高一数学11算法的概念

课题1.1.1算法的概念总课时1

(1)了解算法的含义，体会算法的思想；

(2)能够用自然语言叙述算法；

教学

(3)掌握正确的算法应满足的要求；

要求

(4)会写出解线性方程(组)的算法；

(5)会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法

教学重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法

重点设计.教法讲练

难点难点：把自然语言转化为算法语言.

教学过程

一、复习引入

章头图体现了中国古代数学与现代计算机科学的联系，它们的基础都是“算法”.

算法作为个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念.但

是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外

脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现.广义地说，算法就是

做某一件事的步骤或程序.菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是

一首歌曲的算法.在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到

结果的解决问题的程序.

古代的计算工具：算筹与算盘.

20世纪最伟大的发明：计算机，计算机是强大的实现各种算法的工具.

二、新课讲授

(一)算法概念

在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这

些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.

说明：

1.“算法”没有一个精确化的定义，教科书只对它作了描述性的说明.

2..算法的特点：

(1)有限性:

一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.

(2)确定性:

算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.

(3)顺序性与正确性：

算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有个确定的后继步骤，前一步是后一

步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.

(4)不唯一性:

求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.

(5)普遍性：

很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的

步骤加以解决.

（二）例题讲解

①

例1:解二元-次方程组:

②

分析：解二元一次方程组的主要思想是消元的思想，有代入消元和加减消元两种消元的方法，下面用

加减消元法写出它的求解过程.

解：第一步：②-①X2,得：5y=3；③

3

第二步：解③得7

第三步：将y=|代入①，得x=|

学生探究：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？

老师评析：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。下面

写出求方程组的解的算法：

例2：写出求方程组+g（a也一勺々H0）的解的算法.

a2x^b2y=c2②

解：第一步：②xa1-①X.2，得：（a,f>=a,c

22-a2ct③

第二步：解③得y=”2-4?；

a}b2-a2bl

第三步：将y=代入①,得x=SZ生

q

atb2-a2bl

例3：任意给定一个大于1的整数n,试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判断.

分析：（1）质数是只能被1和自身整除的大于1的整数.

（2）要判断一个大于1的整数n是否为质数，只要根据质数的定义，用比这个整数小的数去除n,

如果它只能被1和本身整除，而不能被其它整数整除，则这个数便是质数.

解：算法：

第一步：判断n是否等于2.若n=2,则n是质数；若n>2,则执行第二步.

第二步：依次从2~（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数.若有这样的数，则n不是质数；若没

有这样的数，则n是质数.

说明：本算法是用自然语言的形式描述的.设计算法一定要做到以下要求：

（1）写出的算法必须能解决一类问题，并且能够重复使用.

（2）要使算法尽量简单、步骤尽量少.

（3）要保证算法正确，且计算机能够执行.

（三）课堂练习

1.写出解方程f—2x—3=0的一个算法.

三、课堂小结

I.算法概念和算法的基本思想；

（1）算法与一般意义上具体问题的解法的联系与区别；（2）算法的五个特征.

2.利用算法的思想和方法解决实际问题，能写出一此简单问题的算法；

3.两类算法问题

（1）数值性计算问题，如：解方程（或方程组），解不等式（或不等式组），套用公式判断性的问题，

累加，累乘等一类问题的算法描述，可通过相应的数学模型借助•一般数学计算方法，分解成清晰的步

骤，使之条理化即可；

（2）非数值性计算问题，如：排序、查找、变量变换、文字处理等需先建立过程模型，通过模型进行

算法设计与描述；

4.利用TI-voyage200图形计算器演示时,开始学生看，想，探究，然后模范、创新.图形计算器为

学生创建一个自我发挥的平台.

作业布置：

（时间：）

教学反思：

板书设计:

课题1.1.2程序框图总课时1

1.掌握程序框图的概念；会用通用的图形符号表示算法，掌握算法

的三个基本逻辑结构；

教学

2.掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图；

要求

3.通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的

过程；学会灵活、正确地画程序框图.

重点：经过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达求解问

教学

题的过程，重点是程序框图的基本概念、基本图形符号和3种基本逻

重点教法讲练

辑结构.

难点

难点：难点是能综合运用这些知识正确地画出程序框图.

教学过程

一、复习引入

算法可以用自然语言来描述，但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观，我们更经常地用图形

方式来表示它。

二、新课讲授

(-)程序框图基本概念:

(1)程序构图的概念

程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。

一个程序框图包括以卜几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要的文字说明。

(2)构成程序框的图形符号及其作用

程序框名称功能

「、表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不

起止框

1/可少的。

表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法

输入、输出框

中任何需要输入、输出的位置。

赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公

处理框式等分别写在不同的用以处理数据的处理框

内。

判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明

判断框

O“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。

学习这部分知识的忖候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下:

1.使用标准的图形符号；2.框图一般按从上到卜、从左到右的方向画;

3.除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一

符号.

4.判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多

分支判断，有几种不同的结果；

5.在图形符号内描述的语言要非常简练清楚.

(3)算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。

顺序结构

顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若

干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构.

顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而；

A

下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和BI

框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执I

行B框所指定的操作.B

(二)例题讲解।

例1：已知一个三角形的三边分别为2、3、

法的程序框图.

(算法一自然语言)

第一步：a—2,b=3,c=4：

第三步：S=#p(p-2)(p—3)(p—4)

条件结构

条件结构是指在算法中通过对条件的判断,

根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。

它的一般形式如右图所示：

AB

循环结构：

在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环

结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构,

循环结构可细分为两类：

(1)、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行

完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P

不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

（2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成

立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，

离开循环结构。

当型循环结构直到型循环结构

注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含

条件结构，但不允许'‘死循环"。

2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。

计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。

（三）课堂练习

设计一个计算1+2+3+…+100的值的算法，并画出程序框图.

三、课堂小结

本节课主要讲述了程序框图的基本知识，包括常用的图形符号、算法的基本逻辑结构，算法的基

本逻辑结构有三种，即顺序结构、条件结构和循环结构。其中顺序结构是最简单的结构，也是最基本

的结构，循环结构必然包含条件结构，所以这三种基本逻辑结构是相互支撑的，它们共同构成了算法

的基本结构，无论怎样复杂的逻辑结构，都可以通过这三种结构来表达.

在具体画程序框图时，要注意的问题：流程线上要有标志执行顺序的前头；判断框后边应根据情

况标注“是”或“否”；在循环结构中，要注意根据条件设计合理的计数变量等，特别要条件的表述要

恰当、精确.

作业布置:

（时间:)

教学反思:

板书设计:

课题1.2.1输入、输出语句和赋值语句（1）总课时1

1.正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的结构；

教学

2.会写一些简单的程序；

要求

3.掌握赋值语句中的的作用.

教学

重点：正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的作用.

教法讲练

难点：准确写出输入语句、输出语句、赋值语句.

难点

教学过程

一、复习引入

在现代社会里，计算机已经成为人们口常生活和工作不可缺少的工具，如：听MP3,看电影,

玩游戏，打字排版，画卡通画，处理数据等等，那么，计算机是怎样工作的呢？

计算机完成任何一项任务都需要算法，但是，我们用自然语言或程序框图描述的算法，计算

机是无法“看得懂，听得见”的。因此还需要将算法用计算机能够理解的程序设计语言（programming

language）翻译成计算机程序.

程序设计语言有很多，如BASIC,Foxbase,C语言，C++,J++,VB等.为了实现算法中的

三种基本的逻辑结构：顺序结构、条件结构和循环结构，各种程序设计语言中都包含下列基本的

算法语句：

输入语句输出语句赋值语句条件语句循环语句

这就是这一节所要研究的主要内容——基本算法语句.今天，我们先一起来学习输入、输出

语句和赋值语句.

二、新课讲授

（一）知识点讲解

我们知道，顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构.输入、输出语句和赋值语句基本上对

应于算法中的顺序结构.输入语句和输出语句分别用来实现算法的输入信息，输出结果的功能.

1.输入语句

INPUT语句就是输入语句。这个语句的一般格式是：------------------------------

INPUT”提示内容”；变量

INPUT语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋值，其格式为：

INPUT”提示内容1,提示内容2,提示内容3,…”；变量1,变量2,变量3,…

2.输出语句：它的一般格式是:PRINT"提示内容”；表达式

3.赋值语句

用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。

除了输入语句，在该程序中第2行的赋值语句也可以给

变量=表达式

变量提供初值。它的一般格式是：

赋值语句中的“=”叫做赋值号.

（二）例题讲解

例1：编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩.

分析：先写出算法，画出程序框图，再进行编程.

算法：程序:

（三）课堂练习

1.试对生活中某个简单问题或是常见数学问题，利用所学基本算法语句等知识来解决自己所提出

的问题.要求写出算法，画程序框图，并写出程序设计.

2.课本64练习第1、2、3、4题.

三、课堂小结

本节课介绍了输入语句、输出语句和赋值语句的结构特点及联系.掌握并应用输入语句，

输出语句，赋值语句编写一些简单的程序解决数学问题，特别是掌握赋值语句中“=”的作用及应用.编

程一般的步骤：先写出算法，再进行编程.我们要养成良好的习惯，也有助于数学逻辑思维的形成.

作业布置：

（时间：）

教学反思：

板书设计:

课题1.2.2-1.2.3条件语句和循环语句总课时1

1.正确理解条件语句和循环语句的概念，并掌握其结构的区别与联

教学

系；

要求

2.会应用条件语句和循环语句编写程序.

教学

重点：条件语句和循环语句的步骤、结构及功能.

币教法讲练

难点：会编写程序中的条件语句和循环语句.

难点

教学过程

一、复习引入

试求自然数1+2+3+……+99+100的和.

显然大家都能准确地口算出它的答案：5050.而能不能将这项计算工作交给计算机来完成呢？而要编

程，以我们前面所学的输入、输出语句和赋值语句还不能满足“我们II益增长的物质需要”，因此，还

需要进一步学习基本算法语句中的另外两种：条件语句和循环语句.

二、新课讲授

（一）知识点讲解

1.条件语句

算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语句.它的一

般格式是：（IF-THEN-ELSE弱式）______________

IF条件THEN

语句1

ELSE

语句2

ENDIF

当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句1,

否则执行ELSE后的语句2。其对应的程序框图为：（如上右图）

在某些情况下，也可以只使用IF-THEN语句：（即IF-THEN格式）

算法中的循环结构是由循环语句来实现的.对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语

言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构.即WHILE语句和UNTIL语句.

（1）WHILE语句的一般格式是：

WHILE条件

循环体

WEND

其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的.WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行

循环体或跳出循环体的.

当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循

环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条

件不符合为止.这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句.因

（二）例题讲解

例1：编写程序，输入一元二次方程ax2+"+c=0的系数，输出它的实数根.

分析：先把解决问题的思路用程序框图表示出来，然后再根据程序框图给出的算法步骤，逐步

把算法用对应的程序语句表达出来.

例2：编写程序，计算自然数1+2+3+……+99+100的和.

三、课堂小结

本节课主要学习了条件语句和循环语句的结构、特点、作用以及用法，并懂得利用解决一些简单

问题.条件语句使程序执行产生的分支，根据不同的条件执行不同的路线，使复杂问题简单化.有些

复杂问题可用两层甚至多层循环解决.注意内外层的衔接，可以从循环体内转到循环体外，但不允许

从循环体外转入循环体内.

条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中，如判断一个数的正负，确定两个数的大小

等问题，还有求分段函数的函数值等，往往要用条件语句，有时甚至要用到条件语句的嵌套.循环语

句主要用来实现算法中的循环结构，在处理一些需要反复执行的运算任务.如累加求和，累乘求积等

问题中常用到.

作业布置：

（时间：）

教学反思:

板书设计:

课题1.3算法案例——辗转相除法与更相减损术总课时2

1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些

教学原理进行算法分析；

要求2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写

出算法程序.

教学重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法.

重点难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语教法讲练

难点己•

教学过程

一、复习引入

1.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数

吗？

2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大

而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与

6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。

二、新课讲授

(-)知识点讲解

1.辗转相除法

例1求两个正数8251和6105的最大公约数。

(分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有

的知识即可求出最大公约数)

解：8251=6105X1+2146

显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所

以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。

6105=2146X2+1813

2146=1813X1+333

1813=333X5+148

333=148X2+37

148=37X4+0

则37为8251与6105的最大公约数。

以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300

年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：

第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商qo和一个余数n；

第二步：若ro=O,则n为m,n的最大公约数；若r0W0,则用除数n除以余数r。得到一个商q)

和一个余数ri；

第三步：若n=0,则n为m,n的最大公约数；若nWO,则用除数r。除以余数n得到一个商中

和一个余数r2；

依次计算直至r.=0,此时所得到的即为所求的最大公约数。

2.更相减损术

更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，

更相减损，求其等也，以等数约之.

翻译出来为：

第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。

第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这

个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。

例2用更相减损术求98与63的最大公约数.

解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98-63=35；63-35=28；

35—28=7；28-7=21；21-7=14；14-7=7.所以，98与63的最大公约数是7.

辗转相除法的程序框图

程序框图：

结束

（二）课堂练习

1.利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数；

2.用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数.

三、归纳小结

辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序的编写.

作业布置:

（时间：）

教学反思:

板书设计:

课题1.3算法案例——秦九韶算法与排序总课时1

1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计

算次数提高计算效率的实质；

教学

2.掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法给一组数据

要求

排序，进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序，理解数学算法与

计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用.

教学重点：L秦九韶算法的特点；2.两种排序法的排序步骤及计算机程

重点序设计教法讲练

难点难点：1.秦九韶算法的先进性理解；2.排序法的计算机程序设计

教学过程

一、复习引入

我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算••下多项式

/(x)=/+/+/+X2+；1+1当》=5忖的值，并统计所做的计算的种类及计算次数.

根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算.

我们把多项式变形为：/(x)=x2(l+x(l+x(l+x)))+x+1再统计一下计算当x=5时的值时需

要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。显然少了6次乘法运算。这种

算法就叫秦九韶算法.

二、新课讲授

(一)知识点讲解

1.秦九韶计算多项式的方法

nax，2

/(x)=anx+n-2'----\-ayx-\-a0

=+a^x'-3+…+4)x+&

2

=((anx"_+a“_]X"3+---+a2)x+at)x+a0

=(…((*x+*)x+J*+…+4)+即

2.排序

在信息技术课中我们学习过电子表格，电子表格对分数的排序非常简单,那么电子计算机是怎么对

数据进行排序的呢？

阅读课本P30—P31面的内容,回答下面的问题：

(1)排序法中的宜接插入排序法与冒泡排序法的步骤有什么区别？

(2)冒泡法排序中对5个数字进行排序最多需要多少趟？

(3)在冒泡法排序对5个数字进行排序的每一趟中需要比较大小几次？

游戏：5位同学每人拿一个数字牌在讲台上演示冒泡排序法对5个数据4,11,7,9,6排序的过程,让

学生通过观察叙述冒泡排序法的主要步骤.并结合步骤解决例3的问题.

(-)例题讲解

例1：已知一个5次多项式为/(x)=5x5+2x4+3.5——2.6/+1.7x-0.8

用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.

解：略

思考：（1）例1计算时需要多少次乘法计算？多少次加法计算？

（2）在利用秦九韶算法计算n次多项式当x=/时需要多少次乘法计算和多少次加法计算？

当x=5时的值，并统计需要多少次乘法计算和多少次加法计算？

例2：设计利用秦九韶算法计算5次多项式

5432

/（x）=a5x+a4x+a3x+a2x+a/+4当x=x。时的值的程序框图.

解：程序框图如下：

例3用冒泡排序法对数据7,5,3,9,1从小到大进行排序

解:P32

例4设计冒泡排序法对5个数据进行排序的程序框图.

解：程序框图如下：

(三)课堂练习

1.利用秦九韶算法计算f(x)=0.83/+0.41/+o.l6x3+0.33—+0.5x+1

2.写出用冒泡排序法对5个数据4,11,7,9,6排序的过程中每一趟排序的结果.

3.用直接排序法对例3中的数据从小到大排序.

三、课堂小结

(1)秦九韶算法计算多项式的值及程序设计；

(2)数字排序法中的常见的两种排序法直接插入排序法与冒泡排序法;

(3)冒泡法排序的计算机程序框图设计.

作业布置

(时间:)

教学反思:

板书设计:

课题2.1随机抽样总课时2

1.了解统计的基本思想，会用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样

教学

等常用的抽样方法从总体中抽取样本；

要求

2.通过抽样方法的学习，培养学生运用统计方法解决问题的能力.

教学

正确理解系统抽样的概念，能够灵活应用系统抽样的方法解决

重点教法讲练

统计问题.

难点

教学过程

一、复习引入

1.从含有120个个体的总体中抽取一个容量为6的样本,应怎样抽取?每个个体被抽取的概率是多少？

2.为了了解参加某种知识竞赛的1000名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为50的样本，应怎样抽

取?每个个体被抽取的概率是多少？

3.一个单位的职工有500人,其中不到35岁的有125人,35~49岁的有280人,50岁以上的有95人.为

了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标,要从中抽取一个容量为100的样本,应怎样抽取?每个个

体被抽取的概率是多少？

针对上述问题讨论：

1)在上述三个问题中，总体的个数及组成上有何区别？2)如何抽样？

3)每个个体在抽样过程中被抽取的概率是多少？

二、新课讲授

(-)知识点讲解

1.(1)上述三个问题在总体的个数上有明显不同，问题1中总体个数较少，问题2和3中总体个数较多；

从组成上问题1,2与3有明显不同，问题3中总体由差异明显的三部分组成.

(2)问题1可用生活中常用的抽签法,而问题2和3个体的个数较多,并且问题3中的各个体间又存在明

显差异，故用抽签法不方便.

(3)每个个体被抽取的概率均等.

2.建立模型

由问题1,2和3及讨论结果，归纳概括出三种抽样的概念.

1.简单随机抽样

一般地,设一个总体的个体数为N,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,并且每次抽取时各

个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样.

(2)抽样方法

①抽签法

对总体中的所有个体(共N个)编号,号码从1到N,并把号码写在形状、大小相同的签上.抽签时，

每次从中抽出1个签,连续抽n次,就可得到一个容量为n的样本.

②随机数表法

第一步:编号.

第二步:在随机数表中任选一个数作为起始数.

第三步:从选定的数开始向任一方向读下去,到n个号码读完为止.

注：

第一,当总体中的个体数不多时,适宜抽签法.

第二,从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本,每个个体被抽到的概率都等于.

3.系统抽样

⑴定义

当总体中的个体数较多时,采用简单随机抽样,就显得烦锁.这时,可将总体分成均衡的若干部分,

然后按照预先定出的规则,从每一部分中抽取一个个体,得到需要的样本,这种抽样叫作系统抽样.

(2)系统抽样的步骤

第一步:采用随机的方式将总体中的个体编号.为简便起见，有时可直接利用个体带有的号码编号,

如考生的准考证号、街道上各户的门牌号等.

第二步:为将整个的编号进行分段(即分成几个部分)，要确定分段的间隔k.当N/n(N为总体中的个

体数,n为样本容量)是整数时,k=N/n;当N/n不是整数时,通过从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中

个体个数N'能被n整除,这时.

第三步:在第1段用简单随机抽样确定起始的个体编号1.

第四步:按照事先确定的规则抽取样本(通常是将1加上间隔k,得到第2个编号1+k,再将(1+k)加

上k,得到第3个编号l+2k,这样继续下去,直到获取整个样本).

注：

第一，编号的方式可酌情决定，如100个个体可以编号为r100,也可以编号为

(1,1),(1,2),…，(10,10)等.

第二,系统抽样与简单随机抽样的联系在于:将总体均分后的每一部分进行抽样时,采用简单随机

抽样.

4.分层抽样

⑴定义

当总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分,

然后按照各部分所占的比例进行抽样,这种抽样叫作分层抽样，其中所分成的各部分叫作层.

注：

第一，由于各部分抽取的个体数与这一部分个体数的比等于样本容量与总体的个体数的比，故分层

抽样时,每一个个体被抽到的概率都是相等的.

第二，由于分层抽样充分利用了我们掌握的信息，使样本具有较好的代表性,而且在各层抽样时,可以根

据具体情况采取不同的抽样方法，所以分层抽样在实践中有着非常广泛的应用.

5.三种抽样方法的比较

共同

类别各自特点相互联系适用范围

点

简单随机总体中的

从总体中逐个抽取

抽样抽样个体数较少

过程中每将总体均分成几个在第一部分

总体中的

系统抽样个个体被部分，按事先确定的规则抽样时采用简单

个体数较多

抽取的概在各部分抽取随机抽样

率是相同各层抽样时总体由差

将总体分成几层，分

分层抽样的采用简单随机抽异明显的几部

层进行抽取

样或系统分组成

（-）例题讲解

（1）你能举几个系统抽样的例子吗？

（2）下列抽样中不是系统抽样的是（）

A、从标有「15号的15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到

大号排序，随机确定起点i,以后为i+5,i+10（超过15则从1再数起）号入样

B、工厂生产的产品，用传关带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品

检验

C、搞某一市场调查，规定在商

（3）分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每层抽取若干个体构成样本，所

以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行

（）

A、每层等可能抽样

B、每层不等可能抽样

C、所有层按同一抽样比等可能抽样

（4）如果采用分层抽样，从个体数为N的总体中抽取一个容量为n样本，那么每个个体被抽到的可能

性为（）

1J__n__

A.瓦B.〃C.瓦D.万

课题2.2.1用样本的频率分布估计总体分布总课时2

--------------------------------------------------------------------------

1.将全班女学生（或男学生）按座位编号,制作相应的卡片签,放入同一个箱子里均匀搅拌,从中抽

出8个签，就相应的8名学生对看足球比赛的喜爱程度（很喜爱、喜爱、一般、不喜爱、很不喜爱）进行

调查,还可对其他感兴趣的问题进行调查.

2.（1）在上面用随机数表抽取样本的例子中,再按照下面的规则来抽取容量为10的样本:从表中的

某一个两位数字号码开始依次向下读数,到头后再转向它左面的两位数字号码,并向上读数，以此下去，

直到取足样本.

3.一个礼堂有30排座位,每排有40个座位.一次报告会,礼堂内坐满了听众.会后，为听取意见，留

下了座位号为14的所有30名听众进行座谈.这里运用了哪种抽取样本的方法？

4.10000个有机会中奖的号码（编号为0000^9999）中，有关部门按照随机抽取的方式确定,后两位

数字是37的号码为中奖号码.这是运用哪种抽样方法来确定中奖号码的?试依次写出这100个中奖号

码.

5.一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全队的运动员中抽出一个

容量为28的样本.

6.某市的3个区共有高中学生20000人,且3个区的高中学生人数之比为2：3：5.现要用分层抽

样的方法从所有学生中抽取一个容量为200的样本,那么分别应从这3个区中抽取多少人？

三、课堂小结

（1）正确理解系统抽样的概念；（2）正确理解系统抽样与简单随机抽样的关系；

（3）根据实际问题选取适当抽样方法.

作业布置：

书本59页练习1.2.3

（时间：）

教学反思:

板书设计:

1.通过实例体会分布的意义和作用；

2.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方

教学图、频率折线图和茎叶图；

要求

3.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，

从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计.

教学

重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.

重点教法讲练

难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布.

难点

教学过程

一、复习引入

在NBA的2004赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：

甲运动员得分:12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50

乙运动员得分：8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,29,33

请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？

如何根据这些数据作出正确的判断呢？

K探究》

我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划

在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a,用水量不超过a的部分按平价收

费，超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较

合理呢？你认为，为了了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？

为了制定一个较为合理的标准a,必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个

范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等.因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来

估计全市居民用水量的分布情况.

分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达

到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息。表格则是通过改变数据的构成形式，

为我们提供解释数据的新方式.

下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角

度，来表示数据分布的规律.可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况.

二、新课讲授

（-）知识点讲解

1.频率分布的概念：

频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率

分布.其一般步骤为：

1）计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差

2）决定组距与组数

3）将数据分组

4）列频率分布表

5）画频率分布直方图

频率分布直方图的特征:

1）从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势.

2）从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉

了.

探究：同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图和形状也会不同。不同的形

状给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断，分别以0.1和1为组距重新作图，然

后谈谈你对图的印象？

思考：如果当地政府希望使85%以上的居民每月的用水量不超出标准，根据频率分布表2-2和频率分布

直方图2.2T,（见课本P69）你能对制定月用水量标准提出建议吗？

2.频率分布折线图、总体密度曲线

1.频率分布折线图的定义：

连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.

2.总体密度曲线的定义：

在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线

为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的

信息.

思考：

1.对于任何一个总体，它的密度曲线是不是一定存在？为什么？

2.对于任何一个总体，它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来？为什么？

实际上，尽管有些总体密度曲线是饿、客观存在的，但一般很难想函数图象那样准确地画出来，我们

只能用样本的频率分布对它进行估计，•般来说，样本容量越大，这种估计就越精确.

3.茎叶图

1）.茎叶图的概念：

当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，

即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样

的图叫做茎叶图.

2）.茎叶图的特征：

（1）用茎叶图表示数据有两个优点：•是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可

以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示.

（2）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据

虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰.

（二）例题讲解

例1：下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高

（单位cm）

区间界限[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)[142,146)

人数5810223320

区间界限[146,150)[150,154)[154,158)

人数1165

（1）列出样本频率分布表；

（2）一画出频率分布直方图；

（3）估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比.

分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的•般步骤解题.

解：(1)样本频率分布表如下:

分组频数频率

[122,126)50.04

[126,130)80.07

[130,134)100.08

[134,138)220.18

[138,142)330.28

[142,146)200.17

[146,150)110.09

[150,154)60.05

[154,158)50.04

合计1201

(2)其频率分布直方图如下:

(3)由样本频率分布表可知身高小于134cm的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19,所以我们估

计身高小于134cm的人数占总人数的19%.

例2：为了了解高一学生的体能情况，

某校抽取部分学生进行一分钟跳绳

次数次测试，将所得数据整理后，画

出频率分布直方图(如图)，图中从左

到右各小长方形面积之比为2：4：

17：15：9：3,第二小组频数为12.

(1)第二小组的频率是多少？样本容

量是多少？

(2)若次数在110以上(含110次)

为达标，试估计该学校全体高一学生

的达标率是多少？

(3)在这次测试中，学生跳绳次数的

中位数落在哪个小组内？请说明理

由.

分析：在频率分布直方图中，各

小长方形的面积等于相应各组的频

率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.

解：(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小,

4

0.08

因此第二小组的频率为：2+4+17+15+9+3

第二小组频数

又因为频率=样本容量

第二小组频数_12

样本容量=

第二小组频率一曲

所以

(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为

17+15+9+3

x100%=88%

2+4+17+15+9+3

(3)山已知可得各小组的频数依次为6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为69,前

四组的频数之和为114,所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.

(三)课堂练习

P73练习1.2.3