<3,所以两鼠相遇在第3天.

方法二第一天大老鼠前进1尺，小老鼠前进1尺，一共2尺，还剩3尺；第二天大老

鼠前进2尺，小老鼠前进;尺，这一天一共前进了2.5尺，两天一共前进了4.5尺，还剩0.5

尺,第三天按道理来说大老鼠前进4尺，小老鼠前进;尺，可是现在只剩0.5尺没有打通了，

所以在第三天肯定可以打通.

4.（2017•江苏南京一模）已知数歹《51的前〃项和为S,”其中〃“=/+〃，数列｛5｝的通

项公式为乩=〃-8,则hnSfl的最小值是一一4

解析因为=二—I,

n+nnn+11

所以S"=1号+»%••+:缶

=]_-^=q,

〃+1〃+1'

所以儿S“=攻工誓=”+1+4;—1022强-10=—4,当且仅当〃+l=Ur，即〃=2

〃十1〃十1Yn-r1

时取等号.

5.(2017•河南南阳二模)设5“为数列｛斯｝的前〃项和，已知0=2,对任意p,qWN*,

都有%+0=%+的，则八〃)=[若(〃CN*)的最小值为y.

解析VVp,q£N‘，都有〃〃+g=〃p+的，.•.取〃=〃，q=T,则如+i=a〃+m,又〃i=2,

.•.｛6｝是首项为2,公差为2的等差数列，则S,=2"+'，DX2="2+〃.

♦,•一")="：6。="+券y=〃+l+普y—1,易证y=x+?在(0,2仃)上递减，在

(2<15,+8)上递增，又式8)=4，人7)=了，犬8)>犬7),...当〃=7时，贝〃)有最小值g.

6.(2017・湖南重点中学模拟)设数列｛“｝满足”|=2,痣=6,且斯+2-2a“+1+%=2,若

[M表示不超过x的最大整数，则[言2+喈+…+罂R2016•

解析构造为=斯+|一斯，则。|=俏—41=4.由题意可得3〃+2—斯+1)—(如+l—%)=b+1—

bn=2f故数列｛瓦,｝是以4为首项,2为公差的等差数列，故儿=斯+】一斯=4+2(〃-1)=2〃

+2,故〃2—。1=4,6―。2=6,。4一a3=8,…，an~an-\=2n,以上〃一1个式子相加可得

%—S=4+6-lF2n=~~~1))+2〃),解得4〃=以〃+[)・

，Linnn~r1

.2017,2017,,2017…、2017

・・-------+-------H------F-------=207—7；^,

a]〃2on2018'

，

则nir2匕0177+,20k17+,…+,而20171Hr2016+,沟1#]2“。16

7.（2017辽宁协作体一模）已知数列｛斯｝满足（斯+1—1＞（即-1）=3（。“一4+1）,ai=2,令

⑴证明:数列｛小｝是等差数列;

(2)求数列｛如｝的通项公式.

解析（1）证明：•；————°]：了图,

斯+]—1an—\（〃〃+]—1）（斯—1）3

，，+L瓦=；,工｛与｝是等差数列.

1I1?

（2）由（1）及加=_1_1=1，知d

.3.〃+5

•••斯―1=|'产市'

8.（考点聚焦）已知数列｛知｝满足斯+2=4。〃（夕为实数，且夕#1）,0=1,02=2,

且改+俏，。3+。4，。4+〃5成等差数列.

（1）求q的值和｛如｝的通项公式；

（2）设儿=鹿"，n£N\求数列｛5｝的前〃项和.

Cl2n~\

解析（1）由已知，有33+。4）—（42+43）=34+〃5）—33+44）,即。4—〃2=。5—。3,

所以。2（4-1）=6（4-1）.又q#l,故。3=〃2=2,

由=得4=2.

_鹿—]

当〃=2k-l（kGN*）时，斯=。2*-1=2-|=2-5-;

17

当〃=2©A：£N"）时，斯=侬=2&'=2/.

n—1,.,

2亍，〃为奇数，

｛2生〃为偶数.

⑵由(1)得历,=地侬辿=心.设｛d｝的前n项和为S„,则5“=1X*+2X*+3X*+…

+(〃-l)X圭+"X册，

/=lx/+2X*+3X*T---卜(〃—l)X^Fr+rx/,

上述两式相减，得

10..1.1.,］n___22n

2'-［十2+2?十…十2〃一］—2〃-\-2〃

|-2

c2〃

-2—2〃-2〃'

以c/n九+2

整理得，与=4-布.

所以，数列｛儿｝的前〃项和为4一刀亍，“CN*.

几।2

9.(母题营养)数列｛〃〃｝满足0+2〃2H----1-〃斯=4一泰1，〃£N*.

(1)求s的值；

(2)求数列｛斯｝的前n项和Tn;

(3)令6=0,d=勺2+。+3+；-1证明：数列｛儿｝的前〃项和S〃满

足S〃<2+21nn.

解析⑴令〃=3,〃1+2〃2+3。3=*

令〃=2,4]+2〃2=2,解得〃3=:.

(2)当n=l时，6/1=1;

、t(〃+2、(〃+1、n

当时，.斯=(4-2〃-1J一(4—2"-2J=2"f

・'.。”=2〃-1(〃22).当n—\时代人也满足，故

所以数列｛斯｝为等比数列,

1」

12〃1

所以Tn=j-=2-2〃_.

1-2

(3)当n—1时，显然命题成立.

当心2时,

号+(1+/％”+苏

=望+(1l--)(T/l-7'n-l)

=(1+；+；+…+加「(1+编+…+言)T-,

：.Sn=b\+b2+-+bn=l+(1+|)T2-Ti]+^1+1+

加一(1+9司+・“+[(1++“+加-1+,打…+岗)小[

=(1+%+…+苏

=(1+铝+…+加-制

<2+2(1+|+-+»)

；/(外=1一：一111》在(1,+8)上为减函数(可用导数证明),

.•孙)勺(1)=0,

1.n—1n

・・1—~<lnx9••1———]=ln〃-In(〃—1),

故两边叠加得3+gd-----F^<lnn,

所以S”<2+2G+gH------F^<2+21nn.

10.已知数列｛〃“｝,如果数列｛瓦｝满足bi=ai,b„=a„+an-i,B2,“GN*,则称数列

｛d｝是数列｛m｝的“生成数列”.

(1)若数列｛④｝的通项为如=〃，写出数列｛%｝的“生成数列”｛儿｝的通项公式；

(2)若数列｛如｝的通项为金=2”+"其中。是常数)，试问数列｛6｝的“生成数列”｛%｝是

否是等差数列，请说明理由；

(3)已知数列｛〃,｝的通项为4,=2"+"，求数列｛己J的“生成数列”｛p“｝的前"项和几

解析⑴当心2时，

4,=4"+如-|=2〃-1,

当n=l时，b\=a\=\适合上式，

.*.d=2”一l("GN*).

2+b,n=1,

⑵

4H+2O—2,"32.

当6=0时，<]„=4n—2,由于如+i一%=4,

所以此时数列｛c,J的“生成数列”｛%｝是等差数列.

当时，由于gi=ci=2+b,q2=6+2b,q3=10+2/?,

此时仇一切彳公一伙，

所以数列｛c“｝的”生成数列”｛如｝不是等差数列.

综上知，当。=0时，｛/｝是等差数列；当力¥0时，｛%｝不是等差数列.

13,〃=1,

(3)P，，-[3-2,,-|+2n-l,心2.

当〃>1时,7；,=3+(3-2+3)+(3-22+5)+-+(3-2,,_|+2«-1),

，4=3+3(2+22+23+…+2"-1)+(3+5+7+…+2〃-1)=3-2"+〃2—4.

又”=1时，r=3,适合上式，：.T„=3-2"+n2-4.

■逐题对点特训

1.在等差数列｛。〃｝中，。1=0,公差dWO,若。旭=。1+。2+…+。9,则加的值为（A）

A.37

B.36

C.20

D.19

解析:4〃=ai+s+…+=9a]+~2—d=36d=ayi,

，加=37.故选A.

2.设S.是等比数列｛斯｝的前〃项和，若微=%则卷=(B)

A.4

40

B13

C.2

D.1

解析设S2=A,§4=4左，由数列｛%｝为等比数列(易知数列｛斯｝的公比4#—1),得S2,

S4-S2,S6-S4,S8—S6为等比数列，入S?=k,S4—S2=3左，,*.56-54=9)1,Sg—S6=27k,

/.S6=13fc,Sg=40k,・，・.=普,故选B.

»61J

3.等比数歹|J｛斯｝的前〃项和为S”若公比4>1,俏+。5=20,。2。6=64,则§5=(A)

A.31

B.36

C.42

D.48

1。3+。5=20

解析由等比数列的性质，得。3。5=42。6=64,于是由彳且公比g>l,得〃3

〔俏。5=64,

〃炉=4,[〃产1,

=4,恁=16,所以彳解得,

。同=16,〔q=2(q=-2舍),

所以乱=I一X^(I=T)31,故选LA.

4.设｛〃〃｝是等差数列，下列结论中正确的是（C）

A.若。]+。2>0，则〃2+。3>0

B.若〃]+a3V。，则〃】+〃2Vo

C.若0VaiV〃2，则

D.若。|<0,则（。2——〃3）>。

解析因为｛斯｝为等差数列，所以2〃2=m+〃3,当。2>0>0时，得公差力0,・・・〃3>0,・•・

〃]+〃3>2，0。3,・'.2a2>2\lag,即。2>电1。3,故选C.

5.（2017•河南九校模拟）已知数列｛斯｝为等差数列，数列｛小｝为等比数列,且满足42017

0+々4034

+“2018=兀，儿0〃21=4,则tan=(A)

2+仇9b22

B.小

C.1D.-1

解析•二数列｛斯｝是等差数列，。2017+。2018=兀，・'・ai+四034=。2017+。2018=兀又=数列

｛儿｝是等比数列，岳。•岳1=4,・・.89・历2=历0・历1=4.

+6/40347t7TA/5

•-tan2+M^=tan2+4=：tan6=3,.故选A.

njr

6.（2017•湖北夷陵中学二模）已知数列｛斯｝的前n项和为Sn，且。1=1,。〃+]—4〃=COSE，

则S678=(D)

A.0B.678

C.339D.340

解析由已知可得，当〃=2女一1（A£N*）时，侬=侬-1；当〃=2如:£N*）时，侬+尸。2%

4-COS+.则。1=。2=1,〃3=。4=0,。5=。6=1,…,因此｛斯｝是周期为4的周期数列,S678

=S4XI69+2=2X169+2=340,故选D

7.下列关于五角星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（C）

★

★★★★

★★★★★★

★★★★★★★

A.1

/1（/?+!）

C•cin—2

n（n+2）

D.an=2

解析从图中观察五角星构成规律，

〃=1时，有1个；n=2时，有3个;

〃=3时，有6个；〃=4时，有10个;

所以a”=1+2+3+4+…I）.

8.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成

等比数列，那么x+y+z的值为（B）

24

12

X

y

Z

A.lB.2

C.3D.4

解析由题知表格中第三纵列中的数成首项为4,公比为;的等比数列，故有x=l.

根据每横行成等差数列得第四列前两个数字依次为5,|,故第四列的公比为3.所以y=

同理z=6Xgj4=R,

因此x+y+z=2.

9.（2017・湖北沙市模拟）已知数列｛斯｝为等比数列，S?是它的前〃项和.若3〃3=2〃I,

且他与2al的等差中项为1，则S、=31.

解析设等比数列｛“〃｝的公比为q.因为ciy〃3=〃1,〃4=2a।,所以。4=2.因为〃4与2a7的等

差中项为0所以44+247=44+244/=加解得q=3,则。］=16,所以S5=:J）=

16X1-Q)5-|

1-31.

1-2