高中数学选修21课时达标训练（二十二）直线的方向向量与平面的法向量

课时达标训练(二十二)直线的方向向量与平面的法向量1．若直线l⊥平面α，且l的方向向量为(m,2,4)，平面α的法向量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，2))，则m为________．2．设A是空间任意一点，n为空间任一非零向量，则适合条件·n＝0的点M的轨迹是________．3．设直线l1的方向向量为a＝(2，－1,2)，直线l2的方向向量为b＝(1,1，m)，若l1⊥l2，则m＝________.4．在空间中，已知平面α过点A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点C(0,0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.5．已知a＝(1,4,3)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则x＝________，y＝________.6．已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2，－2)，(1)写出直线BC的一个方向向量；(2)设平面α经过点A，且是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内任一点，试写出x、y、z满足的关系式．7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求平面ABCD的一个法向量；(2)求平面A1BC1的一个法向量；(3)若M为CD的中点，求平面AMD1的一个法向量．8.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是长方体，建立的空间直角坐标系如图所示．AB＝3，BC＝4，AA1＝2.(1)求平面B1CD1的一个法向量；(2)设M(x，y，z)是平面B1CD1内的任意一点，求x，y，z满足的关系式．答案1．解析：∵l的方向向量与平面α的法向量平行．∴eq\f(m,\f(1,2))＝eq\f(2,1)＝eq\f(4,2).∴m＝1.答案：12．解析：·n＝0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念．答案：过点A且与向量n垂直的平面3．解析：∵l1⊥l2，∴2－1＋2m＝0.∴m＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)4．解析：平面xOy的法向量为n＝(0,0,1)，＝(－3,4,0)，＝(－3,0，a)，设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋4y＝0，,－3x＋az＝0，))则3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，\f(a,4)，1))，故cos〈n，u〉＝eq\f(1,\r(\f(a2,9)＋\f(a2,16)＋1))＝eq\f(\r(2),2).又∵a>0，∴a＝eq\f(12,5).答案：eq\f(12,5)5．解析：由l1∥l2，得eq\f(1,3)＝eq\f(4,x)＝eq\f(3,y)，解得x＝12，y＝9.答案：1296．解：(1)∵B(2,0,0)，C(0,2，－2)，∴＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC的一个方向向量．(2)由题意＝(x－2，y－2，z－2)，∵⊥平面α，AM⊂α，∴⊥.∴(－2,2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0.∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0.化简得x－y＋z－2＝0.7.解：以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为a.(1)∵平面ABCD即为坐标平面xOy，∴n1＝(0,0,1)为其一个法向量．(2)∵B1D⊥平面A1BC1，又∵＝(0，a,0)－(a,0，a)＝(－a，a，－a)，∴n2＝eq\f(1,a)＝(－1,1，－1)为平面A1BC1的一个法向量．(3)设n＝(x0，y0，z0)为平面AMD1的一个法向量，∵＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a，0))，＝(0，a，a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·＝x0，y0，z0·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a，0))＝\f(a,2)x0＋ay0＝0，,n·＝x0，y0，z0·0，a，a＝ay0＋az0＝0.))令x0＝2，则y0＝－1，z0＝1，∴n＝(2，－1,1)为平面AMD1的一个法向量．8．解：(1)在如题图所示的空间直角坐标系A－xyz中，各点坐标为B1(3,0,2)，C(3,4,0)，D1(0,4,2)，由此得＝(0,4，－2)，＝(－3,0,2)；设平面B1CD1的一个法向量为a＝(x，y，z)，则a⊥，a⊥，从而a·＝0，a·＝0，所以0·x＋4·y－2·z＝0，－3·x＋0·y＋2·z＝0，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y－z＝0，,3x－2z＝0，))得到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(z,2)，,x＝\f(2z,3).))不妨取z＝6，则y＝3，x＝4.所以a＝(4,3,6)就是平面B1C1D的一个法向量．(2)由