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文档简介

1机械振动理论基础2

图4—12为具有粘性阻尼的二自由度自由振动系统，粘性阻尼系数——

、和，该系统的振动微分方程——

4.6具有粘性阻尼二自由度系统的自由振动10-22阻尼影响系数——令在方向产生单位速度，其他质点[或坐标]速度为零的工况下，需在该[各]质点[或坐标方向]上加的阻尼力的平衡力。3引进符号

[下标对应各矩阵行、列元素的位置]

则方程(4—55)可写成(4-57)因为以上方程中出现速度项，所以该齐次方程的解，较前面所述的无阻尼情况要复杂一些，[据微分方程理论]方程的解应有以下形式4将位移、及它们的导数代入方程(4—56)中，经化简整理得以下代数方程展开可得到以下特征方程:对于非零解，方程(4—58)中的系数行列式必等于零，即5式中：、——衰减系数；、——有阻尼时固有频率。或当阻尼很小时,系统作自由衰减振动，所有非零根将都是复根，

非零根按共轭对出现，其形式为：（4-60）6将式(4—60)代入式(4—58)中，可得相应的振幅比（4-60）

的下标、的上标，与特征根的下标对应，表示当取时相应的振型。7所得的振幅比、、、都是复共轭的[因为是复共轭的]，于是方程(4—56)的解可以写为：将式(4—60)代入式(4-62)中，并利用以下数学关系式（4-62）（4-63）（4-60）8方程的解可改写成（4-64）其中：[进行第一次变量代换]9利用相角形式，方程的解可以写成：【幅角形式】其中[进行第二次变量代换]10比较式(65)及无阻尼自由振动响应式(42)可以看出——有粘性阻尼自由振动与无阻尼自由振动其解在形式上相似，但二者又有区别，如：(1)在有阻尼情况下，质体振幅随和而减小，直至最后完全消失；(2)有阻尼的固有频率和与无阻尼情况下也不同；、表达式中相对应部分有不同的相角。11如果粘性阻尼系数很小——有阻尼固有频率无阻尼的固有频率振幅比与及与也近似相等，即：近似相等；12因此，方程（4-64）的解可近似为：

常数、、和可根据当时的初始条件、、和求出。

特征方程的所有根都是负的实值，如

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