备战2024年高考数学模拟卷第六卷（新高考专用）共8套

考试时间：120分钟；满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，所给四个选项中只有一个正确选项）2．函数f(x)=+lg(x-2)定义域为()3．设命题p:3x0eR，x02+1=0，则命题p的否定为()04．某疫情防控志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为()5．已知等差数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，对任意的neN*，均有S6<Sn成立，则不可能的值为()π5ππ2π7．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD（如图且两切线斜率之积等于-9，则椭圆的离心率为()试卷第2页，共4页8．已知函数f(x)=eax-2lnx-x2+ax，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围为()(1)(2)(1)(2)二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分，所给四个选项中有多个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分，不选错选得0分）9．设m=R，i是虚数单位，复数z=(m+2)+(m-2)i.则下列说法正确的是()A．若z为实数，则m=2B．若z为纯虚数，则m=-2C．当m=1时，在复平面内z对应的点为Z(3,1)D．z的最小值为210．若甲组样本数据x1，x2，ⅆ,xn（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据3x1+a，3x2+a，ⅆ,3xn+a的平均数为4，则下列说法正确的是()A．a的值为-2B．乙组样本数据的方差为36C．两组样本数据的样本中位数一定相同D．两组样本数据的样本极差不同11．下列说法正确的有()A．若x<，则2x+的最大值是-1D．若实数x，y满足xy>0，则+的最小值是4-2AELx轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则()A．+的最小值为2B．‘ABE的面积的最大值为C．直线BE的斜率为D．ZPAB为直角三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）.________14．已知单位向量,的夹角为60。，k-与垂直，则k=x2yx2a2b2PF2△PF1F2的外接圆半径是内切圆半径的4倍.若该双曲线的离心率为e，则e2=.四、解答题（共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1710分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an+1.（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若Sn=-127，求n.1812分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是4长为的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为PA的中点，PA＝PD＝.(1)求证：PC∥平面BMD；(2)求二面角M－BD－P的大小.1912分）某校在2021年的综合素质冬令营初试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，并将成绩共分成五组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，得到的频率分布直方图如图所示．且同时规定成绩小于85分的学生为“良好”，成绩在85分及以上的学生为“优秀”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格，面试通过者将进入复试.试卷第4页，共4页(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数；(2)如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人发言，那么这两人中至少有一人是“优秀”的概率是多少？(3)如果第三、四、五组的人数成等差数列，规定初试时笔试成绩得分从高到低排名在前18%的学生可直接进入复试，根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到多少分才能直接进入复试？这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.问题：在‘ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且.(1)求B；(2)若D为边AC的中点，且a=3,c=4，求中线BD长.n)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，按要求完成以下问题：(1)求n的值；(2)求展开式中的系数；(3)计算式子C26+C25+C24+C23+C22+C21+C20的值.2212分）已知双曲线C：x2yx2a2b2点A，B分别在C的两条渐近线上，点F在线段AB上，且OALAB，OA+OB=AB.(1)求双曲线C的方程；(2)过点F作直线l交C于P，Q两点，问；在x轴上是否存在定点M，使MP2+MQ2-PQ2为定值？若存在，求出定点M的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.考试时间：120分钟；满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题【答案】【答案】D【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.故选：D.2．函数f(x)=+lg(x-2)定义域为()【答案】【答案】B【分析】利用根号下的数大于等于0，对数真数大于0，解得函数的定义域.故选：B.lx-2>03．设命题p:二x0=R，x02+1=0，则命题p的否定为()220020【答案】【答案】B【分析】根据存在命题的否定为全称命题可得结果.【详解】∵存在命题的否定为全称命题，故选：B4．某疫情防控志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为()试卷第2页，共18页a7a a7【答案】【答案】C【分析】由题意可得党员人数和大学生人数之和减去志愿者小组总人数，即可得结果【详解】因为志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，所以由Venn可得既是党员又是大学生的志愿者人数为15+9-20=4.故选：C5．已知等差数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，对任意的neN*，均有S6<Sn成立，则不可能的值为()【答案】【答案】A【分析】由已知分析可得a1<0，公差d>0，讨论当a6=0时，当a6<0,a7>0，时，a1与d的关系，计算即求得的取值范围,得出结果.【详解】等差数列{an}，对任意的neN*，均有S6<Sn成立，即S6是等差数列{an}的前n项和中的最小值，必有a1<0，公差d>0，>0，此时S6是等差数列{an}的前n项和中的最小值，此时a6=a1+5d<0，综合可得：故选：Aπ5ππ2π【答案】【答案】C【分析】首先根据同角三角函数的基本关系及正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；【详解】解：由题意得sin2B+sin2C+cos2A_1=sin2B+sin2C_sin2A=sinBsinC，由正弦定理可得b2+c2_a2=bc.所以cosA=故选：Cb22_a22bcπ327．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD（如图且两切线斜率之积等于_，则椭圆的离心率为()【答案】【答案】B+2y(mb)2切线AC、BD分别为y=k1(x+ma)、y=k2x+mb，联立方程组整理并结合Δ=0求k1、k2关于a、b、m的关系式，再结合已知得到a、b的齐次方程求离心率即可.【详解】若内层椭圆方程为+=1(a>b>0)，由离心率相同，可设外层椭圆方程为∴A(_ma,0),B(0,mb)，设切线AC为y=k1(x+ma)，切线BD为y=k2x+mb， 试卷第4页，共18页b44ab44a(2(2ma3k)2-4(a2k+b2)(m2a4k-a2b2)=0，整理得k=.，cca2-b2e===.aa24故选：故选：B.【点睛】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率【点睛】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合结合Δ=0及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率.8．已知函数f(x)=eax-2lnx-x2+ax，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围为()(1)(2)(1)(2)【答案】【答案】C成立，构造函数h(x)=范围.令函数g(x)=ex+x，则g,(x)=ex+1>0，故g(x)是增函数.2lnxeax2lnx+2lnx等价于axx令函数h(x)=，则h,(x)=当xe(0,e)时，h(x)max=h(e)=e(2)故选：C.2-2lnx,利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值2lnxx2lnxx2x2.二、多选题9．设meR，i是虚数单位，复数z=(m+2)+(m-2)i.则下列说法正确的是()A．若z为实数，则m=2B．若z为纯虚数，则m=-2C．当m=1时，在复平面内z对应的点为Z(3,1)D．z的最小值为2【答案】【答案】ABD【分析】利用复数为实数的充要条件、复数为纯虚数的充要条件、复数的几何意义、模的定义分别判断即可.【详解】若z为实数，则虚部为0，即m=2，故A正确；若z为纯虚数，则实部为0，即m=-2，故B正确；当m=1时，z=3-i，则在复平面内z对应的点为Z(3,-1)，故C错误；故选:ABD.10．若甲组样本数据x1，x2，ⅆ,xn（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据3x1+a，3x2+a，ⅆ,3xn+a的平均数为4，则下列说法正确的是()A．a的值为-2B．乙组样本数据的方差为36C．两组样本数据的样本中位数一定相同D．两组样本数据的样本极差不同【答案】【答案】ABD【分析】结合平均数、方差、中位数、极差的概念以及平均数的和差倍分性质，及一组数据同时乘一个数，同时加一个数对方差的影响，逐项分析即可求出结果.设甲组样本数据的中位数为xi，则乙组样本数据的中位数为3xi-2，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C错误；甲组数据的极差为xmax-xmin，则甲组数据的极差为(3xmax-2)-(3xmin-2)=3(xmax-xmin)，所以两组样本数据的样本极差不同，故D正确；故选：ABD.11．下列说法正确的有()A．若x<，则2x+的最大值是-1D．若实数x，y满足xy>0，则+的最小值是4-2【答案】【答案】ABD【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B，根据基本不等式，结合“1”试卷第6页，共18页对于D，令x+y=t，x+2y=s，则x=2t-s，的妙用，可得答案；对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D，采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案.【详解】对于A，因为x<，所以2x-1<0，所以1-2x>0，所以当当1-2x=，即x=0时等号成立，所2x+的最大值为-1，故A正确；13 +||所以的最小值为的最小值为3，故B正确；对于对于C，因为x>0，y>0，所x.2y<2，即2xy<（当且仅当x=2y时等等号成立，所以等号成立，所以x+2y的最小值为4，故C错误； 时取等号，所以时取等号，所以+的最大值是4-2，当且仅当x=y时，等号成立，故D正确.确.故选：故选：ABD.AE」x轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则()A．+的最小值为2B．‘ABE的面积的最大值为C．直线BE的斜率为D．ZPAB为直角【答案】BCD【分析】根据给定条件设出点A、P坐标，结合椭圆定义、均值不等式、斜率坐标公式逐项分析计算作答.【答案】BCD【分析】根据给定条件设出点A、P坐标，结合椭圆定义、均值不等式、斜率坐标公式逐项分析计算作答.【详解】设椭圆C的右焦点F,，由椭圆对称性知线段AB，FF,互相平分于点O，则四边形AFBF,为平行四边形，如图，4(|AF|+|BF|)(+BFAFAFBF则4)+AF4|AF|AF4|AF|.AFBF114|BF|4|AF|=BFAF4BF00|，当且仅当x=y，即4242242|y0|x0|y0|x0即|x00|<，因即|x00|因因A(x0,y0)，有=k，由椭圆对称性可得B(一x0,一y0)，而E(x0,0)，则直线BE的斜率kkBE12ny0ny0mxmx42+00于是得kPA故选：故选：BCD【点睛】结论点睛：过椭圆中心的弦【点睛】结论点睛：过椭圆中心的弦(除椭圆长轴外)与椭圆二焦点围成平行四边形.试卷第8页，共18页三、填空题.________【答案】【答案】【分析】【分析】建立空间直角坐标系，求平面A1C1D的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可.【详解】解：【详解】解：在长方体ABCD一A1B1C1D1中，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，设平面设平面A1C1D的法向量为：=(x,y,z)ACBD.n点B到平面A1C1D的距离为：BD.nn(2)228.3.故答案为：故答案为：.14．已知单位向量,的夹角为60，k一与垂直，则k=【答案】##0.5【分析】【详解】由k与的数量积为0可得k值.【分析】【详解】k与垂直，则(k).=k2故答案为：.21k=.12【分析】分a=1，a<1和a>1三种情况讨论，结合一次函数与二次函数的性质求出函数在对应区间的值域，再根据题意列出不等式，从而可得出答案.222则此时函数f(x)的值域不是R，故a=1不符合题意；则此时函数f(x)的值域不是R，故a<1不符合题意；222，综上所述实数a的取值范围是[2,+伪).x2yx2a2b2PF2△PF1F2的外接圆半径是内切圆半径的4倍.若该双曲线的离心率为e，则e2=.【答案】7【分析】根据双曲线的定义，设PF1=m,PF2=n，结合经F1PF2=60。利用余弦定理可得2，再根据等面积法求得内切圆半径的表达式，结合正弦定理可得外接圆半径的表达试卷第10页，共18页式，进而列式求解离心率即可式，进而列式求解离心率即可+mn，根据双曲线的定义有4c2=4a2+mn，故mn=4b2.所以△PF1F2的面故内切圆半径故内切圆半径r满足S=m+n+2c)r=b2，解得r=.又△PF1F2的外接圆半径R满足2R=36b2e=7c26b2e=7故答案为：故答案为：四、解答题17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an+1.（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若Sn=127，求n.n12）n=7.【分析】（1）由an、Sn的关系求a1，可得an=2an一1，根据等比数通项公式an；（2）由等比数列前n项和公式有Sn=一2n+1，结合已知条件求n即可.nnSn1nn1n2an1，即an=2an1，n}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an=2n1.1qnn18．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是4长为的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，(1)求证：PC∥平面BMD；(2)求二面角M－BD－P的大小.【答案】【答案】(1)证明见解析【分析】(1)连接AC交BD于N，连接MN.由三角形中位线知MN∥PC即得证；(2)取AD的中点O，连接OP，ON.说明OP、OD、ON两两相互垂直，则分别以OD、ON、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.利用向量法即可求出二面角的大小.【详解】（1）连接AC交BD于N，连接MN.在正方形ABCD中，ACBDN，∴N是AC的中点.又M是AP的中点，∴MN是△APC的中位线，MN∥PC，∵MN面BMD，PC面BMD，∴PC∥平面BMD，（2）取AD的中点O，连接OP，ON.在ΔPAD中，PAPD，O是AD的中点，∴OPAD，又平面PAD平面ABCD，OP平面PAD，平面PAD平面ABCDAD，∴OP平面ABCD.在正方形ABCD中，O，N分别是AD、BD的中点，试卷第12页，共18页62622312∴ON」AD，∴∴OP，OD，ON两两相互垂直，分别以OD，ON，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系图所示的空间直角坐标系O一xyz.设平面MBD的一个法向量n1=(x,y,z)，=(1,1,6)是平面MBD的一个法向量：,,)是平面PBD的一个法向量，cosn.n 2222cosn.n设二面角设二面角M一BD一P的大小为θ,19．某校在2021年的综合素质冬令营初试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，并将成绩得到的频率分布直方图如图所示．且同时规定成绩小于85分的学生为“良好”，成绩在85分及以上的学生为“优秀”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格，面试通过者将进入复试.(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数；(2)如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人发言，那么这两人中至少有一人是“优秀”的概率是多少？(3)如果第三、四、五组的人数成等差数列，规定初试时笔试成绩得分从高到低排名在前18%的学生可直接进入复试，根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到多少分才能直接进入复试？【答案】【答案】(1)82.59(2)(3)93【分析】（1）根据最高小长方形底边中点对应的横坐标为众数，即可得到答案；（2）先计算出5人中“良好”的学生和“优秀”的学生的人数，再计算出事件“5人中选2人”有10种可能，其中事件“至少有一人是“优秀””有9种可能，最后根据古典概型的公式即可求解；n=0.06，接着判断出初试时笔试成绩得分从高到低排名在18%的学生分数在第四组，设为至少x分能进入面试，由此可得(95一x)0.04+0.025=0.18，即可求解.(1)1根据样本频率分布直方图估计样本的众数为(80+85)=82.5；2(2)由分层抽样可得“良好”的学生有50.4=2人，“优秀”的学生有3人，将三名优秀学生分别记为A，B，C，两名良好的学生分别记为a，b，则这5人中选2人的基本事件有：AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10种，其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb共9种，9所以至少有一人是“优秀”的概率是P=(3)试卷第14页，共18页393所以23由第三、四、五组的人数成等差数列得 故初试时笔试成绩得分从高到低排名在18%的学生分数在第四组，设至少得x分能进入面试，393所以23即根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到93分才能直接进入复试.个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.问题：在‘ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且.(1)求B；(2)若D为边AC的中点，且a=3,c=4，求中线BD长. 3π【答案】(1)B= 3π(2)(2)【分析】（1）若选①：利用余弦定理和二倍角公式得到sin2B=，求出B=；若选②:求出求出B=.2（2）利用余弦定理求出b=2，利用数量积的运算即可求出BD长为2【详解】（【详解】（1）若选①：(a2+c2-b2)sinB22，所以3.4.cos=2，所以中线BD长为.nneN*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，按要求完成以下问题：(1)求n的值；(2)求展开式中的系数；(3)计算式子C26+C25+C24+C23+C22+C21+C20的值.【答案】【答案】(1)6(2)1(2)1(3)729(3)729【分析】（【分析】（1）由二项式系数以及组合数公式可得出关于n的等式，即可解得n的值；（（2）写出展开式通项，令x的指数为一3，求出k的值，代入通项后即可得解；（（3）在二项式中令x=1可求得所求代数式的值.(1)(1)(2)(2)k.x6，令令6=3，可得k=6，因此，展开式中的系数为C.20=1.试卷第16页，共18页+AB得到方程，即可求出tanc+AB得到方程，即可求出tanc，从而得到sin2c.(3)x2yx2a2b2分别在C的两条渐近线上，点F在线段AB上，且OA」AB，OA+OB=AB.(1)求双曲线C的方程；(2)过点F作直线l交C于P，Q两点，问；在x轴上是否存在定点M，使MP2+MQ2-PQ2为定值？若存在，求出定点M的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.【答案】【答案】(1)-y2=1((5)4【分析】（【分析】（1）不妨设点A在第一象限经AOF=c，即可表示出OA，AB，根据求出求出a、b，即可得解；PQPQ2=λ,分别求出直线与坐标轴垂直时λ的值，根据（2）设点M(m,0)，MP2+MQ2λλ为定值，得到方程，即可求出λ及M的坐标，再对直线l不与坐标轴垂直时，设直线l的方程为方程为x=t