定积分换元法与分部法

§5.3

定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法小结思考题作业定积分的分部积分法definiteintegralbypartsdefiniteintegralbysubstitution第五章定积分1上一节的牛—莱公式将定积分的计算的形式,而不定积分可用换元法和分部积分法求积,这样定积分的计算问题已经比较完满地解决了.定积分的换元法和分部积分法归结为求不定积分,如果将换元法和分部积分法写成定积分常可使得计算更简单.2定理1则有定积分换元公式假设函数定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法函数满足条件:(1)(2)具有连续导数,且其值域definiteintegralbysubstitution3证故有则由于N--L公式N--L公式则所以存在原函数定积分的换元法和分部积分法原函数,4注由于积分限做了相应的故积出来的原函数不必回代;求定积分的方法有两种方法:

可用N--L公式;

从换元的观点.(1)换元公式仍成立;(2)在定积分换元公式中,改变,(3)定积分的换元法和分部积分法5例解在用“凑”微分的方法时,不明显地写出下限就不要变.定积分的上、新的变量t,注定积分的换元法和分部积分法6或例解原式这是半径为a的四分之一的圆的面积.定积分的换元法和分部积分法7例

解或提示：提示：换元一定要换积分限

不换元积分限不变

8提示：解例9例解原式定积分的换元法和分部积分法10解令原式练习定积分的换元法和分部积分法11几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分的例子.换元积分例证由于由被积函数的变化和积分区间变化来确定变换.通常定积分的换元法和分部积分法作变换,还可以证明一些定积分等式,12则定积分的换元法和分部积分法13可得:由定积分的几何意义(面积的代数和)也可得.奇、偶函数在对称区间上的定积分性质且有则则定积分的换元法和分部积分法14例定积分的换元法和分部积分法15练习奇奇偶定积分的换元法和分部积分法16证(1)三角函数的定积分公式例由此计算设定积分的换元法和分部积分法证毕.17定积分的换元法和分部积分法设证由此计算18定积分的换元法和分部积分法19周期函数的定积分公式这个公式就是说：周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等.定积分的换元法和分部积分法想想该如何证明?20例证21例解法一定积分的换元法和分部积分法22法二即{定积分的换元法和分部积分法23练习解被积函数中除积分变量t外还含有变量x,故不能直接应用对积分上限函数的导数的公式,应先作换元变换,则分析定积分的换元法和分部积分法24定积分的分部积分公式定积分的换元法和分部积分法二、定积分的分部积分法设有连续的导数,则definiteintegralbyparts定理2由不定积分的分部积分法及N--L公式.25分部积分过程：

解

例

26

解

例

分部积分过程：27例

解定积分的换元法和分部积分法原式=?28例

解定积分的换元法和分部积分法1990年考研数学(一)计算5分原式=29例

解无法直接求出所以因为没有初等原函数,定积分的换元法和分部积分法分析被积函数中含有“积分上限的函数”,用分部积分法做.选择积分上限的函数为30定积分的换元法和分部积分法注今后也可将原积分化为二重积分计算.31例证明定积分公式证设n为正偶数n为大于1的正奇数J.Wallis公式十七世纪的英国数学家JohnWallis给出.定积分的换元法和分部积分法32积分关于下标的递推公式直到下标减到0或1为止因为定积分的换元法和分部积分法33所以,当n为正偶数时,当n为大于1的正奇数时,定积分的换元法和分部积分法34例

为正偶数为大于1的正奇数上公式在计算其它积分时可以直接引用.注定积分的换元法和分部积分法35练习解用定积分的分部积分公式定积分的换元法和分部积分法36思考题解答定积分的换元法和分部积分法37定积分的分部积分公式定积分的换元法和分部积分法三、小结定积分的换元公式奇、偶函数在对称区