版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷12(题后含答案及解析)题型有:1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1.设A是三阶矩阵,其特征值是1,3,一2,相应的特征向量依次是α1,α2,α3,若P=(α1,2α3,一α2),则P一1AP=()A.B.C.D.正确答案:A解析:由Aα2=3α3,有A(一α2)=3(一α2),即当α2是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时,一α2仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。同理,2α3仍是矩阵A属于特征值λ=一2的特征向量。当P一1AP=A时,P由A的特征向量构成,A由A的特征值构成,且P与A的位置是对应一致的,已知矩阵A的特征值是1,3,一2,故对角矩阵A应当由1,3,一2构成,因此排除选项B、C。由于2α3是属于λ=一2的特征向量,所以一2在对角矩阵A中应当是第二列,所以应选A。知识模块:矩阵的特征值和特征向量2.已知α1是矩阵A属于特征值A=1的特征向量,α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量,那么矩阵P不能是()A.(α1,一α2,α3)。B.(α1,α2+α3,α2一2α3)。C.(α1,α3,α2)。D.(α1+α2,α1一α2,α3)。正确答案:D解析:若P=(α1,α2,α3),则有AP=PA,即(Aα1,Aα2,Aα3)=(λ1α1,λ2α2,λ3α3),可见αi是矩阵A属于特征值λi(i=1,2,3)的特征向量,又因矩阵P可逆,因此α1,α2,α3线性无关。若α是属于特征值λ的特征向量,则一α仍是属于特征值λ的特征向量,故选项A正确。若α,β是属于特征值λ的特征向量,则α与β的线性组合仍是属于特征值A的特征向量。本题中,α2,α3是属于λ=5的线性无关的特征向量,故α2+α3,α2一2α3仍是λ=5的特征向量,并且α2+α3,α2一2α3线性无关,故选项B正确。对于选项C,因为α2,α3均是λ=5的特征向量,所以α2与α3谁在前谁在后均正确。故选项C正确。由于α1,α2是不同特征值的特征向量,因此α1+α2,α1一α2不再是矩阵A的特征向量,故选项D错误。所以应选D。知识模块:矩阵的特征值和特征向量3.已知α1是矩阵A的属于特征值λ=2的特征向量,α2,α3是矩阵A的属于特征值λ=6的特征向量,则矩阵P不可能是()A.(α1,一α2,α3)。B.(α1,α2+α3,α2一2α3)。C.(α1,α3,α2)。D.(α1+α2,α1一α2,α3)。正确答案:D解析:由题意可得Aα1=2α1,Aα2=6α2,Aα3=6α3。因α2是属于特征值λ=6的特征向量,所以一α2也是属于特征值λ=6的特征向量,故选项A正确。同理,选项B,C也正确。由于α1,α2是属于不同特征值的特征向量,所以α1+α2,α1一α2均不是矩阵A的特征向量,故选项D一定错误。知识模块:矩阵的特征值和特征向量4.已知三阶矩阵A的特征值为0,1,2。设B=A3一2A2,则r(B)=()A.1。B.2。C.3。D.不能确定。正确答案:A解析:因为矩阵A有三个不同的特征值,所以A必能相似对角化,即存在可逆矩阵P,使得于是P一1BP=P一1(A3一2A2)P=P一1A3P一2P一1A2P=(P一1AP)3一2(P一1AP)2则矩阵B的三个特征值分别为0,0,一1,故r(B)=1。所以选A。知识模块:矩阵的特征值和特征向量5.设A为n阶实对称矩阵,则()A.A的n个特征向量两两正交。B.A的n个特征向量组成单位正交向量组。C.对于A的k重特征值λ0,有r(λ0E一A)=n-k。D.对于A的k重特征值λ0,有r(λ0E—A)=k。正确答案:C解析:实对称矩阵A必可相似对角化,A的属于k重特征值λ0的线性无关的特征向量必有k个,故r(λ0E一A)=n一k。选项C正确。需要注意的是:实对称矩阵A的特征向量不一定两两正交,但属于不同特征值的特征向量一定正交;n个特征向量不一定是单位正交向量组。知识模块:矩阵的特征值和特征向量填空题6.已知有三个线性无关的特征向量,则x=__________。正确答案:0解析:由A的特征方程可得A的特征值是λ=1(二重),λ=一1。因为A有三个线性无关的特征向量,所以λ=1必有两个线性无关的特征向量,因此r(E一A)=3—2=1,根据知识模块:矩阵的特征值和特征向量7.已知矩阵和对角矩阵相似,则a=___________。正确答案:一2解析:因为所以矩阵A的特征值分别为2,3,3。因为矩阵A和对角矩阵相似,所以对应于特征值3有两个线性无关的特征向量,即(3E一A)x=0有两个线性无关的解,因此矩阵3E一A的秩为1。可见a=一2。知识模块:矩阵的特征值和特征向量8.设三阶方阵A的特征值是1,2,3,它们所对应的特征向量依次为α1,α2,α3,令P=(3α3,α1,α2),则P一1AP=_________。正确答案:解析:因为3α3,α1,2α2分别为A的对应特征值3,1,2的特征向量,所以知识模块:矩阵的特征值和特征向量9.已知Aαi=iαi(i=1,2,3),其中α1=(1,2,2)T,α2=(2,一2,1)T,α3=(一2,一1,2)T,则A=_________。正确答案:解析:由Aαi=iαi(i=1,2,3)可知A的特征值为1,2,3。令知识模块:矩阵的特征值和特征向量10.设A是三阶实对称矩阵,特征值分别为0,1,2,如果特征值0和1对应的特征向量分别为α1=(1,2,1)T,α2=(1,一1,1)T,则特征值2对应的特征向量是__________。正确答案:t(一1,0,1)T,t≠0解析:设所求的特征向量为α=(x1,x2,x3)T,因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的,故有所以对应于特征值2的特征向量是t(一1,0,1)T,t≠0。知识模块:矩阵的特征值和特征向量11.设二阶实对称矩阵A的一个特征值为λ1=1,属于λ1的特征向量为(1,一1)T,若|A|=一2,则A=_________。正确答案:解析:设矩阵A的特征值λ1=1和λ2对应的特征向量分别为α1=(1,一1)T和α2=(x1,x2)T。实对称矩阵必可相似对角化,即存在可逆矩阵Q,使得,而相似矩阵的行列式相等,所以即λ2=一2。又实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量正交,所以α1Tα2=0,即x1一x2=0.方程组x1一x2=0的基础解系为α2=(1,1)T。令则知识模块:矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。某试验性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工。设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量。12.求的关系式并写成矩阵形式:;正确答案:由题意得化成矩阵形式为可见涉及知识点:矩阵的特征值和特征向量13.验证是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值;正确答案:因为行列式所以η1,η2线性无关。又故η1为A的特征向量,且相应的特征值λ1=1。,故η2为A的特征向量,且相应的特征值涉及知识点:矩阵的特征值和特征向量14.当正确答案:涉及知识点:矩阵的特征值和特征向量15.在某国,每年有比例为P的农村居民移居城镇,有比例为q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变,且上述人口迁移的规律也不变。把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn+yn=1)。(I)求关系式中的矩阵A;(Ⅱ)设目前农村人口与城镇人口相等,即。正确答案:由题意,人口迁移的规律不变xn+1=xn+qyn一pxn=(1一p)xn+qyn,yn+1=yn+pxn一qyn=pxn+(1一q)yn,用矩阵表示为得A的特征值为λ1=1,λ2=r,其中r=1一P—q。当λ1=1时,解方程(A—E)x=0,得特征向量当λ2=r时,解方程(A—rE)x=0,得特征向量令P=(P1,P2)=,则于是涉及知识点:矩阵的特征值和特征向量设三阶矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=3对应的特征向量依次为α1=(1,1,1)T,α2=(1,2,4)T,α3=(1,3,9)T。16.将向量β=(1,1,3)T用α1,α2,α3线性表示;正确答案:设x1α1+x2α2+x3α3=β,即解得x1=2,x2=一2,x3=1,故β=2α1一2α2+α3。涉及知识点:矩阵的特征值和特征向量17.求Anβ。正确答案:Aβ=2Aα1—2Aα2+Aα3,则由题设条件可得Anβ=2Anα1—2Anα2+Anα3=2α1—2×2nα2+3nα3=涉及知识点:矩阵的特征值和特征向量18.已知A是三阶实对称矩阵,满足A4+2A3+A2+2A=O,且秩r(A)=2,求矩阵A的全部特征值,并求秩r(A+E)。正确答案:设λ是矩阵A的任一特征值,α(α≠0)是属于特征值λ的特征向量,则Aα=λα,于是Anα=λnα。用α右乘A4+2A3+A2+2A=O,得(λ4+2λ3+λ2+2λ)α=0。因为特征向量α≠0,故λ4+2λ3+λ2+2λ=λ(λ+2)(λ2+1)=O。由于实对称矩阵的特征值必是实数,从而矩阵A的特征值是0或一2。由于实对称矩阵必可相似对角化,且秩r(A)=r(A)=2,所以A的特征值是0,一2,一2。因A—A,则有所以r(A+E)=r(A+E)=3。涉及知识点:矩阵的特征值和特征向量设A,B为同阶方阵。19.若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等;正确答案:若A,B相似,那么存在可逆矩阵P,使P一1AP=B,则|λE—B|=|λE—P一1AP|=|P一1λEP—P一1AP|=|P一1(λE一A)P|=|P一1||λE—A||P|=|λE一A|。所以A、B的特征多项式相等。涉及知识点:矩阵的特征值和特征向量20.举一个二阶方阵的例子说明的逆命题不成立;正确答案:令,那么|λE一A|=λ2=|λE一B|。但是A,B不相似。否则,存在可逆矩阵P,使P一1AP=B=O,从而A=POP-1=O与已知矛盾。也可从r(A)=1,r(B)=0,知A与B不相似。涉及知识点:矩阵的特征值和特征向量21.当A,B均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立。正确答案:由A,B均为实对称矩阵知,A,B均相似于对角阵,若A,B的特征多项式相等,记特征多项式的根为λ1,…,λn,则有所以存在可逆矩阵P,Q,使因此有(PQ一1)一1A(PQ一1)=B,矩阵A与B相似。涉及知识点:矩阵的特征值和特征向量A为三阶实对称矩阵,A的秩为2,且22.求A的所有特征值与特征向量;正确答案:由得即特征值λ1=一1,λ2=1对应的特征向量为又由r(A)=2<3可知,A有一个特征值为0。设λ3=0对应的特征向量为与是特征值0对应的特征向量。因此k1α1,k2α2,k3η是依次对应于特征值一1,1,0的特征向量,其中k1,k2,k3为任意非零常数。涉及知识点:矩阵的特征值和特征向量23.求矩阵A。正确答案:涉及知识点:矩阵的特征值和特征向量设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(一1,2,一1)T,α2=(0,一1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解。24.求A的特征值与特征向量;正确答案:因为矩阵A的各行元素之和均为3,所以有则λ=3是矩阵A的特征值,α=(1,1,1)T是对应的特征向量。对应λ=3的全部特征向量为kα=k(1,1,1)T,其中k是不为零的常数。又由题设知Aα1=0,Aα2=0,即Aα1=0.α1,Aα2=0.α2,而且α1,α2线性无关,所以λ=0是矩阵A的二重特征值,α1,α2是其对应的特征向量,因此对应λ=0的全部特征向量为k1α1+k2α2=k1(一1,2,一1)T+k2(0,一1,1)T,其中k1,k2是不全为零的常数。涉及知识点:矩阵的特征值和特征向量25.求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A。正确答案:因为A是实对称矩阵,所以α与α1,α2正交,只需将α1与α2正交化。由施密特正交化法,取涉及知识点:矩阵的特征值和特征向量26.设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=一1,λ2=λ3=1,对应于λ1的特征向量为ξ1=(0,1,1)T,求A。正确答案:设矩阵A的属于特征值λ=1的特征向量为x=(x1,x2,x3)T。实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量正交,所以ξ1Tx=0,即x2+x3=0。方程组x2+x3=0的基础解系为ξ2=(1,0,0)T,ξ3=(0,一1,1)T。涉及知识点:矩阵的特征值和特征向量27.设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=一1,λ3=0;对应λ1,λ2的特征向量依次为p1=(1,2,2)T,p2=(2,1,一2)T,求A。正确答案:因为A为实对称矩阵,故必存在正交矩阵Q=(q1,q2,q3),使将对应于特征值λ1、λ2的特征向量单位化,得由正交矩阵的性质,q3可取为的单位解向量,则由可知因此涉及知识点:矩阵的特征值和特征向量28.设三阶实对称矩阵A的秩为2,λ1=λ2=6是A的二重特征值,若α1=(1,1,0)T,α2=(2,1,1)T,α3=(一1,2,一3)T都是A属于λ=6的特征向量,求矩阵A。正确答案:由r(A)=2知,|A|=0,所以λ=0是A的另一特征值。因为λ1=λ2=6是实对称矩阵的二重特征值,故A属于λ=6的线性无关的特征向量有两个,因此α1,α2,α3必线性相关,显然α1,α2线性无关。设矩阵A属于λ=0的特征向量α=(x1,x2,x3)T,由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交,故有解得此方程组的基础解系α=(一1,1,1)T。根据A(α1,α2,α)=(6α1,6α2,0)得A=(6α1,6α2,0)(α1,α2,0)-1涉及知识点:矩阵的特征值和特征向量设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2,α1=(1,一1,1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量,记B=A5一4A3+E,其中E为三阶单位矩阵。29.验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;正确答案:由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1,依次递推,则有A3α1=α1,A3α1=α1,故Bα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α1+α1=一2α1,即α1是矩阵B的属于特征值一2的特征向量。由关系式B=A5一4A3+E及A的三个特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2得B的三个特征值为μ1=一2,μ2=1,μ3=1。设α2,α3为
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
评论
0/150
提交评论