广东省清远市琶江中学高三数学理摸底试卷含解析

广东省清远市琶江中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（

）A.-6

B.

C.6

D.参考答案：A2.若两个向量满足，则与的夹角是(A)(B)(C)(D)参考答案：C3.已知向量=（1，2），=（0，1），=（﹣2，k），若（+2）∥，则k=（）A．﹣8 B．﹣ C． D．8参考答案：A【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】求出向量+2，利用斜率的坐标运算求解即可．【解答】解：向量=（1，2），=（0，1），=（﹣2，k），+2=（1，4），∵（+2）∥，∴﹣8=k．故选：A．4.已知函数，为了得到函数的图象，只需要将的图象(

)A.向右平移个单位长度

B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度

D.向左平移个单位长度参考答案：【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．C4D

解析：由于函数=sin2x，函数g（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）=sin2（x+），故将y=f（x）的图象向左平移个单位长度，即可得到g（x）的图象，故选D．【思路点拨】利用二倍角公式、两角和差的正弦公式化简函数f（x）和g（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，得出结论．5.设F1、F2是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，c=2,，则双曲线的两条渐近线的夹角为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由已知条件求出a、b的值，可得渐近线的方程，可得两条渐近线的夹角.【详解】解：由题意可得，可得，可得，可得a=1，，可得渐近线方程为：，可得双曲线的渐近线的夹角为，故选D.【点睛】本题主要考察双曲线的性质及渐近线的方程，熟练掌握其性质是解题的关键.6.函数的定义域为开区间，其导函数在内的图象如图所示，在函数在开区间内极大值点有（

）A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

参考答案：B7.已知满足，若z的最小值为，则的值为 A． B． C． D．参考答案：A8.设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的(

) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：D考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解．解答： 解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．故选D点评：判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法．9.若函数y=x2﹣3x+4的定义域为[0，m]，值域为[，4]，则m的取值范围是（

）A．（0，4] B．[，4] C．[，3] D．[，+∞）参考答案：C【分析】先配方利用定义域值域，分析确定m的范围．【解答】解：y=x2﹣3x+4=x2﹣3x++=（x﹣）2+，定义域为〔0，m〕那么在x=0时函数值最大，即y最大=4，又值域为〔，4〕，根据二次函数的对称性，≤m≤3，故选：C．【点评】本题考查函数的定义域值域的求法，是一道基础题．10.已知函数，若将其图像绕原点逆时针旋转角后，所得图像仍是某函数的图像，则当角取最大值时，（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为

参考答案：412.如图所示，，O为△ABC的内心，则的值为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用．【分析】利用内心的性质求出OA的长和∠OAC，代入数量积公式计算．【解答】解：设△ABC的内切圆为⊙O与AC，AB，BC的切点分别为D，E，F，连结OD，OE，OF，OA，∴OD⊥AC，∠OAD=∠BAC=60°，设AD=x，则AE=AD=x，OA=2AD=2x，∴CF=CD=1﹣x，BF=BE=2﹣x，∵BC==．∴1﹣x+2﹣x=，解得x=，∴OA=2x=3﹣，∴=OA?AC?cos∠OAD=（3﹣）?1?cos60°=．故答案为．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，利用内心的性质是关键．13.已知的展开式中没有常数项，，且2≤n≤7，则n=______．参考答案：514.抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线方程直接求解抛物线的焦点坐标即可．【解答】解：抛物线y=4ax2（a≠0）的标准方程为：x2=，所以抛物线的焦点坐标为：．故答案为：．15.在闭区间[－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是

参考答案：略16.已知△ABC的面积为1，∠A的平分线交对边BC于D，AB=2AC，且AD=kAC，k∈R，则当k=

时，边BC的长度最短．参考答案：

【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意，=1，sinA=，求BC最短时k的值，考虑A为锐角或直角时即可，求出BC，利用导数知识，即可求解．【解答】解：由题意，=1，∴sinA=，求BC最短时k的值，考虑A为锐角或直角时即可，∴cosA=，∴由余弦定理可得BC2=5a2﹣4，设a2=t＞0，则f（t）=5t﹣4，f′（t）=5﹣，t＞，f′（t）＞0，函数单调递增，0＜t＜，f′（t）＜0，函数单调递减，∴t=时，函数f（t）取得最小值，即BC=，∴cosA==2cos2∠CAD﹣1，∴cos∠CAD=，∴k=cos∠CAD=．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查导数知识，考查学生分析解决问题的能力，难度大．17.从集合{－1，1，2，3}中随机选取一个数记为m，从集合{－1，1，2}中随机选取一个数记为n，则方程＝1表示双曲线的概率为＿＿＿＿参考答案：由题意知基本事件总数为12，表示双曲线的要求为．当m=-1时，n=1、2；当n=-1时，m=1、2、3.故表示双曲线的概率为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝AC＝4，AA1⊥平面ABC；AB⊥AC，

（1）求二面角A1－BC1－B1的余弦值；

（2）在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，求的值．参考答案：（1）如图,以A为原点建立空间直角坐标系A－,

则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),

设平面A1BC1的法向量为,

则,即,

令,则,,所以.

同理可得,平面BB1C1的法向量为,

所以.

由题知二面角A1－BC1－B1为锐角,所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为.

………5分（2）设D是直线BC1上一点,且.所以.解得,,.所以.

由,即.解得.因为,所以在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.此时,.

………10分19.如图，在平面四边形中，（I）求；（II）求的长.参考答案：（I）在中，由余弦定理得即，解得或（舍去）. ………3分由正弦定理得，所以

………6分（II） ……7分则

……9分由正弦定理得，所以

…………12分20.已知函数，。⑴讨论函数的单调性；⑵如果存在、，使得成立，求满足上述条件的最大整数；⑶如果对任意、，都有成立，求实数的取值范围。参考答案：解：⑴，①当时，由于所以，函数在上单调递增；②当时，，函数的单调递增区间为；，函数的单调递减区间为⑵存在、，使得成立，等价于，当变化时，和的变化情况如下表：由上表可知：，，所以满足条件的最大整数。⑶当时，恒成立，等价于恒成立。记，所以。，。当时，，，即函数在区间上递增，当时，，，即函数在区间上递减，当时，函数取得极大值也是最大值所以。略21.1,3,5

（本小题满分12分）设△ABC三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若△ABC是锐角三角形，，求的取值范围．参考答案：解:（Ⅰ）∵，，且，∴a－2bsinA=0，由正弦定理得sinA－2sinBsinA=0．

……3分∵0＜A，B，C＜p，∴，得或．

……5分（Ⅱ）∵△ABC是锐角三角形，∴，

------------6分，于是==．

……8分由

及0＜C＜，得．

结合0＜A＜，∴，得，

--------10分∴，即．

------12分

略22.设有半径为3的圆形村落，、两人同时从村落中心出发。一直向北直行；先向东直行，出村后一段时间，改变前进方向，沿着与村落边界相切的直线朝所在的方向前进。（1）若在距离中心5的地方改变方向，建立适当坐标系，求：改变方向后前进路径所在直线的方程（2）设、两人速度一定，其速度比为，且后来恰与相遇.问两人在何处相遇？（以村落中心为参照，说明方位和距离）