湖南省衡阳市常宁第七中学高三数学理下学期摸底试题含解析

湖南省衡阳市常宁第七中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过点且平行于直线的直线方程为（

）A．B．C．D．参考答案：A略2.设全集,集合,,则=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B，所以，选B.3.关于x的方程至少有一个正的实根,则a的取值范围是（

）A．a≥0

B．－1≤a＜0

C．a≥－1

D．a＞0或－1＜a＜0

参考答案：C略4.

等比数列{an}的首项a1=1536,公比q=－，用πn表示它的前n项之积。则πn(n∈N*)最大的是(

)

(A)π9

(B)π11

(C)π12

(D)π13参考答案：C解：πn=1536n×(－)，故π11<0，π9，π12，π13>0．作商比较：又，=15363′()66－36>1，=1536′()78－66<1．故选C．5.设，若在方向上的投影为2，且在方向上的投影为1，则和的夹角等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A6.数列{an}满足a1=1，a2=，并且an（an﹣1+an+1）=2an+1an﹣1（n≥2），则该数列的第2015项为(

) A． B． C． D．参考答案：C考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用递推关系式推出{}为等差数列，然后求出结果即可．解答： 解：∵an（an﹣1+an+1）=2an+1an﹣1（n≥2），∴anan﹣1+anan+1=2an+1an﹣1（n≥2），两边同除以an﹣1anan+1得：=+，即﹣=﹣，即数列{}为等差数列，∵a1=1，a2=，∴数列{}的公差d=﹣=1，∴=n，∴an=，即a2015=，故选：C．点评：本题考查数列的递推关系式的应用，判断数列是等差数列是解题的关键，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．7.将连续个正整数填入的方格中，使其每行、每列、每条对角线上的各数834159672之和都相等，这个正方形叫做阶幻方数阵，记为阶幻方数阵对角线上各数之和，如图就是一个3阶幻方数阵，可知。若将等差数列3，4，5，6，的前16项填入方格中，可得到一个4阶幻方数阵，则（

）

A．44

B．42

C．40

D．36参考答案：B8.满足下列条件的函数中，为偶函数的是（）A．

B．

C.

D．参考答案：D9.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A）（B）（C）2（D）4参考答案：D10.已知为等差数列，若，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A因为为等差数列，若，则，选A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆C1：相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为

。参考答案：x+y-3=012.（几何证明选讲选做题）如图2，圆的直径，直线与圆相切于点，于点D，若，设，则______．

参考答案：

13.在平面直角坐标系中定义点之间的交通距离为.若C(x,y)到点A(1,3)、B(6,9〉的交通距离相等,其中，实数x、y满足，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为__________参考答案：14.若，，则与均垂直的单位向量的坐标为__________________．参考答案：或者略15.程序框图（即算法流程图）如图所示，其输入结果是_______。参考答案：127解析：根据流程图可得的取值依次为1、3、7、15、31、63……16.过抛物线的焦点的直线交该抛物线与两点，若,=

.参考答案：略17.已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·(＋)的值为

．参考答案：6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设X为随机变量，从棱长为a的正方体,的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，X=0；当四点不共面时，X的值为四点组成的四面体的体积．(I)求概率P(X=0)；(II)求X的分布列，并求其数学期望E(X)．参考答案：解（1）从正方体的八个顶点中任取四个点,共有种不同取法.其中共面的情况共有12种(6个侧面,6个对角面).则P(X=0)=.

（2）任取四个点,当四点不共面时,四面体的体积只有以下两种情况:①四点在相对面且异面的对角线上,体积为这样的取法共有2种.②四点中有三个点在一个侧面上,另一个点在相对侧面上,体积为.这样的取法共有种X的可能取值是0，，X的分布列为X0

数学期望E(X)=略19.（12分）已知椭圆系方程：(，)，是椭圆的焦点，是椭圆上一点，且.（1）求的方程；（2）P为椭圆上任意一点，过P且与椭圆相切的直线与椭圆交于M，N两点，点P关于原点的对称点为Q，求证：的面积为定值，并求出这个定值．

参考答案：（1）椭圆的方程为：：

即：∵．∴，又………2分即：又,∴椭圆的方程为：

………4分（2）解：设，则当直线l斜率存在时，设l为：,则，由联立得：由得

…………6分到直线的距离

同理，由联立得：，…………8分

………………10分当直线l斜率不存在时，易知，的面积为定值……………12分

20.已知函数．（Ⅰ）解关于x的不等式；（Ⅱ）若恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（I）讨论的范围，去掉绝对值符号解不等式；（II）根据的单调性求出的最小值，得出关于的不等式，从而求出的范围．【详解】解：（I）当时，不等式为：，解得，故．当时，不等式为：，解得，故1＜x＜3，当时，不等式为：，解得，故．综上，不等式的解集为．（II）由恒成立可得恒成立．又，故在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为．∴，解得．即的最值范围是．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，函数最值与函数恒成立问题，属于中档题．21.（10分）已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．参考答案：考点： 绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题： 计算题；压轴题．分析： （1）不等式转化为|x﹣2|+|a﹣1＞0，对参数a进行分类讨论，分类解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，利用不等式的性质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围．解答： 解：（Ⅰ）不等式f（x）+a﹣1＞0即为|x﹣2|+a﹣1＞0，当a=1时，解集为x≠2，即（﹣∞，2）∪（2，+∞）；当a＞1时，解集为全体实数R；当a＜1时，解集为（﹣∞，a+1）∪（3﹣a，+∞）．（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，（7分）又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m＜5，故m的取值范围是（﹣∞，5）．点评： 本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，涉及面较广，知识性较强．22.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在直三棱柱中，底面△是等腰直角三角形，，为侧棱的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）．参考答案：【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.（2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容】（1）图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系.（2）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角.【参考答案】（1）因为底面△是等腰直角三角形，且，所以，，………2分因为平面，所以，

………4分所以，平面．

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