膨胀波与激波次

膨胀波与激波次膨胀波和激波是超声速气流特有的重要现象。超声速气流在加速时要产生膨胀波，减速时一般会出现激波。随着飞行器和航空发动机性能的提高，超声速进气道、超声速压气机和超声速喷管均已被广泛地采用。超声速燃烧以及超声速涡轮等部件也正在研制与发展。另外，高超声速飞行器再入大气层的飞行，要产生脱体强激波，这使得波后高温区气流的研究更为重要。显然，在分析和涉及上述这些部件的气流绕流规律时，首先就要遇到膨胀波和激波的问题。本章主要研究膨胀波和激波的产生、性质和它们的计算方法，给出膨胀波和激波前后气流参数的关系式；讨论膨胀波之间、激波之间以及膨胀波与激波之间的相交和反射等规律。第2页,共126页，2024年2月25日，星期天由于物体的存在或运动（称为扰源）而使流场诸参数发生了变化，则说流场受到了扰动。由于气体是可压的，在某处受到的扰动就要以有限速度向四面八方传播。微弱扰动指的是气体参数发生微小变化的扰动，又称为小扰动。小扰动的传播速度只取决于气体的性质及状态参数，而与何种扰源及其成因无关。由于声波是最易被人感觉到的一种微弱扰动的传播，习惯上就将小扰动相对于气体的传播速度称为声速。由流体力学基础知识，弱扰动相对于气体是以声速向周围传播的。本节将研究弱扰动在气流中的传播规律，特别是在超声气流中的传播规律。4.1弱扰动在气流中的传播一、小扰动与马赫锥第3页,共126页，2024年2月25日，星期天

（1）先讨论弱扰动在静止气体中的传播情况（v=0（Ma=0)）。假定有一个静止的弱扰动源位于O点（如下图），它在气体中所造成的弱扰动是以球面波的形式向周围传播的。如果不考虑气体粘性的耗散，而且认为气体参数分布均匀的话，随着时间的推移，这个扰动可以传遍整个流场，而且其传播速度在各个方向上均等于声速

。第4页,共126页，2024年2月25日，星期天（2）v<a(Ma<1)，①扰动源发出的弱扰动波仍然是一系列球面，但是，②因为气体在流动,就带着扰动波向下游移动，因而扰动波的中心不是固定在扰动源o点，而是随着气体在移动。经过一秒钟，扰动波中心移至o1。点o和o1间的距离为V。经过两秒钟，扰动波中移至o2点。点o和点o2间的距离为2V，以此类推。③因为v<a，(下图）弱扰动波在各方向上传播的绝对速度不再是声速

，顺流方向传播速度为a+v，逆流方向传播速度为a-v，其他方向上的传播速度则介于a+v和

a-v之间。因为v<a，所以弱扰动波仍能逆流传播，也就是说，在亚声速气流中，弱扰动波可以传遍整个流场，这是弱扰动在亚声速气流中传播的主要特点。第5页,共126页，2024年2月25日，星期天（3）v=a，（下图）在逆流方向上，弱扰动波相对气流的传播速度a恰与气流速度v相抵消，使弱扰动波不能逆流传播，即，o点上游的流场不受扰动的影响。只有o点下游的流场才受扰动的影响。受扰动与未扰动气体的分界面将是一个以o为共切点的各球面波的公切平面。第6页,共126页，2024年2月25日，星期天（4）v>a，此时扰动不仅不能逆流前传，并且被限制在一定的区域内传播。从o点发出的扰动波在第一秒末、第二秒末、第三秒末……所达到的位置如下图所示：o1o2o3o4它们与点o的距离，分别为V、2V、3V…。因此，弱扰动在超声速气流中的传播区域被限制在以扰动源O为定点的一系列气球的公切圆锥之内，扰动永远不能传到圆锥之外，也就是说，受扰动和未受扰动气体的分界面是一个圆锥面。这个圆锥称为弱扰动锥，又称为马赫锥。圆锥面成为弱扰动边界波或称马赫波。第7页,共126页，2024年2月25日，星期天圆锥的母线与来流速度方向之间的夹角成为马赫角，用符号μ来表示。马赫角μ的大小，反映了受扰动区域的大小。如图d所示的几何关系中可以看出马赫角μ与马赫数Ma间的关系

或

因此，马赫角μ是由气流的Ma数决定的，Ma数越大，则μ角越小；反之，Ma数越小，则μ越大。Ma=1时，μ=90°，这就是图4-1（c）所示的情况。因为

，因此当Ma<1时则上式没有意义。

第8页,共126页，2024年2月25日，星期天由图（d）看出，将气流速度V分解为垂直于马赫锥面和平行马赫锥面的两个分量Vn和Vt，则即垂直于马赫锥面的气流分速等于声速。而马赫波（即弱扰动边界波）在气体中沿垂直波方向以声速向外传播，这个传播速度正好与气流在该方向上的分速Vn大小相等，方向相反，所以马赫波能在气流中稳定不动，关于这一特点很重要。第9页,共126页，2024年2月25日，星期天

弱扰动在超声速气流中不能传遍整个流场，这是超声速气流与亚声速气流的一个重要差别，这种差别使两种气流的流动图形有本质的不同。图4-2表示亚声速直匀流流过机翼时的情形，物体放在气流中就造成了扰动，在亚声速流中，物体所造成的扰动能逆流传播，影响到物体前方的气流，使流线偏转，气流参数相应地有所变化。图4-2亚声速直均流流过机翼第10页,共126页，2024年2月25日，星期天下图表示超声速直匀流流过一个微锥体时的情形。物体所造成的弱扰动不能逆流传播，仅限于马赫锥范围以内，在马赫锥以外，气流参数不发生任何变化，当穿过马赫波时，气流参数发生无限小的变化。第11页,共126页，2024年2月25日，星期天上面讨论的是三维超声速流动的情况。如果弱扰动源(下图）是一个半无限展长（展长与z轴相平行）的微楔形物，则当超声速直匀流流过此物体时，受扰动区域和未扰动区域的分界面（即马赫波）是个楔面。显然，这是一个二维超声速流动的问题。气流流经微楔形物之后，气流受到了极微弱的压缩，在om和om’两道马赫波之后，压强增加了dp，密度增加了dρ，速度则减小了dV。因此om和om称为弱压缩波。如果气流通过马赫波之后是膨胀的，因而压强下降dp，密度下降dρ，速度则增大了dV，这类马赫波便称为膨胀波。第12页,共126页，2024年2月25日，星期天

1、在二维超声速流场中，马赫波在xy平面上的投影为两条相交的直线，称为马赫线，如下图所示。位于ox轴上方的一条马赫线om称作左伸马赫线，位于ox轴下方的一条马赫线om称作右伸马赫线。所谓左伸马赫线就是相对于一个面向下游的观察者来说，它是以向左的方向奔向下游；而右伸马赫线则是以向右的方向奔向下游。二、马赫波第13页,共126页，2024年2月25日，星期天

2、应该指出，如果超声速来流速度沿y方向为不均匀的分布，由于当地马赫角μ随当地Ma数是变化的，故马赫线为曲线形状。如图所示。如果由直壁起，沿y方向气流速度渐增，那么马赫线必定凸向未经扰动区域（图a）；反之，如果由直壁起，沿y方向气流速度是渐减的，那么马赫线就凸向扰动区域（图b）。如果流场中流速是更复杂些的非均一的分布，那么马赫线也必是更复杂的形状。第14页,共126页，2024年2月25日，星期天最后还要指出的是，在超声速气流中除了上述讨论的弱压缩波外，在某种条件下，还会出现突跃的压缩波-激波。气流经过一道这样的突跃压缩波，速度、压强等参数的变化不再是一个无限小量，而是个有限量。这属于强扰动在超声速或者高超声速流动中的传播问题，是一类非常重要的问题。第15页,共126页，2024年2月25日，星期天4.2普朗特_迈耶流动

1）假设超声速直匀流沿外凸壁AOB流动，壁面在O点向外转折一个微小的角度（如右图所示）。由于壁面的微小转折，使原来平行于AO壁的超声速气流的参数发生了微小的变化，即受到微弱的扰动。一、膨胀波的形成及其特点因此，在壁的转折处（即扰动源）必产生一道马赫波OL，与来流方向的夹角为第16页,共126页，2024年2月25日，星期天由于壁面转折产生的扰动，只能传播到波OL以后的区域，而不能传到波OL之前，因此在波OL之前的气流参数不变，而在气流流经波OL之后，参数值发生一个微小的变化，这一点从图中可以很容易看出来。设来流流管截面积为A，从图中的几何关系可知（设垂直于xOy平面的宽度为单位长度）第17页,共126页，2024年2月25日，星期天此流管经过波OL后，截面积为

式中：是流线方向角的变化（即气流转折角），并规定逆时针方向转折为正，顺时针方向转折为负，在图所示的情况下，，故角

。因为

故第18页,共126页，2024年2月25日，星期天假设超声速气流流经马赫波OL为绝热等熵流动，于是在绝热等熵流动的条件下，超声速气流在流管截面积增大时，气流速度（或Ma数）增大，压强、密度相应地降低。因此，超声速气流流经由微小外折角所引起的马赫波OL，气流加速，压强和密度下降，这种马赫波为膨胀波。第19页,共126页，2024年2月25日，星期天2）现在设想超声速气流在图4-7上的O点外折了一个微小的角度

之后，在

、

等一系列点，继续外折一系列微小的角度

、

、…，各膨胀波与该波前气流方向的夹角为

、

、

、…。由式（4-1）

…注意到气流每经过一道膨胀波，Ma数都有所增加，即故这些膨胀马赫波与波前气流的夹角越向后越小，因此，它们在壁面外绝不会相交。

第20页,共126页，2024年2月25日，星期天3）定义：根据极限的概念，曲线可以看成是由无数段微元折线所组成。因此，超声速气流绕外凸曲壁流动的问题与上述问题在本质上是相同的，只是这时曲壁上每一点都相当于一个折点。因此，自每一点都发出一道膨胀波，气流经过每一道这样的膨胀波，参数都产生一个微小变化。并且转折一个微小的角度

，气流通过由无限多道膨胀波所组成的膨胀波区后，参数发生一个有限值的变化，并且转折一个有限的角度

（下图）。第一道波的马赫角

为马赫线与来流方向的夹角。最终一道波的马赫角

为马赫线与气流最终流动方向的夹角，于是在下图中，可以用有限道波来表示无限多道膨胀波来描述超声速气流绕外凸曲壁流动的问题。第21页,共126页，2024年2月25日，星期天4）下面再分析一个特殊的情形。设想把上图中的曲壁段、逐渐缩短，在极限的情况下，

与

重合，曲壁就变成一个具有一定的折角的折壁AOB，这时候由曲壁发出的一系列膨胀波就变成从转折处发出的扇形膨胀波、、…

，超声速气流穿过这些膨胀波时，流动方向就逐渐转折，最后沿着

壁面流动，如下图所示。这样的平面流动常称为超声速气流绕外钝角流动或者称普朗特—迈耶流动。第22页,共126页，2024年2月25日，星期天超声速气流绕外钝角流动的主要5个特点是：（1）超声速来流为平行于AO1壁面（上图）的定常直匀流，在壁面转折处必定产生一扇形膨胀波束，此扇形膨胀波束是由无限多的马赫波所组成。（2）气流每经过一道马赫波，参数只有无限小的变化，因而经过膨胀波束时，气流参数是连续的变化（例如速度增大、压强、温度、密度相应的减小）。显然，在不考虑气体粘性和与外界的热交换时，气流穿过膨胀波束的流动过程为绝热等熵的膨胀过程。（3）气流穿过膨胀波束之后，气流将平行于壁面O2B流动，即气流方向朝着离开波面的方向流动。（4）沿膨胀波束中的任一条马赫线，所有的气流参数均相同，而且马赫线都是直线。（5）对于给定的起始条件，膨胀波束中的任一点的速度大小只与该点的气流方向有关。第23页,共126页，2024年2月25日，星期天气流穿过膨胀波后，压强降为P1=Pa，相应的马赫数增大到Ma2，且气流方向向外折转一个

角度，这种现象在喷管射流中常会遇到。应该指出，超声速气流产生膨胀波束不只限于沿外凸壁的流动情况，在其他一些情况下，也会产生膨胀波。例如：从平面超声速喷管射出的超声速直匀流（下图），如果在出口截面上气流的压强P1高于外界压强Pa的话，气流一出口必继续膨胀，直到射流边界上气流压强恰好等于Pa为止，否则射流边界上的压强就无法平衡。这时，喷管出口的上下边缘A、B相当于两个扰源，产生两束扇形膨胀波，第24页,共126页，2024年2月25日，星期天气流通过膨胀波是绝热等熵过程，所以在膨胀波前后，气流总参数（、、）不变，静参数（P、T、….）只是Ma数（或数）的函数，而Ma数又与气流的转折有关。下面首先导出气流的方向角（）和Ma数（或数）之间的关系，然后再确定波后其他气流的参数。二、膨胀波的计算第25页,共126页，2024年2月25日，星期天导出过程略，只写公式式中：

为气体流动的方向角，即气流速度方向对于x轴正向的倾角，并规定反时针方向为正，顺时针方向为负。第26页,共126页，2024年2月25日，星期天称为普朗特-迈耶函数，其值决定于气体的k值和Ma数。显然，

的单位是角度单位。为使用方便，通常将

与Ma数的函数关系制成数值表，以供计算时查用。附表9.三、普朗特-迈耶函数1、函数上式中第27页,共126页，2024年2月25日，星期天可由已知的未被扰动气流的方向角

和

数来确定，即

将此时代入中，则得2、C1值第28页,共126页，2024年2月25日，星期天若则由下式表明：普朗特-迈耶函数是表示声速气流膨胀到Ma数大于1时的气流转折角，称为普朗特-迈耶角。3、普朗特-迈耶角得上式代入得第29页,共126页，2024年2月25日，星期天对于

。显然，最大的普朗特-迈耶角就是气流绕外凸壁由Ma=1

膨胀到

时的最大气流转折角（

）。注意，只是一个理论上的极限值。当最终Ma数为无限大时，普朗特-迈耶角为最大值。将

代入，则得第30页,共126页，2024年2月25日，星期天上式是由超声波气流穿过上图所示的左伸膨胀波系（由无限多的左伸马赫线所组成）时所推出的结果。4、右伸膨胀波系如果超声速气流是沿着右图所示的外凸壁面流动，则在转折处会产生右伸膨胀波系（由无限多的右伸马赫线所组成）。此时，气流穿过每道膨胀波时，转折角是正的。第31页,共126页，2024年2月25日，星期天其中：因此，用上述相同的方法可以导出

总结左右波系：设膨胀波系后的气流方向角为

，马赫数为

对于右伸膨胀波系，则有对于左伸膨胀波系，则有它为壁面的转折角。第32页,共126页，2024年2月25日，星期天在给定波前的气流参数的条件下，只要知道壁面的转折角，就可以确定

确定波后其他的气流参数。因此可以推出如下结论：超声速气流绕外凸壁流动时，气流参数值得总变化只取决于波前气流参数和总的转折角度，而与气流的折转方式无关，即不论是一次转折，还是多次转折；不论是壁面的突然转折，还是经曲壁的逐渐转折，只要总的转折角度相同，其最后的参数值都是相同的。5、波后参数计算第33页,共126页，2024年2月25日，星期天例4-1：马赫数为1.4的均匀空气流绕外凸壁膨胀，气流逆时针方向转折

，设计膨胀波系后的最终马赫数。

解：由马赫数=1.4查表得

。

因为气流穿过膨胀波系为逆时针方向的转折，故此膨胀波系为右伸膨胀波系，按式（4-15）

得

。

查表得

第34页,共126页，2024年2月25日，星期天第35页,共126页，2024年2月25日，星期天第36页,共126页，2024年2月25日，星期天第37页,共126页，2024年2月25日，星期天例

4-2：马赫数为2.0的均匀空气流绕外凸壁膨胀，气流的最终方向相对于其最初方向转折了

（即顺时针方向转折），膨胀波系前的压强和温度分别为

，

。试确定：（1）最终的马赫数

；（2）最终静压

和温度

.解：（1）对于

,查表得

。气流穿过膨胀波系为顺时针方向转折，故为左伸膨胀波系，按式（4-14）

即

查表得

第38页,共126页，2024年2月25日，星期天（2）因为流动过程是绝能等熵过程，即气流总压，总温为常数。由气流函数表查得

对于

，

，;对于

，，;于是得第39页,共126页，2024年2月25日，星期天例4-3：超声速气流绕三次转折的外凸壁流动。各次气流方向转折为

、

和

，最初气流马赫数

，试确定各次转折后的气流马赫数。解：对于

，查表得

，在第一次转折之后，

查表得

在第二次转折之后

查表得

在第三次转折之后查表得

第40页,共126页，2024年2月25日，星期天作为校核，因为总的气流转折角

故

查表得

第41页,共126页，2024年2月25日，星期天例

4-4：设平面超声速喷管出口处气流马赫数

，压强

，外界大气压强

。求气流经膨胀波后的Ma数及气流外折的角度，以及膨胀波角

（如图4-10所示）。解：由

，

，，

因为

查气动函数表得

，在查表得

，

故

即气流向外转折角

第42页,共126页，2024年2月25日，星期天马赫波极角

是表示气流从声速开始膨胀到某一个Ma数时，膨胀波束的扇形区所张的角度，如图4-14所示。显然扇形区前缘的马赫角

，后缘的马赫角为

。当

，由式（4-10）可得：声速流膨胀到某一个Ma数时，气流所转折的角度

（对右伸波则

）。由图中的几何关系可得

或者（4-16）显然，式（4-16）对左伸波和右伸波均成立。由上式可见，当气体性质一定时，马赫波极角

仅与马赫数有关。第43页,共126页，2024年2月25日，星期天对于超声速气流绕外钝角的流动（图4-9），设膨胀波束结束前的马赫数为

，膨胀波束后的马赫数为

。根据

和

由式（4-16）可分别计算出

和

。设膨胀波束扇形区所张的角度为

，则

现在来确定超声速气流沿外凸壁面流动的流线。假设在图（4-15）中，有一初始为声速的气流绕外凸曲壁加速流动。图中r表示从壁面上某一点沿着马赫线到流线的距离。在气流速度等于声速处，

，

。第44页,共126页，2024年2月25日，星期天在膨胀过程中，流道的横截面积（垂直于图面为单位长度）是逐渐增大的，在气流速度等于声速处，流道横截面积为最小横截面积。由连续方程图4-14超声速气流绕过外凸壁流动图4-15确定超声速气流沿外凸壁面流动的流线示意图

第45页,共126页，2024年2月25日，星期天在绝能等熵流动中

(a)式中，

（b）

（c）将式（b）、式（c）代入式（a）得

（4-17）因此，也是Ma数的函数。第46页,共126页，2024年2月25日，星期天由式（4-17）可见，当气体性质给定时，取定r仅是Ma数的函数。如果由壁面的转折情况采用式（4-10）或式（4-13）已经确定了膨胀系中的一系列马赫线（Ma数，μ角），则对壁面流线的每一点，都可以利用式（4-17）画出任意其他流线上的对应点，于是就很容易定出全部流线的形状。显然，式（4-17）对于绕突然转折的外凸壁面流动也是正确的。图4-16例题4-5示意图第47页,共126页，2024年2月25日，星期天例4-5：在图4-16中，设Ma=1的直匀流（

）绕外凸壁折转

，求气流的流线形状。解：首先确定扇形膨胀波区域，即确定第一道膨胀波及最终一道膨胀波的方向。第一道膨胀波的马赫角

；最终一道膨胀波的马赫角，由已知条件（

）,根据式（4-14）求的Ma2=10257，故μ2=5242，最终一道波与X轴正方向的夹角为在第一道膨胀波与最终一道膨胀波之间是一个连续的膨胀区域，具有无限多道膨胀波。为简化计算，这里假定用有限道膨胀波（例如用六道）来代替着整个连续膨胀区域。气流经波

，流动方向突然折转1。穿过最终一道膨胀波，气流方向变化为无限小量，因此可认为基本不变。第48页,共126页，2024年2月25日，星期天根据式（4-14）和已知条件（Ma=1。和

），可以求得各区间气流的Ma数和各膨胀波的波角μ，从而就可画出各膨胀波的方向；另一方面，还可以查表得出相应于这些波的值

。现将计算结果如表4-1所示。

如果给出r值，便可以决定沿给定流线各膨胀波的长度r值。在图4-16中，自壁面的折点O起，分别量取相应各膨胀波的长度r，连接各点，即可画出与壁面初始距离为r的流线形状给出一系列的r。则可画出一系列的流线。显然，所取的膨胀波数目越多，画出的各条流线就越符合理论解。最后要说明的是，在例4-5中，若给定的来流马赫数不等于1，而是大于1时，通常是把Ma=1当做一个假想的起始状态进行计算。第49页,共126页，2024年2月25日，星期天第50页,共126页，2024年2月25日，星期天（1）定义：假设超声波直匀流沿内凹壁COB流动，壁面在O点向内转折一个微小的角度

，如下图所示。因此在转折处将产生一道马赫波OL，气流穿过波OL流动方向向内转折了一个微小的角度

（

＞0），与壁面OB相平行，气流参数发生了一个微小的变化。由图所示流管截面积的变化可以看出，通过波OL时，流管的截面积是减小的，即4.3弱压缩波因此A+dA＜A。根据超声速流动的规律，流管截面积变小，气流马赫数降低，压强增大，且温度和密度也将随之增大。因此，这种马赫数波被称为弱压缩波。第51页,共126页，2024年2月25日，星期天（2）相交：如果壁面在O1点内折了一个微小的角度

之后，在O2,O3…等一系列点处，继续内折

，

…等（图），那么在O1,O2,O3…等一系列点处，将分别发出一系列弱压缩波，与膨胀波不同的是，由于这时气流是逐渐减速的

而

，所以各压缩波的波角是逐渐增大的,即。由右图看出，每经过一道压缩波，气流已向内折转了一个角度，再加μ角又逐渐增大，所以各压缩波会相交。第52页,共126页，2024年2月25日，星期天（3）激波：在压缩波未相交之前，气流穿过弱压缩波系的流动为等熵压缩过程；但是，有无限多的弱压缩波聚集而成一道波时，则再也不是弱压缩波而是强压缩波（激波）了。气流穿过激波，熵永远是增大的。第53页,共126页，2024年2月25日，星期天（4）公式：根据极限的概念，一个连续的凹曲壁（下图）可以看成是由无数段内折的微元折壁所组成。当超声速气流绕凹壁流动时，曲壁上的每一点都相当于一个折点，因此，每一点都将发出一道弱压缩波，所有的压缩波组成一个连续的等熵压缩波区。气流每经过一道弱压缩波，参数值有一个微小的变化，这转一个微小的角度，通过整个压缩波区后，参数值及折转角发生了一个有限量的变化，对此应充分注意。右伸弱压缩波左伸弱压缩波第54页,共126页，2024年2月25日，星期天当超声速飞机以较高的Ma数飞行时（例如Ma＞2以后），其扩压进气道的内壁，有时便设计为内凹曲壁的形式。因为这样做，气流的减速增压过程，接近于等熵过程，其总压损失最小。压气机中超声速级的叶栅剖面，也往往有一段设计为内折曲壁的形式，以减小损失，提高压气机的效率。因此，在现代飞行器的气动设计中，经常会涉及压缩波系或膨胀波系的控制与布局问题。例题：第55页,共126页，2024年2月25日，星期天例4-6：设有

，

的超声速气流，经内凹曲壁内折了

（图4-19）。求压缩波后气流的Ma数及压强，并求第一道和最后一道压缩波的波角

和

。解：由

查表的

，

，

按式（4-14），得

查表的

，

。查气动函数表的故

第56页,共126页，2024年2月25日，星期天前面讨论的是在流场中只存再单波系（左伸波系或右伸波系）的流动情况。但是，在多数情况下，往往是同时存在着左伸和右伸波系的问题。例如，常会遇到膨胀波（或弱压缩波）在固体壁面或自由边界面上的反射，两簇膨胀波（或弱压缩波）的相交等问题。本节讨论膨胀波（或弱压缩波）反射和相交的规律，以及这些波反射或相交后流场的计算方法。

简化：在分析和计算时，这里作如下简化：把超声速气流经过膨胀波系时连续的无数的无限微弱膨胀，用若干有限数目但仍是很微弱的膨胀步骤来代替。这样，超声速气流每经过一步微弱的膨胀，气流的流动方向，Ma数和压强等诸气流参数都将产生微小的变化。对于压缩波也可做类似的简化。在求解两簇波并存的流畅时，往往遇到下面几种基本情况

4.4膨胀波的反射与相交第57页,共126页，2024年2月25日，星期天由此可得结论：膨胀波在固壁上反射为膨胀波，一般反射角并不等于入射角i。

设有一如图所示的超声速气流通道，下壁面在A点外折角，上壁面为直壁。这是自A点必产生一束膨胀波，这里用一道波AB来代表。初始气流经膨胀波AB向下折转角，和A点以后的下壁面平行；因为上壁面是直的，折转后的气流就与上壁面不平行了，这样，②区的气流在B点遇到了一个向上外折的壁面，因此，在B点又产生一道膨胀波BC，波后气流又折转成与上壁面平行，新产生的这道波我们就称为入射波AB的反射波。一、膨胀波在直固壁上的反射第58页,共126页，2024年2月25日，星期天例4-7：如图4-20所示。设空气流的

，

求

与

。解：在①区的气流沿轴

线流动，即

,气流的

，查表的

，

气流由①区到②区是穿过左伸膨胀波AB，并向下折转1°，于是有

，故查附表4得

，

气流由②区到③区是穿过右伸膨胀波BC，并向上折转1°，于是有

，故查附表4得

，第59页,共126页，2024年2月25日，星期天在上面的例题中，膨胀波所以在B点反射是因为②区的气流与B点以后的壁面不平行。现在，如果上壁面在B点也内折角（下图），使B点以后的壁面与②区气流平行，那么就不会产生新的膨胀波BC，即这时膨胀波AB在B点不反射。这种情况，称为膨胀波的消失。应指出，在超声速风洞的喷管设计中，在接近喷管出口处，特别需要避免投射在壁面上的波的反射。第60页,共126页，2024年2月25日，星期天二、膨胀波的相交

假定一平行气流在两壁面上的A与A’处分别外折角

及角，如下图所示，于是在折点A和A’分别产生两簇膨胀波，并分别用一道澎胀波AB和A’B来表示。①区气流经波AB和A’B进入②，③区，方向分别与以A,A’后的上下壁面平行。如果继续保持这个方向流下去的话，在交点B以后会形成楔形真空区，气流必须再作一次膨胀以填满此空间。因此，在B点也会产生两道膨胀波BC和BC’,在波后④区内上下两股气流又汇合在一起。第61页,共126页，2024年2月25日，星期天根据平衡条件，两股气流应具有相同的方向和压强，因为：

，于是压强相等的条件也就是速度大小应相等。如图所示，为

的情况，此时④区的气流方向与膨胀波上游①区气流方向相同。由此可得结论：膨胀波相交仍为膨胀波。类似的分析还可以证明，两压缩波相交仍为压缩波。第62页,共126页，2024年2月25日，星期天例4-8：如图4-22所示，设空气流

，

。求②，③，④区中气流的Ma数。

解：先求得：②区气流参数为

，

。③区气流参数为

，

。由②区至④区，气流经过右伸膨胀波BC’,并向上折转1°，显然，④区气流方向与原始气流方向平行，于是有查表得

，第63页,共126页，2024年2月25日，星期天三、膨胀波在自有边界上的反射

运动介质和其他介质之间的切向边界称为自由边界。例如：射流与外界静止气体间的边界—射流边界就是一种自由边界。这种边界的重要特性是在接触面两边的压强相等。在下图中，设超声速射流出口压强p1，大于外界环境压强pa，于是气流出口后经膨胀波AB和A’B外折δ角，在②、③区内气流压强等于环境压强p2=p3=pa。因为②、③区内气流方向不平行了，在B点必又产生两道膨胀波，使④区内变成均匀的轴向气流。膨胀波BC和BC’与射流边界AC和A’C’交于C,C’点。以后气流将如何变化呢？第64页,共126页，2024年2月25日，星期天为此，我们考察④区内的气流。当气流由②③区经膨胀波进入④区时，分别往下或者往上转折一个δ角，使④区内都是平行于轴向的均匀气流：但是，由于气流又进行了一次膨胀，④区内气流的压强将低于②③区内气流压强，即p4<pa显然，这时外界气体将去压缩射流，在射流中产生两道压缩波CD和C’D,波后⑤⑥区内的气流内折一个δ角，压强重新等于外界压强p5=p6=pa.由此得出结论：压缩波在自由边界上反射为膨胀波。由此得出结论：压缩波在自由边界上反射为膨胀波。类似的分析还可以证明，压缩波在自由边界上反射为膨胀波。第65页,共126页，2024年2月25日，星期天四、膨胀波与压缩波的相交在下图中，上下壁面都往上折转δa=δb=δ.在折点A，A’处，必产生一道压缩波AB和一道膨胀波A’B。虽然②③区内气流方向是平行的，都往上偏δ角，但是气流的压强则不同。②区内气流经过的是膨胀波，压强下降，③区内气流经过的是压缩波，压强升高，即p3>p2.这样两股气流平行地流下去是不可能的，它们在B点相遇后，第66页,共126页，2024年2月25日，星期天②区内的低压气流将受到③区高压气流的压缩，从而相对于②区气流，在B点处将产生压缩波BC’；另一方面，③区内的高压气流将向②区膨胀，因此，相对于③区气流，在B点处将产生膨胀波BC。原来压强较低的②区气流，经过压缩比BC’后，压强提高了，原来压强较高的③区气流，经过膨胀波BC后，压强降低了，这两股气流进入④区内方向一致，压强相等。虽然上面仅分析了波的相交、反射的这几种基本形式，但实际问题是复杂的，但无论真实的流场如何复杂，总可以分解为这几种基本形式进行计算与分析。第67页,共126页，2024年2月25日，星期天一、基本方程式图4-25所示的是超声速气流经过楔形体时产生的斜激波，图中δ是楔形体的半顶角，β是斜激波波面与来流方向的夹角，成为激波角。在激波前面，气流沿水平方向流动，经过斜激波后，气流转折δ角，沿楔形表面流动。沿斜激波取控制面1122，将激波前后气流速度分解为平行于波面的分量V1n、V2n，并且对所取的控制体写出下列基本方程式：连续方程(4-18)4.5斜激波中气体参数的基本关系式第68页,共126页，2024年2月25日，星期天图4-25激波前后参数关系示意图图4-26等熵关系和朗金-雨贡纽关系第69页,共126页，2024年2月25日，星期天动量方程（平行于波面方向）（ρ1V1n）V1t=（ρ2V2n）V2t将连续方程代入，可得

V1t=V2t

(4-19)垂直于波面方向列动量方程

P1-P2=2V2n²-ρ1V1n²

(4-20)能量方程

(4-21)将式（2-19）代入式（2-21），则得

(4-22)

式（4-19）、式（4-20）说明，经过斜激波，气流平行于波面的速度分量不变，而法向速度分量减小，气流向着波面转折。第70页,共126页，2024年2月25日，星期天显然，若将式（4-18）、式（4-19）、式（4-20）、式（4-22）便可以导出朗金雨贡纽关系式。由式（4-22），注意到，并用完全气体状态方程式代入

，可得

（a）由式（4-20）和式（4-18）得

(b)或

(c)第71页,共126页，2024年2月25日，星期天由式（a）~式(c)消去V1n和V2n,经整理可得

（4-23）

（4-24)

（4-25)

第72页,共126页，2024年2月25日，星期天(4-25)式（4-23）~式（4-25）就是朗金雨贡纽关系式，它非常重要。朗金雨贡纽关系式中不包含有激波角，对于任一道激波，一定的压强比对应一定的密度比和温度比，它们之间的关系和激波倾斜程度无关，因此朗金雨贡纽关系式适用于各种激波。由式（4-23）·式（4-24）看出，激波前后压强比和密度比的关系不同于等熵关系，在图4-26中以对数坐标表示了等熵关系（虚线）和朗金雨贡纽关系。当P2/P1=1时，由等熵关系和朗金雨贡纽关系都得到P2/P1=1.不难证明，两条曲线在P2/P1→1时，两者很接近，用等熵关系代替朗金雨贡纽关系引起的误差不大。随着P2/P1的增大，两者相差越来越大，由式（4-23）看出，当时，，而按等熵规律，此时仍为有限值，关于此点，应该格外注意。第73页,共126页，2024年2月25日，星期天由基本方程式（4-18）、（4-20），可得

(a)由式（2-24）和完全气体状态方程，可得

（b）

式中：a*为临界声速

4.5.3普朗特关系式第74页,共126页，2024年2月25日，星期天该值在激波前后不变。由式（b）得

(c)

(d)将式（c）、式（d）两式代入式（a），经整理可得(4-26)这就是著名的普朗特关系式。对于正激波，Vt=0,普朗特关系式可写为

V1V2=a*或λ1λ2=1（4-27）正激波前气流的速度系数λ1<1,即气流经过正激波后必定为亚声速，并且激波前气流速度系数λ1越大，正激波越强，激波后的速度系数λ2就越低。另外，斜激波前气流的法向分速必定是超声速的，波后的法向分速必定是亚声速的，然而斜激波后的合成速度则可能是超声速的，也可能是亚声速的。第75页,共126页，2024年2月25日，星期天4.5.4激波前后参数间的主要关系式下面推导在激波计算中常用的一些公式。1.激波前后的密度比，压强比，温度比由连续性方程（4-18），可得

（a）由普朗克关系式（4-26），可得(b)等式两边同除以V1n得

第76页,共126页，2024年2月25日，星期天将式（b)代入式（a)得

（4-28）由动量方程（4-20）、连续方程式（4-18）和完全气体状态方程式可得

将式（b）代入上式，得由完全气体状态方程式，得

第77页,共126页，2024年2月25日，星期天将式（4-28）、式（4-29）代入上式，并经整理后得

（4-20）由（4-28）、式（4-29）和式（4-30）看出，当绝热指数k一定时，激波前后密度比、温度比、压强比只决定于来流的法向马赫数

，随着来流法向马赫数的增大，激波迅速增强。在来流马赫数一定时，激波角越接近90，则激波越强。所以在同样来流马赫数的条件下，正激波总是比斜激波强。当时，式（4-28）、式（4-29）变为(4-31)第78页,共126页，2024年2月25日，星期天

(4-32)

(4-33)第79页,共126页，2024年2月25日，星期天2.激波前后马赫数的关系式气流通过激波时总温保持不变，因此

将式（4-30）代入上式，可得

（4-34）当时，式（4-34）变为

（4-35）显然，当来流马赫数一定时，随着激波角β的增大，激波后马赫数减小。第80页,共126页，2024年2月25日，星期天3.激波前后总压和熵的变化由激波前后的滞止状态方程，得

而故

（a）由滞止状态定义

故

(b)第81页,共126页，2024年2月25日，星期天将式（b）代入式（a），得

将式（4-28）、式（4-29）代入上式，可得

（4-36）当时，则式（4-36）变为

（4-37）第82页,共126页，2024年2月25日，星期天随着激波前法向马赫数

的增大，激波后总压与激波前总压之比下降，及激波强度越大，通过激波的总压损失越多，当

时，激波变为弱扰动波，此时才有

。气体通过激波熵的变化为

注意到，

故图4-27分析波阻示意图第83页,共126页，2024年2月25日，星期天即经过激波后气体的熵必增大。如前所述，气体经过激波时受到突跃式的压缩，在瘠薄内部存在剧烈的热传导和粘性作用，气流经过激波经历的是不可逆绝热流动。由流体力学基础课程知道，在不可逆绝热流动中，气体具有熵增加，做功能力下降的特征。第84页,共126页，2024年2月25日，星期天4．波阻的概念

现在讨论波阻的概念。设有物体在无黏性流中做超声速运动，在物体前方产生了激波，如图4-27所示。为方便讨论，取与物体一起运动的坐标系来观察问题。取控制面如图4-27中虚线所示，AC和BD为离物体上下两侧相当远处的两条流线，由于离物体很远，受物体的扰动小，可认为这两条直流线平行于来流方向，AB和CD是在物体前后相当远处垂直于来流方向的两个截面。由于所取控制面离物体很远，作用于控制面上的气体压强可认为都等于物体远前方的压强，这部分的合力为零，气流通过激波必有总压损失，CD截面上的气流总压必低于AB截面上的气流总压，而两个截面上的气流静压相等，故CD界面上的流速必小于AB截面上的流速。因而在来流相反方向将有一个合力作用在控制体内的气体上，根据反作用原理，气体将作用于物体上一个大小相等、与来流方向相同的力（），对物体来说是一个阻力，这个阻力是由于存在激波而引起的，故称波阻。飞行器做超声速运动时都会受到波阻，波阻的大小决定于激波的强度，激波越强，则波阻越大。第85页,共126页，2024年2月25日，星期天5.经过斜激波气流的转折角通过斜激波，气流的方向角必有转折，下面导出气流转折角与其他参数间的关系。由图4-25，并考虑到，可得

将式（4—18）、（4-28）代入上式，可得

将式（4-18）、式（4-28）代入上式，可得

（a）第86页,共126页，2024年2月25日，星期天由三角公式知道

（b）解式（a）（b）可得

（4-38）式（4-38）表明，气流转折角

是来流马赫数

与激波角

的函数，利用此式可由

、

求角。这里先推导一下由给定的

、

值计算值。为此，先把式（4-38）改写为如下方程

（4-39）第87页,共126页，2024年2月25日，星期天式中：

（4-40）这个三次方程随然不能直接求解，但可以用逐步试凑解法在计算机上进行计算，得出各种和值下的β值。对应于某一值可求得三个β值，其中有一个解是无意义的，而另外两个解去、一个对应于强激波，一个对应于弱激波。第88页,共126页，2024年2月25日，星期天4.5.5激波的强解与弱解为了将激波各个参数之间的依赖关系清楚的表示出来，下面给出一些激波的图线，这些图线是以来流马赫数和气流转折角为自变量，若以其他参数作为自变量，也可以得到相应的图线。图4-28给出了当k=1.44时激波角β与波前气流马赫数、气流转折角的关系曲线。由图可见，当给定和时，在相应的曲线上有两个β值解，β值较小的对应的是弱激波，又称激波的弱解；β值较大的对应的是强激波，又称激波的强解。实际出现的究竟是哪一种激波应视具体问题而定。当物体在大气中以超声速运动时，再无提前后方流场边界的压强相差极小，经验证明，在这种情况下，如产生附体斜激波则总是弱激波。当超声速气流由低压区向高压区时，气流会产生激波以提高气流的压强，这时激波有可能是强激波，也可能是弱激波，主要由激波前后压强的大小决定。第89页,共126页，2024年2月25日，星期天气体在管道内已超声速流动时，管道的进出口气流压强可以有较大的差别，管道内产生的激波应当与进出口压强相适应。图4-29（a）和图4-29（b）表示在同样来流马赫数和管道形状的情况下，由于管道出口反压不同，在管内产生了不同的激波。图4-29（a）表示出口反压较低的情况，此时在p点产生弱激波，弱激波后的气流通常仍是超声速的；图4-29（b）表示出口反压较高的情况，此时P点产生强激波，强激波后的气流是亚声速的。由式（4-29）知，给定

和压强比

，可由该式求出激波角β，

值较大，则得到较大的激波角β对应于强激波，若

值较小，则得到较小的激波角β，对应于弱激波。第90页,共126页，2024年2月25日，星期天

由图4-28看出，对于一定得来流马赫数

气流转折角

有一个最大值，称为该值下的最大转折角

。

增大，

也增大。超声速气流流过楔形物体并产生附体的斜激波时，气流经过斜激波的转折角就是楔形体的半顶角（图4-30（a））,这个角度必小于该来流马赫数下的最大转折角。若楔形半顶角超过了

值，则在图4-28中找不到这种情况下的附体斜激波的解，事实上此时已破坏了附体斜激波存在的条件，激波已成为图4-30（b）所示的脱体激波。图4-28与的关系图4-29不同出口反压时的激波结构图第91页,共126页，2024年2月25日，星期天脱体激波沿波面激波角变化，正对契形体前缘的部分接近于正激波，沿坡面面向两侧激波角逐渐减小，激波强度减弱，在离物体较远处，激波退化成为马赫波。脱体激波后的流场不是单纯的超声波流场，在物体前缘附近有一个亚声速区域；其他区域是超声速的。脱体激波各点上气流转折角都不相同，转折角与当地激波角、来流马赫数的关系仍如图4-28所示，此时转折角小于契形体的半顶角。图4-30附体激波与脱体激波图4-31激波前后与

的关系第92页,共126页，2024年2月25日，星期天对于契形体来讲，随着Ma1增大，δmax也相应增大。计算表明，当K=1.4时，在Ma1=∞时，δmax的极限值δmax=45.37。在契形体半顶角不变的情况下，若想使激波脱体以后重新附体，只有加大Ma1才有可能，使相应的δmax值变大，当δmax大于或等于契形体的半顶角时，激波会重新附在物体上。因此，从另一角度来说，对于给定的契形体的半顶角δ存在着一个最小的Ma1数——Ma1min。当Ma1<Ma1min时，才会形成附体斜激波。对于高超声速再入大气层的纯头体，再入飞行所出现的脱体激波较契形体问题要复杂些，这里暂不研究。连接各Ma1值下的δmax点，或者说，连接各δ值下的Ma1min点，得到图中的虚线，该虚线将曲线分为上下两支，下半支对应于弱激波，上半支对应于强激波。第93页,共126页，2024年2月25日，星期天图4-31表示的是激波前后压比P2/P1与Ma1、δ的关系，给定Ma1和δ的值，在图中可以找到两个P2/P1值，较大者是强激波，较小者是弱激波。图中虚线是δ=δmax点的连线。给定δ角，在强激波范围内，压强比随来流马赫数增大略有减小，以后则逐渐增大，出现这种现象的原因是：压强比决定于Ma1sinβ(4-29),在δmax点附近β角随Ma1增大而减小较快（图4-28），使Ma1sinβ也随之减小，故压强比有所降低。图4-32表示的是激波后马赫数Ma2与Ma1、δ的关系，此图是波范围内，除δmax点附近很小区域外，波后都是超声速流（Ma2>1）,并随Ma1增大而增大。在强激波范围内，波后都是亚声速流（Ma2<1）,并随Ma1增大而减小。图4-33表示的是激波前后总压比P02/P01与Ma1、δ的关系，图中虚线右上方是弱激波，左下方是强激波。在强激波以及弱激波的大部分区域内，给定δ角，总压比随着来流马赫数增大而减小，强激波总压比的降低比弱激波快。第94页,共126页，2024年2月25日，星期天图4-33激波前后与图4-32激波后与的关系当δ角很小时（δ<10）,弱激波的总压比随Ma1的变化很小。在δmax点附近的弱激波，随着Ma1的增大，p02/p01略有增加，这是由于在该区域内，随着Ma1的增大，P2/P1略有减小（图4-31），激波强度略有减弱的缘故。最后还应强调的是，上诉分析是针对契形体的，对大型纯头体还需要进一步的分析。第95页,共126页，2024年2月25日，星期天4.5.6斜激波的计算由式（4-18）、式（4-20）和使（4-22）不难看出，如果将描述正激波的基本方程式中的基本前后速度V1、V2换成斜激波前后的法向分速V1n、V2n，于是便可得到描述斜激波的基本方程式。因此便有可能利用正激波表来计算斜激波。由图4-25知，斜激波前后法向马赫数为

Ma1n=Ma1sinβ

(4-41)

Ma2n=Ma2sin(β-δ)(4-42)计算中首先要由图4-28或激波前后参数系数值表求出激波角β，再由式（4-41）求出Ma1n。将本书附录表6中正激波表里的第一列换成斜激波的法向马赫数Ma1n，于是这时该表中的第七列便变为斜激波后法向马赫数Ma2n，其余各列也变为斜激波前后的参数比值。第96页,共126页，2024年2月25日，星期天按上述方法计算斜激波实际上就是把气体通过斜激波的流动看作是以法向分速度通过正激波的流动，这样处理不影响激波前后的静参数，但却改变了气流的滞止参数，因为法向分速度只是气流速度的一部分，若将气流的法向分速度滞止下来，得到的滞止温度和滞止压强分别记为T0n和P0n，则

(4-43)

（4-33）正用正激波表计算斜激波时，原表中的总压比应该换成P02n/P01n和P02/P01，另外由式（4-22）、式（4-43）和式（4-44）不难证明P02n/P01n和P02/P01相等，其证明如下：由式（4-22）得

T01n=T02n

(4-45)第97页,共126页，2024年2月25日，星期天而由式（4-44）、式（4-45）由总压定义并考虑到T01=T02，得故

（4-46）第98页,共126页，2024年2月25日，星期天例4-9：马赫数为Ma1=3.0的空气流过顶角为30的契形体，气体静压为P1=1.0×10Pa,静温为T1=216.5K。求激波后的静压P2、静温T2、密度ρ2、速度V2、总压Po2和马赫数Ma2。解：气流转折角δ=15。由附录中斜激波前后气流参数表得Ma1=3.0、δ=15时激波角为β=32.2。由式（4-29）

由连续方程

第99页,共126页，2024年2月25日，星期天由状态方程

由图（4-25）以及式（4-42）

第100页,共126页，2024年2月25日，星期天由气动函数表查得

故

第101页,共126页，2024年2月25日，星期天4.6激波的相交和反射在研究超声速流动时，经常遇到较为复杂的激波系，如激波在固体壁上的反射、激波在自由边界上的反射、激波与激波的相交、激波与膨胀波的相交等，本节就讨论这些问题。4.6.1激波在固体直壁上的反射马赫数为Ma1的超声速气流在图4-34（a）所示的平面管道流动，由于管壁的转折，在A点产生激波AB，与上管壁相交于B点，激波AB后②区中的气流速度可用极曲线上线段02表示（图4-34（b））。②区气流与上管壁不平行，必然受到扰动并产生激波BC，激波BC后③区气流与上管壁平行。以图4-34（b）中O2为来流速度作极曲线，与O1交予点3，O3就代表③区中的气流速度。激波BC可看作是激波AB在固体壁上的反射波。如果上管壁在B点转折到和②区气流平行，则不会产生反射波。第102页,共126页，2024年2月25日，星期天例4-10：在图4-34中Ma1=4.0，δ=20求激波角和②、③两区中气流的马赫数。解：由附录中斜激波前后气流参数表查得，当Ma1=4.0，δ=20。时，激波AB的角度为激波AB前的法向马赫数为由正激波表查得激波AB后的法向马赫数为第103页,共126页，2024年2月25日，星期天如图4-28所示，当Ma2=2.56时，δ