2021年湖北省襄阳四中高考数学模拟试卷（一）附答案解析

2021年湖北省襄阳四中高考数学模拟试卷(一)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

x

1.已知集合/={y\y=log2(x+1),%>0],B={y\y=(|),x>1],则ZUB=()

1

A.{y\y>-}B.{y\y>0]c.{y|o<y<|}D.{y|0<y<-}

2.复数(l+i)2等于()

A.2B.-2C.2iD.—2i

3.己知国，回，则S的值为()

A.0B.□c.0D.0

4.己知点a在抛物线y2=4x±,且点4到直线X-y-l=0的距离为鱼，则点4的个数为(

A.1B.2C.3D.4

5.已知幕函数y=/(%)的图象过点(2,四)，则/(9)=()

A.3B.|C.9D4

6.已知｛厮｝为正项等比数列，Sn是它的前几项和，若C13与as的等比中项是2,且614与2a7的等差中项

为:,则55=()

A.35B.33C.31D.29

7.抛掷一枚均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点)一次，观察掷出向上的

点数，设事件4为掷出向上为偶数点，事件B为掷出向上为3点，则.耀两用|=()

8.若％6(0,1),。=等，。=喈2c=(等丁，则a,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.在下列向量组中，不能把向量8=(3,2)表示出来的是()

A.宙=(0,0),e；=(1,2)B.瓦>=(-1,2),互=(5,-2)

C.瓦=(3,5),弑=(6,10)D.e7=(2,—3),&=(-2,3)

10.下列结论正确的是()

A.如果一条直线和平面内一条直线平行，则这条直线平行这个平面

B.如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直

C.如果一个平面内的两条相交直线a,b分别平行于另一个平面内的两条相交直线a',b',那么

这两个平面互相平行

D.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直

11.某位同学连续抛掷质地均匀的骰子10次，向上的点数分别为1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,

则这10个数（）

A.众数为2和3B.标准差为:

C.平均数为3D.第85百分位数为4.5

12.下列命题中是真命题的是（）

A.存在一个实数支，使—2/+%—4=0

B.所有的素数都是奇数

C.在同一平面中，同位角相等且不重合的两条直线都平行

D.至少存在一个正整数，能被5和7整除

E.菱形是正方形

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知函数/（x）=/+：：；7+a,aeR,若对于任意的％eN*,/（x）>4恒成立，贝Ua的取值范围是

14.已知函数丫=在05（k0在区间CW）单调递减，则实数k的取值范围为.

15.湖面上漂着一球，湖结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为24,深为8的空穴，则该球的表

面积为.

16.以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线倾斜角为壬则双曲线C的

离心率为.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知△力BC,中a,b,c分别是力，B,C的对边，关于久的方程/cosC+4起山C+6<0的解集

为空集.

（1）求角C的最大值；

（2）若c=gS=越，求当C最大时a+6的值.

22

18.已知如图甲，在矩形44/声中，AB>^AAr,C,Q分别在4B,上，^.AC=

现将四边形a&GC沿CG折起,使平面44GC，平面B/GC得到几何体乙，设分别为

Be1的中点.

(1)求证：。£7/平面4BC；

(2)求证：BD1DQ.

(乙)

19.一袋子中装着标有数字1,2,3的小球各2个，共6个球，现从袋子中任取3个小球，每个小球被

取出的可能性都相等，用f表示取出的3个小球的数字之和.

求：(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

(2)求随机变量f的概率分布及数学期望E(f)(其中E(f)=X1P1+x2p2+…+XnPn).

20.数列｛5｝,｛4｝满足：a1=2,2an+1=an+n,bn=an-n+2(nEN*)

(1)求数列｛与｝的通项公式；

(2)设数列｛a",｛,｝的前n项和分别为人心B”，问是否存在实数人使得｛包詈｝为等差数列？若存

在，求出2的值；若不存在，说明理由.

21.已知函数/(%)=e~x+ax(aGR).

(1)讨论/(%)的最值；

(2)若a=0,求证：/(%)>--X2+

22.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，其离心率6=立，短轴长为4.

3

(I)求椭圆c的标准方程；

(H)已知点Q(l,l),直线I：y=x+zn(?neR)和椭圆C相交于4、B两点，是否存在实数m,使A4BQ

的面积S最大？若存在，求出血的值；若不存在，说明理由.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：集合4=（y\y-log2（x+l）,x>0]={y\y>0],

B={y\y=（q）x,x>1}={y|0<y<1},

则力UB={y\y>0}.

故选:B.

求值域得集合4、B,根据并集的定义写出4UB.

本题考查了求函数的值域与集合的运算问题，是基础题.

2.答案：C

解析：解：（l+i）2=1+2»+产=23

故选：C.

直接展开两数和的平方公式求解.

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.

3.解析：试题分析：由国，所以回，又因为国，故叵I,叵I,解得回，0.

考点：同角三角函数关系，三角恒等变化.

4.答案：C

解析：解：设4（3）,

•••点4到直线x-y-l=0的距离为迎，

\x-y--2,

当x—y—1=2,即?—y—3=0,方程有两解；

x—y—1=—2,即彳一y+l=0,方程有一解，

.•・满足条件的点4有3个.

故选：C.

根据点4到直线x-y-l=0的距离为迎，列出方程，解方程可得结论.

本题考查抛物线方程，考查点到直线距离公式的运用，属于基础题.

5.答案：A

解析：解：设/'（X）=xa,

_-1

则f(2)=2。=近,解得a=

贝好Q)=«,/(9)=强=3，

故选：A.

利用待定系数法求出〃久)的表达式即可.

本题主要考查函数值的计算以及哥函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键.

6.答案：C

解析：解：C13与的等比中项是2,且口4与2a7的等差中项为：，

4

贝(Ja3a5=4,ci^,+2a7~

｛。九｝为正项等比数列，设公比为q,

436

可得Giq2.arq=4,arq+2a1q=j,

解得q=5，的=16,

则Ss=16°了)=31.

故选：C.

运用等差中项和等比中项的性质，以及等比数列的通项公式，｛/J为正项等比数列，设公比为q,得

到首项和公比的方程，解方程可得首项和q,再由等比数列的求和公式计算即可得到所求值.

本题考查等差中项和等比中项的性质，以及等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想

和运算能力，属于基础题.

7.答案：B

解析：试题分析：事件四为掷出向上为偶数点，:假御:=白，事件点为掷出向上为3点，.•・盛蜀:=2，

3倒

又事件■、蜃是互斥事件，事件：《题3置j：为事件■、点有一个发生的事件，理律.3卷!：=3,故选

3

B.

考点：互斥事件的概率.

8.答案：D

解析：解：令〃久)=*,xG(0,1),则「(X)=x-sy

令9(%)=x—sinxcosx,xe(0,1)，g'(x)=1—cos2x>0,

・・.g(%)在(0,1)上单调递增，

g(%)>g(0)=0,则/'(%)>0,

・•・/(%)在(0,1)上单调递增，

又当％G(0,1)时，0</v%<1,故/(/)</(%),即b<a；

令h(%)=tanx—x,xE(0,1),h(%)=去短—1=tan2%>0,

・•・h(X)在(0,1)上单调递增，则九(%)>九(0),即tern%—%>0,则可^>1,

otCLTLX口口

•••>即c>a；

综上，b<a<c.

故选：D.

令/(%)=E(0,1),判断函数/(%)的单调性,结合0VM<%v1,可比较a与b的大小;令九(%)=

tanx-x,XG(0,1),判断函数拉。)的单调性，可知等>1,进而判断a与c的大小关系，综合即可

得出答案.

本题考查利用导数研究函数的单调性,考查实数的大小比较,考查构造函数思想以及运算求解能力，

属于中档题.

9.答案：ACD

解析：对4零向量与任何向量都是共线向量，故瓦=(0,0),石=(1,2)不能做为一组基底，故A不

能；

对B,(-l)x(-2)^5x2,e7=(-1,2),石=(5,-2)不共线，故8能.

对C,•••3x10=5x6,.,.前=(3,5),正=(6,10)不能做为一组基底，故C不能.

对D,2x3=(-2)x(-3),.•.瓦=(2-3),石=(一2,3)不能做为一组基底，故。不能.

故选：ACD.

10.答案：CD

解析：解：对于4如果一条直线和平面内一条直线平行，则这条直线平行这个平面或直线在平面内,

故选项A错误；

对于B,如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直，故选项8

错误；

对于C,由面面平行的判定定理的推论可知，如果一个平面内的两条相交直线a,b分别平行于另一

个平面内的两条相交直线a',b',那么这两个平面互相平行，故选项C正确；

对于D,由面面垂直的判定定理可知，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面

相互垂直，故选项。正确.

故选：CD.

根据线线、线面、面面的位置关系，依次判断四个选项的正误即可.

本题考查了空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的理解与应用，考查了逻辑推理

能力与空间想象力，属于基础题.

11.答案：AC

解析:解:「众数为2和3,正确，

1+3X2+3X3+4+2X5

•••平均数为=3,正确,

10

...标准差S=什3)2+(2-3)2+…+(5-3/=空史,.4错误，

\105

・•・这组数按照从小到大排为1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,

X---10x85%=8.5,且8.5非整数，.•.第85百分位数为第九个数5,二。错误.

故选：AC.

利用众数的定义判断4求出平均数判断C,求出标准差判断B,求出百分位数判断D.

本题考查众数，平均数，标准差，百分位数的求法，属于基础题.

12.答案：CD

解析：解：对于力，△=-31<0,.•.不存在一个实数x,使一2/+%-4=0,

对于B,2是素数也是偶数不是奇数是奇数，故说法错误，

对于C,根据定义知，在同一平面中，同位角相等且不重合的两条直线都平行，正确.

对于0,35的倍数都能被5和7整除，正确，

对于E,根据定义知正方形是菱形，菱形不一定是正方形，

故选：CD.

根据定义逐个判断即可.

本题以命题的真假判断为载体，考查了数学基本知识，难度不大，属于基础题.

13.答案：6,+8)

解析：解：•.•函数/(%)=今产，且/(久)24,对于任意的XCN*恒成立

即a>=—(x+-+D+8=_[(x+i)+2]+6

—x+1x+1LV'x+lJ

o_

令g(x)=-[(%+1)+力]+6,贝！|g(无)W6-4"日，当且仅当x=2混一1时g(x)取最大值

又•：xeN*,

二当久=2时，g(x)取最大值1

故a泞

即a的取值范围是由+8)

故答案为：E，+8)

根据已知中函数f(乃=1：：+。,aeR,若对于任意的xeN*,f(x)>4恒成立，我们可将其转化

—

为a>[(x+1)++6恒成立，进而将其转化为a>g(x)max=一+1)+~^]+6,解不等式

可得a的取值范围.

本题考查的知识点是函数恒成立问题，其中将其转化为函数的最值，是转化思想在解答此类问题时

的亮点，应引起大家的注意.

14.答案：[-6,-4]U(0,3]U[8,9]U{-12}

解析：

本题考查了余弦函数的图象与性质，分类讨论思想，属于中档题.

对k的符号进行讨论，利用符合函数的单调性及余弦函数的单调性列不等式组求出/(久)的减区间，令

区间为/(%)单调减区间的子集解出人的范围.

解：当k〉0时，令2爪兀WkxW兀+2爪兀，解得勺竺+mEZ,

kkk

•・・函数y=々COS(/C%)在区间单调递减，

71〉2m7T

厂J，解得{的列A，mez,0<fc<3^8</c<9.

囚v三+2mn<3+6m

(3~kk

当/c<0时，令一7T+27H7TW—々X<27H7T,解得?一%W—%匕TTlEZ,

kkk

•・・函数y=/ccos(kr)在区间《谭)单调递减，

：>:—

「k2-,解得小J4r8m,mez,.-.-6<k<-4,或k=-12,

巴<zmnIk>—6m

I3~k

综上,k的取值范围是[一6,—4]U(0,3]U[8,9]U{-12}.

故答案为：[—6,—4]U(0,3]U[8,9]U[-12}.

15.答案：6767r

解析：解：设球的半径为r,依题意可知122+8产=产，解得丁=知.

二.球的表面积为4兀产=6767T.

故答案为：6767r.

先设出球的半径，进而根据球的半径，球面上的弦构成的直角三角形，根据勾股定理建立等式，求

得r,最后根据球的表面积公式求得球的表面积.

本题主要考查了球面上的勾股定理和球的面积公式.属基础题.

16.答案：2或2

3

解析：解：•・・以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线的倾斜角为以

当双曲线的焦点在久轴上时，-=tan^=V3,

当双曲线的焦点在y轴上时，J=tan^=V3,

当2=百时，b=V3a,

a

c2=a2+3a2=4a2,c—2a,

此时e=-=2,

a

当?=时，b=—a^c2=a2+b2=a2=^a2,c=—a,

b3333

此时e=£=速，

a3

•••双曲线C的离心率2或辿，

3

故答案为：2或2，

3

由双曲线的焦点位置，分类讨论：^=tan==V3,或^=1211日=声，根据=。2+炉即可求得即

a3D3

可求得a和c的关系，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线C的离心率.

本题考查双曲线的渐近线方程及双曲线的离心率公式，考查分类讨论思想，属于中档题.

17.答案：解：(1)•.•不等式/cosC+4xsinC+6<0的解集是空集，

cosC>0即,cosC>0

△<0'tl6sin2C—24cosC<

cosC>0

整理得:

cosC<-2或cosC>

解得：cosC>p

・•.ce(0,60。］,

则角C的最大值为60。；

(2)当C=60。时，S*BC=-absinC=-

22

•••ab=6,

由余弦定理得=a2+b2-2abcosC=(a+b}2-2ab—2abcosC,

71

c——,ctb—6,cosC——，

22

(a+bp=c2+3ab=亨

,,ii

•••a+b=—

2

解析：(1)根据不等式的性质可判断出判别式小于或等于0且cose>0,求得cosC的范围，进而根据

余弦函数的单调性求得C的最大值;

(2)根据(1)中求得C,利用三角形面积公式求得ab的值，进而代入余弦定理求得a+b的值.

此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的

关键.

18.答案:证明：(1)取BC的中点F,连接EF,AF,

E,F分另IJ是BC的中点，EF//CG，EF=

沁，

•••四边形4CC121是矩形，。是A41的中点,

(乙)

ADZ/CC1,AD=|CC1；

AD//EF,AD=EF,

.•・四边形4DEF是平行四边形，.•.£)£〃河,

又DEC平面力BC,AFu平面ABC,

DE〃平面ABC.

(2)•••四边形是矩形，AC1CC1；

又平面a&GC1平面平面441GCn平面B81GC=CC1；ACu平面ACCMI，

AC1平面BCQBi，ACVBC,

同理可证：ADLAB,

设A4]=a,BC=b,则2C=AD=A1D=ArCr=

222

22

BCl=BBl+B居=a+b,DC1=DAj+ArCl=9+亍=券，

AB2=AC2+BC2=—+b2,BD2=AB2+AD2=—+b2+—=b2+—,

4442

.­-BD2+DCl=BCl，

：.BD1DC1.

解析：（1）取BC中点F,证明四边形ADEF是平行四边形得出DE〃/IF,故而DE〃平面ABC；

（2）设=a,BC=b,计算△BDC1的边长，根据勾股定理的逆定理即可得出BD1DCr.

本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，属于基础题.

19.答案：解：（1）记“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件”为4…（1分）

则PQ4）=喏=|.…（3分）

所以取出的3个小球上的数字互不相同的概率为|.…（4分）

（2）由题意f可能的取值为4,5,6,7,8,...（5分）

「低=4）=等=a.”（6分）

%1U

P铉=5）=叱阴=g...（7分）

c6D

尸（6=6）=殳浮=|,...（8分）

P（f=7）=殳等经建，…（9分）

c63

P（f=8）=警….（10分）

所以随机变量f的概率分布为

45678

11211

p

1055510

…(12分)

11711

E(f)=4x—+5x-+6x-+7x-+8x—=6....(14^)

1055510vJ

解析：(1)记“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件”为4由古典概型公式结合组合数性质

能够得到P(a)="聋=I.由此能求出取出的3个小球上的数字互不相同的概率.

c65

(2)由题意§可能的取值为4,5,6,7,8,P(f=4)=等=2，P(f=5)="笔晅=1,p(f=6)=

c

61UC6b

虫岁=1，PG=7)=附号:犯=gP(f=8)=萼.由此能求出随机变量f的概率分布和期

望.

本题考查离散型随机变量的分布列和期望，解题时要注意古典概型的灵活运用，理解古典概型的特

征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想，掌握列举法，

学会运用统筹思想解决概率的计算问题.

20.答案：解：(1)由b九=(1rl—+2得，。九=力九十九一2,

2an+1=an+n,

2[%w+i+(n+1)—2]=bn+2n—2,即“+1=号》n，

•••也｝是首项为%=%+1=3,公比为扣勺等比数列.

711

故6n=3X(I)-.

(2)由(1)知,an=b九+九一2,

.•.An=Bn+中，

又•••｛加｝是首项为瓦=的+1=3,公比为[的等比数列，

n

.An+ABn_(l+a)Bn+)Q_n-3+6(1+4)(1-圭),

nn2n

故当且仅当4=-1时，｛组普｝为等差数列.

解析：(1)根据所给的两个式子，变形消去即+1和厮，得到有关｛g｝的递推公式，进而判断出该数列

是等比数列，再代入通项公式即可；

(2)由(1)的结果和等差(等比)数列的前n项和公式，求出4”、％的关系式，再表示出电善，再由等

差数列通项公式的特点进行求值.

本题是数列的综合题，涉及了等差数列、等比数列的通项公式，还涉及了求等差(等比)数列的前几项

和公式，考查了分析问题和解决问题的能力.

21.答案：解：(1)・函数/(%)=?一%+eR),

•••/'(%)=—e~x+a,

①当a<0时，/'(%)<0,/(%)在R上单调递减,

故/(%)不存在最值.

②当a>0时，由/'(%)=0,得久=—Ina,

当%变化时，/(%)与［。)的变化情况如下表：

X(—8,—Ina)—Ina(—Ina,+oo)

f'(x)—0+

f(x)J极小值T

/(%)在(-8,-伍Q)上单调递减，在(-仇a,+8)上单调递增，

故/(%)的最小值为/(一,a)=a-abia.不存在最大值.

综上，当a40时，/(%)不存在最大值和最小值；

当a>0时，最小值为a-。仇a.不存在最大值.

(2)证明：当。=0时，/(%)=e~x,设g(%)=?一汽+一&

28

则——e~x+x,

设九(%)=—e~x+x,则九'(%)=e~x+1>0,g'(x)在R上单调递增,

，g'G)=/+K。g(i)=-}+1>。，

.•・存在唯一的&6(|,1),使得g'(0)=0,

当x变化时，g(x)与£(久)的变化情况如下表：

X(-8,3%0Oo,+oo)

g'Q)—0+

g(x)i极小值T

g(%)在(-8,%0)上单调递减，在(%0,+8)上单调递增，

・•・9^min=g(%0)=L+%_A

Zo

由g'Oo)=o,得-e-&+xo=0,■.g(久o)一|,

Xo6(j,1),函数gOo)单调递增，

2

•••g(x°)=|x^+x0-|>|x(|)+|-|=o,

g(x)2g®))>o,e-x>-^x2+|,