数学（理科）-四川省眉山市2024届高三第三次诊断性考试题和答案

眉山市高中2024届第三次诊断性考试数学（理科）用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.1.在复平面内，对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限A.3.采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用.综合PMI产出指数是PMI指标体系中反映当期全行业（制造业和非制造业）产出变化情况的综合指数，指数高于50%时，反映企业生产经营活动较上月扩张；低于50%，则反映企业生产经营活动较上月收缩.2023年我国综合PMI产出指数折线图如下图所示：根据该折线图判断，下列结论正确的是()A.2023年各月综合PMI产出指数的中位数高于53%B.2023年各月，我国企业生产经营活动景气水平持续扩张C.2023年第3月至12月，我国企业生产经营活动景气水平持续收缩D.2023年上半年各月综合PMI产出指数的方差小于下半年各月综合PMI产出指数的方差A.B.C.D.(12x)(1+x)5的展开式中x3的系数为()A.20B.10C.-10D.-20(π)(π)5(π)(π)5A.B.C.D.262626267.设O为坐标原点，过点(2,0)的直线与抛物线C:y2=2px(p>0)交于M,N两点，若.=一4，则p的值为()A.B.C.2D.4428.如图，该组合体由一个正四棱柱ABCD一A1B1C1D1和一个正四棱锥P一A1B1C1D1组合而成，已知=2，则()A.PA1∥平面ABC1D1B.PB1∥平面ABC1D1C.PC1」平面BDC1D.PD1」平面BDC19.四名同学参加社会实践，他们中的每个人都可以从A,B,C三个项目中随机选择一个参加，且每人的选择相互独立.这三个项目中恰有一个项目没有被任何人选择的概率为()ABCD10.给出下述三个结论：①函数f(x)=cosx的最小正周期为π;②函数f(x)=cos2x在区间,单调递增；③函数f(x)=cos2x的图象关于直线x=对称.其中所有正确结论的编号是()A.①②③B.②③C.①③D.②22xy a2b2---4---------BA=3BF2,F1B」AB，则C的离心率为()A.B.C.D.12.若关于x的不等式lnxax3-bx2-1(a丰0)恒成立，则的最大值为()A.B.C.D.15.若f(x)=2cos(x+Q)+cosx为奇函数，则Q=.（填写符合要求的一个值）16.已知球O的半径为3，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆O1,O2，其半径分别为r1,r2，若，两圆的公共弦的中点为M，则MO1=.17.（12分）某公司为改进生产，现对近5年来生产经营情况进行分析.收集了近5年的利润y（单位：亿元）与年份代码x共5组数据（其中年份代码x=1,2,3,4,5分别指2019年，2020年，…,2023年），并得到如下值：y=70.5,(yi-y)2=65,(yi-y)(xi-x)=25（1）若用线性回归模型拟合变量y与x的相关关系，计算该样本相关系数r，并判断变量y与x的相关程度（r精确到0.01）；（2）求变量y关于x的线性回归方程，并求2024年利润y的预报值.②若r0.75，相关程度很强；0.3r<0.75，相关程度一般；r0.3，相关程度较弱；③一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)，其回归直线=+x的斜率和截距的最小二乘估计分别为(xix)(yiy)(xix)(yiy)18.（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an一3,nE**.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn.nlog3an;②bn=；③bn=an+1an)，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并解答问题.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，平面FCD」平面ABCD，平面EAB」平面ABCD,‘AEB,‘CFD是等腰直角三角形，且经DFC=经BEA=.（1）证明：平面ABF∥平面CDE；（2）若经BAD，求平面ADE与平面BCE所成锐二面角的余弦值的取值范围.20.（12分） ,A2，过线段A1A2上的点Q(1,0)的直线与C交于M,N两点，且‘A1MN与‘A2MN的面积比为3:1.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上.21.（12分）（1）若过点(1,0)可作曲线y=f(x)两条切线，求a的取值范围；（2）若f(x)有两个不同极值点x1,x2.①求a的取值范围；22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，。C的圆心为C(2,2)，半径为2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求。C的极坐标方程；（2）过点O的直线交。C于P,Q两点，求OP+OQ的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）（1）若对任意xeR，使得f(x)a2一3a恒成立，求a的取值范围；（2）令f(x)的最小值为M.若正数a,b,c满足++=M理科数学参考解答及评分参考1.【答案】B【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计复数运算问题，主要考查复数的除法运算，复数的几何意义等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想；考查数学运算、直观想象等数学核心素养.2.【答案】Dð}，所以ðU(A不B)={3,2}，所以选项D正确.【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计集合运算问题，主要考查集合的交集与并集，补集运算等基础知识；考查运算求解能力，数学运算等数学核心素养.3.【答案】B【解析】根据图表可知，各月PMI的中位数小于53%，A错误；2023年各月，2023年我国综合PMI产出指数均大于50%，表明我国企业生产经营活动持续扩张，C错误，B正确；2023年上半年各月PMI比下半年各月PMI的波动大，则方差也大，故D错误.【考查意图】本小题设置数学应用情境，主要考查统计图表的应用等基础知识，考查概率统计等思想方法，考查数据分析等数学核心素养.4.【答案】A2222222222注：本小题也可以利用向量线性运算的几何意义，利用数形结合思想求解.【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计平面向量运算问题，主要考查向量的坐标运算，数量积，夹角公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，数学建模（可构造三角形或取特值解答）思想；考查数学运算、直观想象、数学建模等数学核心素养.5.【答案】C【解析】因为(12x)(1+x)5=(1+x)52x(1+x)5，相加的两项二项式展开后的通项分别为Tr+1=Cxr与T【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计二项式展开式的通项问题，主要考查二项式展开式特定项的系数等基础知识；考查运算求解能力，分类讨论思想，数学运算等数学核心素养.6.【答案】A2【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计三角恒等变换求值问题，主要考查同角三角函数关系，两角和的正弦公式，三角函数符号确定等基础知识；考查运算求解能力，化归与转化思想，数学运算等数学核心素养.7.【答案】C【解析】设M(x1,y1),N(x2,y2)，直线MN的方程为：x=my+2，联立方程y2=2px得，【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计直线与抛物线交点问题，主要考查直线与抛物线的位置关系，向量的坐标运算，抛物线性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想；考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养.8.【答案】C∥平面BDC1,PA1不平行于平面ABC1D1；同理PB1∥OD1,PB1不平行于平面ABC1D1；易得PO=2，PC1【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计正四棱柱与正四棱锥的组合体问题，主要考查空间线面平行，线面垂直的判断等基础知识；考查推理论证能力，空间想象能力；考查逻辑推理，直观想象等数学核心素养.9.【答案】C【解析】【命题意图】(C1)24)本小题设置实践应用情境，主要考查计数原理、分组排列、组合、古典概型等基础知识，考查分类与整合等数学思想，考查逻辑推理，数学建模等数学核心素养.10.【答案】B【解析】对于①由f(x)=cosx=cosx，最小正周期为2π,结论①不正确；对于②,由xe,，有2xe,π,cos2x<0，此时f(x)=cos2x=-cos2x在区间,单调递增，结论②正确；对于③,f(x)=cos2x==cos2x+，对称轴由2x=kπ,keZ确定，当k=1时，x=，结论③正确.【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计三角函数图象性质问题，主要考查含绝对值的余弦函数图象，降幂公式，余弦函数的最小正周期，单调区间，图象的轴对称等基础知识；考查逻辑推理能力，数形结合思想，化归与转化思想，推理论证等数学核心素养.11.【答案】A【解析】设F2A=m，则BF2=3m,BA=4m，由于F1,F2关于y轴对称，故BF1=BF2=3m，又因------3------3【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计双曲线焦点弦问题，主要考查双曲线的方程与性质，双曲线焦点弦，离心率等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，数形结合思想；考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养.12.【答案】Cf,(x)=.x2-(lnx+1)=，当xe-时，f,(x)>0,f(x)单调递增；当xef,(x)<0,f(x)单调递减，所以，f(x)在（)1-2处取得极大值，也即最大值.又1-2方，显然a<0不符题意；当a>0时，为直线y=a(|（x-的横截距，其最大值为f(x)的横截距，再令f(x)=0，可得x=，且当直线y=a(|（x-与f(x)在点,0处相切时，横截距取得最大值.此时，切线方程为y=e33,b2，所以取得最大值为.【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查导数的应用等基础知识，考查化归与转化等数学思想，13.【答案】-6【解析】作出约束条件表示的可行域为以A(4,6),B(0,2),C(1,0)三点为顶点的‘ABC及其内部，作出直线-3x+y=0并平移，当直线y=3x+z经过点A(4,6)时，在y轴上的截距最小，此时目标函数【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计简单的线性规划问题，主要考查不等式组的解法，约束条件表示的可行域，直线平移及几何意义等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，化归与转化思想；考查数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.14.【答案【解析】由余弦定理有cosA===，所以sinA=，所以‘ABC的面积S=AB.AC.sinA=x4x【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计解三角形问题，主要考查余弦定理，同角间的三角函数关系，三角形面积等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，数形结合思想，化归与转化思想，应用意识；考查数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.【解析】依题意，f(x)=2cosxcosQ-2sinxsinQ+cosx=(2cosQ+1).cosx-2sinxsinQ，当2cosQ+1=0,f(x)为奇函数，此时cosQ=-，则Q=2kπ士,keZ，故填,等等.【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查函数奇偶性等基本性质、简单的三角变换等基础知识，考查化归与转化等数学思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.16.【答案】1【解析】如图，设OO1=O2M=d,OM=O1O2=,ON=3，则在‘OMN中，MN=，在‘O2MN2=r122=r1【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计球与截面问题，主要考查平面与球相截，空间线面位置关系，球内三角形，矩形的性质，勾股定理等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，方程思想等基础知识；考查数学运算素养，直观想象，逻辑推理等数学核心素养.17.【解析】（1）依题意，x==3，222(xix)(yiy)25 (yiy)2则r>0.75，故变量y与x的相关程度很强.（2）令变量y与x的线性回归方程为=+x.(yiy)(所以，变量y关于x的回归方程为y=2.5x+63.2525.0.98,所以，该公司2024年利润y的预报值为78（亿元）.【命题意图】本小题设置生活实践情境，主要考查回归分析的基本思想及其初步应用，考查统计基本思想以及抽象概括、数据处理等能力和应用意识；考查数学运算、数学建模等数学核心素养.又an1n1所以数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列，n，3T223nn.3n+1nn.【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计结构性不良的数列问题，主要考查数列的前n项和与通项公式，等比数列的性质，错位相减法求数列的和等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想；考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养，应用意识.19.【解析】（1）如图，取AB,CD的中点M,N，连接ME,EN,NF,FM.因为FN」DC，平面FCD」平面ABCD，平面FCD（平面ABCD=CD，所以FN」平面ABCD.同理，EM」平面ABCD.所以FN∥ME.又ΔAEB和ΔCFD是等腰直角三角形，所以FN=ME，四边形MENF为平行四边形，所以MF∥EN，又因为AB∥CD,AB（MF=M,CD（NE=N，所以平面ABF∥平面CDE.（2）如图，以A点为原点，AB所在直线为y轴，过A平行于ME的直线为x轴，在平面ABCD内垂直于AB的直线为z轴，建立空间直角坐标系.------------------------cosθ(cosθ)设平面BCE的法向量为2=(x2,y2,z2)，则2-y2=0,cosθ(cosθ)2.2所以平面ADE与平面BCE所成锐二面角的取值范围是|L7,1【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计立体几何问题，主要考查空间线线、线面位置关系，空间二面角等基础知识；考查推理论证能力，空间想象能力，运算求解能力；考查直观想象，逻辑推理等数学核心素养，应用意识.20.【解析】（1）由Q(1,0),SΔA1MN=MNdA1-MN,SΔA2MN=MNdA2-MN，-MN故椭圆C的方程为：+y2=1.（2）由（1）可得A1(-2,0),A2(2,0)，设M(x1,y1),N(x2,y2).显然直线MN的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my+1.因为直线MA1的方程为y=x+2)，直线NA2的方程为y=x-2)，联立直线MA1与直线NA2的方程可得：2(x221y2y19m3y133m.m.m2+4y1m2故点P在定直线x=4上.【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计直线与椭圆问题，主要考查椭圆的方程，椭圆中的三角形，直线过定点等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，数形结合思想；考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养，应用意识.y)的坐标代入可得，等的实数根即可.令g(x)=ax2一2axx+lnx1，只需函数g(x)有2个零点即可.则2(2axxx函数g(x)只有1个零点，不合题意.函数g(x)只有1个零点，不合题意.函数g(x)有2个零点，则必有g(1)=-a-2>0，得a<-2，故过点(1,0)可作曲线y=f(x)两条切线时，a的取值范围是(-父,-2).若过点(1,0)可作曲线y=f(x)两条切线，只需