高一数学必修一

四重五步学习法一让孩子终生受益的好方法

集合

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

1.了解集合的含义，会使用符号“e”和“右”表示元素与集合之间的关系.

2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法、特征性质描述法和Venn图法）描述不同的具体问题，感受集合

语言的意义和作用.

3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等.

4.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集.在具体情境中，了解空集和全集的含义.

5.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，

会求给定子集的补集.

重点难点：

6.对集合中元素的三要素的应用；

7.运用集合的两种常用表示方法一一列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；

8.弄清元素与子集、属于与包含之间的区别；

9.集合的交集与并集、补集的概念；

10.集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”.

学习策略：

11.数形结合思想，如常借助于数轴、维恩图解决问题：分类讨论的思想，如一元二次方程根的讨论、集合间的包含关

系等.

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对

性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

复习与知识回顾

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

1.数轴上表示两个数，边的数总比边的数大.

2.一元二次方程根的判别式为：.............

当△…0时，一元二次方程有...............实根;

当△…0时，一元二次方程有......._______实根;

当△…0时，一元二次方程有…实根.

地址：烟台开发区佰和（高鸿）数码广场四楼407（家家悦超市对面、中国银行西）电话：6938996罗）

知识要点——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真

听课学习。若有其它补充可填在右栏空白处。

详细内容请参看网校资源ID：枇bjx4#208333

。知识点一：集合的有关概念

1.集合理论创始人康托尔称集合为•些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西,

并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.

2.一般地，研究对象统称为.....，一些........组成的........叫集合(set),也融

称…….

3.关于集合的元素的特征

(1)性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，

或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.

(2)性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，E

此，同一集合中不应重复出现同一元素.

(3)_________性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1,2,3组成的集合，也可以

写成由1,3,2组成一■个集合，它们都表示同一个集合.

4.元素与集合的关系：

(1)如果a是集合A的元素，就说a.......A,记作.......

(2)如果a不是集合A的元素,就说a........A,记作.......

5.集合的分类

(1)空集：............元素的集合称为空集(emptyset),记作：…….

(2)有限集：...........元素的集合叫做有限集.

(3)无限集：...........元素的集合叫做无限集.

6.常用数集及其表示

非负整数集(或自然数集)，记作

正整数集，记作或

整数集，记作

有理数集，记作…….

实数集，记作

0知识点二：集合的表示方法

我们"J'以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用

法和法来表示集合.

1........一法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：U,2,3,4,5）,{/,

3x+2,5yJ-x,x2+y2},•••；

2.法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内.具体方法：在大括

号内先写上表示这个集合元素的•般符号及取值（或变化）范围，再画条竖线，在竖线后

写出这个集合中元素所具有的共同特征.

0知识点三：集合之间的关系

1.集合与集合之间的“包含”关系

集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B.......集合A；

子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，

称集合A是集合B的子集（subset）.记作：........，当集合A不包含于集合B时，记

作.......，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：A勺B（或B二A）

真子集:若集合A...B,存在元素x...B.B.X...A,则称集合A是集合B的真子集（proper

subset）.记作：（或）

规定：空集是任何集合的集，是任何非空集合的集.

2.集合与集合之间的“相等”关系

则A与B中的元素是一样的，因此AB

结论：任何一个集合是它本身的集.

知识点四：集合的运算

1.并集

一般地，由所有属于集合A.......属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B

的井集，记作：A……B读作：“A并B”，即：AUB={x},Venn图表示:

说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重

复元素只看成一个元素).

2.交集

一般地，由属于集合A……属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；

记作：A....B,读作：“A交B"，即ACB={x|}；交集的Venn图表示：

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合.

3.补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的—元素，那么就称这个

集合为全集，通常记作U.

补集：对于全集U的一个子集A,由全集U中所有.......集合A的所有元素组成的集

合称为集合A相对于全集U的补集(complementaryset),简称为集合A的补集，记作：

解A；即“A={x|卜补集的Venn图表示：

说明：补集的概念必须要有全集的限制.

4.集合基本运算的•些结论：

AnBaA,AnBaB,AnA=A,An0=0,AcB=BcA

AcA<JB,BCAOB,AUA=A,AU0=A,AuB=BuA

（瘠A）DA=U,（i，A）cA=0

若ACIB=A,则AuB,反之也成立

若AUB=B,则AqB,反之也成立

若xG(ACB),则x^A且x^B

若x€(AUB),则x^A,或X^B

求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的

关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖

掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.

经典例题-自主学习

认真分析、解答下列例题，会试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举

一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。

更多精彩请参看网校资源ID：#jdltOit2O8333

0类型一：集合的概念及元素的性质

例1.下列各组对象中，能构成集合的是()

(1)接近于0的数的全体；

(2)比较小的正整数的全体；

(3)平面上到坐标点0的距离等于1的点的全体；

(4)正三角形的全体；

(5)&的近似值的全体.

思路点拨：从集合元素的“确定”、“互异”、“无序”三种特性判断.

举一反三：

【变式1】判断下列语句能否确定一个集合？如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无

限集.

(1)申办2008年奥运会的所有城市；

(2)举办2008年奥运会的城市；

(3)高一数学课本中的所有难题：

(4)在2004年12月26日印度洋地震海啸中遇难的人的全体；

(5)大于0且小于1的所有的实数.

思路点拨：紧扣“集合”、“有限集”、“无限集”的定义解决问题.

总结升华：

(1)判断一个语句能否确定一个集合，除考虑定义外，还应从集合中元素的

“性”和"性”上来判断；

(2)“有限集”和“无限集”是通过集合里面元素的个数来定义的，集合里面元

素的个数很多，但不一定是无限集.

例2.比较卜列两个集合的差异：

(1)A={(x,y)!y=x2,XGR),B={y|y=x2,xeR)；

[2x+y=5

(2)A={X|X2-6X-7=0}B={(x,y)|{,；

[3x+2y=11

。类型二：元素与集合的关系

例3.用符号“e”或“史”填空.

(1)0___N；

(2)-1____N；

(3)。____Q:

(4)1Z；

(5)0___0；

⑹Q.

思路点拨：确定元素是否在集合中，要根据元素是否满足集合的性质来确定.

举一反三：

【变式1]用符号“€”或“史”填空.

(1)2g{A-1x<VFT},3>/2____{x|x>4}；

22

(2)3___{x|x=n+1,neN+}>5___{x|x=n+1,neN+)；

(3)(-1.1)—{y\y=x2],(-1,1)—{(x,y)\y=x2}.

思路点拨：给定个对象a,它与•个给定的集合A之间的关系为或者。任人,二者

必居其一.解答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清A的特征，然后才能下结论.对于第

(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构•致的数，

再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3,x=5,解方程；对于第(3)题，要明确各个集合

的本质属性.

总结升华:

。类型三：集合中元素性质的应用

例4.定义A-B={x|xeA,且X任B},若1«={1,2,3,4,5},N={2,3,6},则N-M=()

A.MB.NC.{1,4,5}D.{6}

例5.M={awZ,|J-eN},则M=()

{213}B.{1,2,3,4)

{1,2,3,6)D.{-1,2,3,4}

例6.已知集合M={xIax2+2x+l=0）中只含有一个元素，则a=.

思路点拨；由集合M中只含有一个元素可得，方程axZ+2x+l=0有一解，由于本方程并没有注

明是个二次方程，故也可以是次方程，应分类讨论：

☆例7.已知:~3G{a_3>2a_3>a2_4),求a.

。类型四：集合的表示方法

例8.试分别用列举法和描述法表示下列集合：

(1)方程V-2=0的所有实数根组成的集合；

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.

举一反三：

【变式1】用列举法表示集合：

(l)A={xeR|(x-1)(x+2)(x*12-l)(x3-8)=0}

(2)B={(x,y)|x+y=3,x^N,y《N}

(3)C={y|x+y=3,x^N,y^N}

(4)D={(x,y)

(5)A/=L[k'

[y=-x

(6)P={x|x(x-a)=0,aSR)

思路点拨：本题是描述法与列举法的互化，一定要先观察描述法中代表元素是什么.

总结升华:

【变式2】用列举法表示下列集合.

(1)A={x|x=(-l)n,neN}；

(2)B={(x,y)|3x+2y=16,xeN,yeN}；

(3)C={16的正整数约数}.

【变式3】用描述法表示下列集合.

(1)A={3,6,9,12,15,18,21}；

i2345

(2)B={-,—,).

456

0类型五：集合间的关系

例9.下列关系正确的是（）

A.oe0B.0=0C.0={0}D.0^(0)

总结升华:

举一反三：

【变式1】用适当的符号填空：

(1)0(01；(2){xllxlwi}{xNWl}

(3){y|y=2x*2}34(yIy=3x2-l}

(4){x||x|>l}x|x>l}

(5){(x,y)|-2WxW2}{(x,y)|-l<x«2}

(6)若人={0,。，(1,-1),{1}},则{1}A,0A,

{0,0}A,{0}A；

(7)0{0}

例10.写出集合{a,b,c}的所有不同的子集.

举一反三：

【变式1】已知集合人={1,3,a},B={a2},并且B是A的真子集，求实数a的取值.

例11.设14=以收=/+1,a^N+J,N={x|x=b-4b+5,"N+},则M与N满足()

A.M=NB.M吴NC.N^MD.MAN=0

例12.已知：M={x,xy,历与},N={01|x|,丫}且卜冏，求x,y的值.

思路点拨：M=N------M、N元素相同；M、N各含三个互异元素；分类讨论思想.

举一反三：

☆【变式I】设a,b€R,集合{1国+1>0}={0,21）},则b-a=（）

a

☆【变式2]已知集合A={x,xy,yjx-y）,集合B={0,lx],y},若A=B,试求

（1+1）+（,L+1）+……+（」+』）的值。

xyxyxy

0类型六：集合的运算

例13.已知集合人={丫|丫=*2-4*+3,x€R},B=(y|y=-x2-2x+2,x《R},则AC1B等于()

A.0B.RC.{-1,3}1).[-1,3]

例14.设集合M={3,a},N={X|X2-3X<0,X《Z},MCN={1设则MUg()

A.{1,3.a}B.{1,2,3.a}C.{1,2,3}D.{1,3}

举一反三：

【变式1】已知A={xIx°+px+q=O},B={x式Jqx+2P=0},若ACIB={1},则AUB=()

A.(1>_—IB.{1)C.{1,_3>-4}D.{1)

3333

☆【变式2】

(1)已知:M=(x|x>2),P={x|x-x-2=0},求MUP和MCIP；

(2)已知：A={y|y=3x2},B={y|y=-xM},求：ACB,AUB；

(3)已知集合人={-3,a2,1+a},B={a-3,a2+l,2aT},其中R,若AClB={-3},

求AUB.

解：

总结升华:

【变式3】设A、B分别是一元二次方程2x2+px+q=0与6x2+(2-p)x+5+q=0的解集，且ACB={1},

求AUB.

☆【变式4】设集合A={2,a-2a,6),B={2,2a2,3a-6},若ACB={2,3},求AUB.

例15.设全集U={a,b,c,d,e},M={a,c,d}(N={b,d,e},那么(CuM)C(CuN)=()

A.0B.{d}C.{a,c)D.{b,e}

☆例16.设全集值{X€N+|XW8},若AC(CuB)={l,8},(CuA)8B={2,6},(CuA)C(CuB)={4,

7),求集合A,B.

0类型七：集合运算综合应用

☆例17.已知全集A={x|-2WxW4},B={x|x例}.

(1)若ACBW0,求实数a的取值范围：

(2)若ACBKA,求实数a的取值范围；

(3)若ACBW。且ACIBWA,求实数a的取值范围;

思路点拨：(1)画数轴；(2)注意是否包含端点.

总结升华：____________________________________________________________________

举一反三：

【变式1](2011北京理1)已知集合P={xIx2<l},M={a}.若PUM=P，则a的取值

范围是()

A.(-oo,-l]B.[1,-H»)

C.[-1,1]D.(-oo,-1]U[l,+oo)

【变式2】,江苏⑷设集A卡,呜一ffg叫

B={(x,y)|2机4x+y42加+1,x,ywR},若Ac8#则实数m的取值

范围是.

☆例18.设全集为R,M={x|ax+bWO,a#0},N={x|cx+drO,c#0},试用集合M、N表示集

合(x|(ax+b)・(cx+d)=0}.

☆☆例19.设S={x|x=m+0n,m,nwZ}

(1)若a£Z,则是否有aWS?

(2)对S中任意两个元素xi,X2,则X1+X2,Xi•x2,是否属于集合S?

三、总结与测评

要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们

巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

规律方法

认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。

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】.注意和初中数学知识的衔接，这就需要重新整理初中数学知识，形成良好的知识基础，如•元二次方程、.元一次方程组、

平面几何中常见的平面图形等.在此基础上，再根据本章特点，较快地吸收新知识，形成新的知识结构.

2.认真理解、反复推敲思考本章各知识点的含义及各种表示方法.容易混淆的知识应仔细辨识、区别，达到熟练掌握，逐步

建立与集合知识相适应的理论体系与思想方法.

3.常用的数学思想方法主要有：数形结合的思想，如常借助于数轴、维恩图解决问题；分类讨论的思想，如

一元二次方程根的讨论、集合间的包含关系等.逐步培养用集合的思想来分析问题、解决问题的能力.

成果测评

现在来检测•下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识

点的测试。

知识点：集合

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你可以进行能力提升题目的测试。

自我反馈总

学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题

分类整理。如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。〜

知识导学：集合(ID：#208333#)、集合单元成果测评(ID：#208347#)

视听课堂：集合(ID：#16054#)

若想知道北京四中的同学们在学什么，请去“四中同步”看看吧！

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函数及其表示方法

一、目标与策略

O明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

•会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.

•能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法.了解每种方法的优点.在实际情境中，会根据不

同的需要选择恰当的方法表示函数：

•求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用.

重点难点：

•重点：函数概念的理解，函数关系的三种表示方法.分段函数解析式的求法.

•难点:对函数符号y=f(x)的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰

当”？分段函数解析式的求法.

学习策略：

•通过实例用对应的观点来理解函数，用映射的观点理解函数.

•函数的三种表示方法各有优点，应多注意图象法，“以形助数”和“以数辅形”.

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废，科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对

性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾——复习

学习新知识之前.，看看你的知识贮备过关了吗？

初中学习函数的定义：一般地，在一个......过程中，如果有两个.......X与y,并且对于x的每一个确定的值，y都

有..............的值与其对应，那么我们就说x是............，y是x的.........如果当x=a时，y=b,那么b叫做当自

变量的值为a时的

知识要点预习和课堂学习.

认真阅读、理解教材，堂试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听'W

课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补

充填在右栏。预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID：#tbjx5#209908一一、

0知识点一：函数的概念

(-)函数的定义

设A、B是非空的集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合

A中的...........•个数x,在集合B中都有..................的数f(x)和它对应,

那么就称f:A-B为从集合A到集合B的一个函数.

记作：y=f(x),xgA.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应

的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xgA叫做函数的............

(二)构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

(1)构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对

应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数

...........(或为同一函数);

(2)两个函数相等当且仅当它们的和完全一致，而与表示

自变量和函数值的字母无关.

(=)区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

(2)无穷区间；

(3)区间的数轴表示.

区间表示：

{x\a<x<b}=；{x|aWx《b}=；

{x\a<x<b}=.{x\a<x<b}=.

{x\x<b}=；{x|a<x}=

0知识点二：函数的表示法

(-)函数的三种表示方法：

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.优点：简明，给自变量

求函数值.

图象法：用图象衣示两个变量之间的对应关系.优点：直观形象，反应

变化趋势.

列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点：不需计算就可看

出函数值.

(二)分段函数：

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用

个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.

0知识点三：映射与函数

(-)映射定义：

设A、B是两个........，如果按照某个对应法则f,对于集合A中的.........•'

个元素，在集合B中都有元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；

记为f：AT.

象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中

的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.

注意：

(1)A中的每一个元素都有,且；

(2)B中的元素未必有,即使有，也未必：

(3)a的象记为.......

(二)函数：

设A、B是两个非空.......，若f：A-B是从集合A到集合B的........，这个

映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).

注意：

(1)函数一•定是，映射不一定是；

(2)函数三要素：、、；

(3)B中的元素未必有,即使有原象，也未必:

(4)原象集合=域，域=象集合.

经典例题-自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反

三。无星号题目要求同学们必须掌握，为基础题型，一个星号的题目综合性稍强。

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。类型一：函数概念

例1.下列各组函数是否表示同一个函数？

(1)/(-)=2x+1与g*)=+4x+1；

⑵/W=-~~^与g(x)=x-l；

X

⑶“X)=|x-l|与g(x)=

[1-x(x<1)

⑷“X)=--2x与g(f)=尸-2f.

思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形,

否则等号不成立.

总结升华：函数概念含有三个要素，即........,........和................，其中

核心是...............，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的和

都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：

(1):

(2)；

(3)

举一反三：

【变式1】判断下列命题的真假

(1)y=xT与丫=*7是同一函数;

x+1

(2)y=JF与y=lx|是同•函数；

(3)丫=(坂)3与丫=(、&)2是同一函数；

(4)f(x)=--x(x*°)与g(x)=x，-|x|是同一函数.

|x*1234+x(x<0)

答:

例2.求下列函数的定义域（用区间表示）.

x-3

(1)

X2-2

(2)/(x)=>/2x-9

(3)f(X)=\J].-XH--/.

+4

思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.

总结升华：___________________________________________________________________

举一反三：

【变式1】求下列函数的定义域:

5

(1)f(x)=

|x-2|-3

⑵f(x)=----Jx+3

x-1

(3)f(x)=7-|X+2|+A/X2-4

思路点拨：（1）中有分式，只要分母不为0即可；（2）中既有分式又有二次根式，需

使分式和根式都有意义；（3）只要使得两个根式都有意义即可.

总结升华：小结儿类函数的定义域：

（1）:

（2）：

（3）:

(4)

(5)；

例3.己知函数Rx尸3x?+5x-2,求f(3),f(-V2),f(a),f(a+1).

思路点拨：由函数f(x)符号的含义，f(3)表示在x=3时，f(x)表达式的函数值.

举一反三：

【变式1］一知函数/*)=如犬+3+一

x+2

(1)求函数的定义域；

(2)求f(-3),/($的值；

(3)当a>0时，求f(a)Xf(aT)的值.

【变式2】已知f(x尸2x?-3x-25,g(x)=2x-5,求：

(1)f(2),g(2)；(2)f(g(2)),g(f(2))；(3)f(g(x)),g(f(x))

思路点拨：根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的

函数值，其它同理可.得.

总结升华：_______________________________________________________________

例4.值域(用区间表示)：(l)y=x2_2x+4；

(2)y==；(3V(x)=J--3x+4;(4)f(x)=三

x+3x+3,

思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化.

0类型二：映射与函数

例5.下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可

以使其成为映射？

(1)A=R,B=R,对应法则f：取倒数；

(2)A={平面内的三角形},B={平面内的圆},对应法则f：作三角形的外接圆；

(3)A={平面内的圆),B={平面内的三角形),对应法则f：作圆的内接三角形.

思路点拨：根据定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯

总结升华：_______________________________________________________________

举一反三：

【变式1】判断卜.列两个对应是否是集合A到集合B的映射？

(1)A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},对应法则/：Xf2x+1；

(2)A=N*.B={0,1),对应法则f:x-»x除以2得的余数；

(3)A=N,B={0,1,2},f：x-x被3除所得的余数；

(4)设X={0,1,2,3,4},Y={l,；,g,；},x取倒数.

思路点拨：判断是否构成映射应注意：①A中元素的剩余；②“多对一”“一对一”构

成，而“一对多”不构成映射.

【变式2】已知映射f：A-B,在f的作用下，判断下列说法是否正确？

（1）任取x£A,都有唯•的y£B与x对应；

（2）A中的某个元素在B中可以没有象；

（3）A中的某个元素在B中可以有两个以上的象；

（4）A中的不同的元素在B中有不同的象；

（5）B中的元素在A中都有原象；

（6）B中的元素在A中可以有两个或两个以上的原象.

答：

【变式3］下列对应哪些是从A到B的映射？是从A到B的一一映射吗？是从A到B

的函数吗？

(1)A=N,B={1,-1},f：x->y=(-l)x；

(2)A=N,B=N+,f：x->y=|x-3|：

ceC1+X

(3)A=R,B=R,f:xfy=----;

1-x

(4)A=Z,B=N,f：x-y=|x|；

(5)A=N,B=Z,f：x-y=|x|：

(6)A=N,B=N,f：x->y=|x|.

答：

例6.已知A=R,B={（x,y）|x,y£R},f：A-*B是从集合A到集合B的映射,f：x->（x+l,

x2+l）,求A中的元素后的象，B中元素（!■，（）的原象.

举一反三：

【变式1】设f：A-B是集合A到集合B的映射，其中

（1）A={x|x>0},B=R,f：X->X2-2X-1,则A中元素1+75的象及B中元素T

的原象分别为什么？

(2)A=B={(x>y)IxER,yeR),f：(x,y)->(x-y,x+y),则A中元素(1,

3)的象及B中元素(1,3)的原象分别为什么？

。类型三：函数的表示方法

例7.求函数的解析式

(1)若q2x-l)=x-求，x)；

(2)若*x+l尸2x2+1,求出x).

思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.

举一反三：

【变式1](1)已知f(x+l)=x?+4x+2,求f(x)；

x2(x>0)

(2)已知:f(x)=,求f[f(T)].

2x+6(x<0)

总结升华：求函数解析式常用方法:

例8.作出卜列函数的图象.

(1)y=1-x(x©卜2,-1,0(1,2});(2)y=|x-2|;

2

(3)v=±_；(4)y=2x-4x-3(0<x<3).

|x|

思路点拨：(1)直接画出图象上孤立的点；(2)(3)先去掉绝对值符号化为分段函数.

。类型四：分段函数

f-x,x<0

例9.(2011浙江理I)已知/(x)=《，若/(a)=4,则实数a=

[x,x>0

A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或2

思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.

举一反三：

-1(%<0)

【变式口已知/(x)=.〃(x=0)，作出f(x)的图象，求f⑴，f(-l),f(0),

x+l(x>0)

f{f[f(T)+l]}的值.

例10.某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：

(I)乘坐汽车5公里以内，票价2元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已

知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个

汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.

举一反三；

【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付

费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，

两种通讯方式的费用分别为yPy2(元)，

I.写出力，丫2与x之间的函数关系式？

11.•个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？

III.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

三、总结与测评

要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们

巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

总结规律和方法一强化所学

认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。

相关内容请参看网校资源ID：#tbjxl6#209908.

(-)函数定义域的求法

(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分

母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次秤的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条

件.

(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.

(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来

表示.

(二)如何确定象与原象

对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，

再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.

(三)函数值域的求法

实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域

还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：

观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观

察求得函数的值域；

配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求

函数的值域；

判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于•些“分式”函数等；此外，使用

此方法要特别注意自变量的取值范围；

换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求

函数的值域.

求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关

键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.

成果测评

现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的

测试。

知识点：函数的概念

测评系统分数：模拟考试系统分数：

如果你的分数在80分以下，请进入网校资源ID：枇gcp0#209908做基础达标部分的练习，如果你的分数在80分以上,

你可以进行能力提升题目的测试。

自我反馈

学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整

理。如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑"或“互帮互学”交流。

注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录。

知识导学：函数及其表示方法(ID:#209908)

视听课堂：映射与函数(ID:#37520)、函数的三要素(ID:#37521)

函数的单调性和奇偶性

一、目标与策略

°明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

•理解函数的单调性、奇偶性定义；

•会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性；

•会利用图象和定义判断函数的奇偶性；

•掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.

重点难点：

•对于函数单调性的理解；

•函数性质的应用.

学习策略：

•判断、证明函数的单调性、奇偶性常常要综合运用不等式、因式分解、配方法及数形结合的思想方法。

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对

性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

(-)函数的定义及构成函数的三要素为.........

(-)函数的三种表示方法分别为

知识要点——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着白己预习的疑惑认真听

课学习。若有其它补充可填在右栏空白处。

详细内容请参看网校资源ID：#tbjx4#210652

0知识点一：函数的单调性

(-)增函数、减函数的概念

一般地，设函数f(x)的定义域为A,区间

如果对于M内的任意两个自变量的值％、x2,当Xi<X2时，都有.......