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文档简介
广东省清远市琶江中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.(
)A.-6
B.
C.6
D.参考答案:A2.若两个向量满足,则与的夹角是(A)(B)(C)(D)参考答案:C3.已知向量=(1,2),=(0,1),=(﹣2,k),若(+2)∥,则k=()A.﹣8 B.﹣ C. D.8参考答案:A【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.【分析】求出向量+2,利用斜率的坐标运算求解即可.【解答】解:向量=(1,2),=(0,1),=(﹣2,k),+2=(1,4),∵(+2)∥,∴﹣8=k.故选:A.4.已知函数,为了得到函数的图象,只需要将的图象(
)A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度参考答案:【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.C4D
解析:由于函数=sin2x,函数g(x)=sin2x+cos2x=sin(2x+)=sin2(x+),故将y=f(x)的图象向左平移个单位长度,即可得到g(x)的图象,故选D.【思路点拨】利用二倍角公式、两角和差的正弦公式化简函数f(x)和g(x)的解析式,再根据函数y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,得出结论.5.设F1、F2是双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,若,c=2,,则双曲线的两条渐近线的夹角为()A. B. C. D.参考答案:D【分析】由已知条件求出a、b的值,可得渐近线的方程,可得两条渐近线的夹角.【详解】解:由题意可得,可得,可得,可得a=1,,可得渐近线方程为:,可得双曲线的渐近线的夹角为,故选D.【点睛】本题主要考察双曲线的性质及渐近线的方程,熟练掌握其性质是解题的关键.6.函数的定义域为开区间,其导函数在内的图象如图所示,在函数在开区间内极大值点有(
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
参考答案:B7.已知满足,若z的最小值为,则的值为 A. B. C. D.参考答案:A8.设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的(
) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案:D考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:简易逻辑.分析:本题考查的判断充要条件的方法,我们可以根据充要条件的定义进行判断,此题的关键是对不等式性质的理解.解答: 解:因为a,b都是实数,由a>b,不一定有a2>b2,如﹣2>﹣3,但(﹣2)2<(﹣3)2,所以“a>b”是“a2>b2”的不充分条件;反之,由a2>b2也不一定得a>b,如(﹣3)2>(﹣2)2,但﹣3<﹣2,所以“a>b”是“a2>b2”的不必要条件.故选D点评:判断充要条件的方法是:①若p?q为真命题且q?p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p?q为假命题且q?p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p?q为真命题且q?p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若p?q为假命题且q?p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.⑥涉及不等式平方大小的比较问题,举反例不失为一种有效的方法.9.若函数y=x2﹣3x+4的定义域为[0,m],值域为[,4],则m的取值范围是(
)A.(0,4] B.[,4] C.[,3] D.[,+∞)参考答案:C【分析】先配方利用定义域值域,分析确定m的范围.【解答】解:y=x2﹣3x+4=x2﹣3x++=(x﹣)2+,定义域为〔0,m〕那么在x=0时函数值最大,即y最大=4,又值域为〔,4〕,根据二次函数的对称性,≤m≤3,故选:C.【点评】本题考查函数的定义域值域的求法,是一道基础题.10.已知函数,若将其图像绕原点逆时针旋转角后,所得图像仍是某函数的图像,则当角取最大值时,(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示,△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图,B′在x′轴上,A′O′和x′轴垂直,且A′O′=2,则△AOB的边OB上的高为
参考答案:412.如图所示,,O为△ABC的内心,则的值为.参考答案:【考点】平面向量数量积的运算.【专题】数形结合;数形结合法;平面向量及应用.【分析】利用内心的性质求出OA的长和∠OAC,代入数量积公式计算.【解答】解:设△ABC的内切圆为⊙O与AC,AB,BC的切点分别为D,E,F,连结OD,OE,OF,OA,∴OD⊥AC,∠OAD=∠BAC=60°,设AD=x,则AE=AD=x,OA=2AD=2x,∴CF=CD=1﹣x,BF=BE=2﹣x,∵BC==.∴1﹣x+2﹣x=,解得x=,∴OA=2x=3﹣,∴=OA?AC?cos∠OAD=(3﹣)?1?cos60°=.故答案为.【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,利用内心的性质是关键.13.已知的展开式中没有常数项,,且2≤n≤7,则n=______.参考答案:514.抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是.参考答案:【考点】抛物线的简单性质.【分析】利用抛物线方程直接求解抛物线的焦点坐标即可.【解答】解:抛物线y=4ax2(a≠0)的标准方程为:x2=,所以抛物线的焦点坐标为:.故答案为:.15.在闭区间[-1,1]上任取两个实数,则它们的和不大于1的概率是
参考答案:略16.已知△ABC的面积为1,∠A的平分线交对边BC于D,AB=2AC,且AD=kAC,k∈R,则当k=
时,边BC的长度最短.参考答案:
【考点】三角形中的几何计算.【分析】由题意,=1,sinA=,求BC最短时k的值,考虑A为锐角或直角时即可,求出BC,利用导数知识,即可求解.【解答】解:由题意,=1,∴sinA=,求BC最短时k的值,考虑A为锐角或直角时即可,∴cosA=,∴由余弦定理可得BC2=5a2﹣4,设a2=t>0,则f(t)=5t﹣4,f′(t)=5﹣,t>,f′(t)>0,函数单调递增,0<t<,f′(t)<0,函数单调递减,∴t=时,函数f(t)取得最小值,即BC=,∴cosA==2cos2∠CAD﹣1,∴cos∠CAD=,∴k=cos∠CAD=.故答案为:.【点评】本题考查余弦定理的运用,考查导数知识,考查学生分析解决问题的能力,难度大.17.从集合{-1,1,2,3}中随机选取一个数记为m,从集合{-1,1,2}中随机选取一个数记为n,则方程=1表示双曲线的概率为____参考答案:由题意知基本事件总数为12,表示双曲线的要求为.当m=-1时,n=1、2;当n=-1时,m=1、2、3.故表示双曲线的概率为.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=AC=4,AA1⊥平面ABC;AB⊥AC,
(1)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;
(2)在线段BC1存在点D,使得AD⊥A1B,求的值.参考答案:(1)如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-,
则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),
设平面A1BC1的法向量为,
则,即,
令,则,,所以.
同理可得,平面BB1C1的法向量为,
所以.
由题知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为.
………5分(2)设D是直线BC1上一点,且.所以.解得,,.所以.
由,即.解得.因为,所以在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.此时,.
………10分19.如图,在平面四边形中,(I)求;(II)求的长.参考答案:(I)在中,由余弦定理得即,解得或(舍去). ………3分由正弦定理得,所以
………6分(II) ……7分则
……9分由正弦定理得,所以
…………12分20.已知函数,。⑴讨论函数的单调性;⑵如果存在、,使得成立,求满足上述条件的最大整数;⑶如果对任意、,都有成立,求实数的取值范围。参考答案:解:⑴,①当时,由于所以,函数在上单调递增;②当时,,函数的单调递增区间为;,函数的单调递减区间为⑵存在、,使得成立,等价于,当变化时,和的变化情况如下表:由上表可知:,,所以满足条件的最大整数。⑶当时,恒成立,等价于恒成立。记,所以。,。当时,,,即函数在区间上递增,当时,,,即函数在区间上递减,当时,函数取得极大值也是最大值所以。略21.1,3,5
(本小题满分12分)设△ABC三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量,,且.(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)若△ABC是锐角三角形,,求的取值范围.参考答案:解:(Ⅰ)∵,,且,∴a-2bsinA=0,由正弦定理得sinA-2sinBsinA=0.
……3分∵0<A,B,C<p,∴,得或.
……5分(Ⅱ)∵△ABC是锐角三角形,∴,
------------6分,于是==.
……8分由
及0<C<,得.
结合0<A<,∴,得,
--------10分∴,即.
------12分
略22.设有半径为3的圆形村落,、两人同时从村落中心出发。一直向北直行;先向东直行,出村后一段时间,改变前进方向,沿着与村落边界相切的直线朝所在的方向前进。(1)若在距离中心5的地方改变方向,建立适当坐标系,求:改变方向后前进路径所在直线的方程(2)设、两人速度一定,其速度比为,且后来恰与相遇.问两人在何处相遇?(以村落中心为参照,说明方位和距离)
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