中考数学微专题4-几何最值问题

第三轮复习

压轴题突破方向二

最值问题微专题4

几何最值问题

1．了解解决几何最值问题中的相关几何性质；2．应用轨迹法、构图法、寻找隐圆等方法解决几何最值问题．

几何最值问题多出现在中考填空或选择的最后一题，此类题目涉及知识面广，对综合解题能力要求较高，能否抓准几何特征，找到点的运动轨迹是解题关键．

要求熟练掌握几何最值问题中的相关几何性质，查找动点题目当中不变的量、不变的关系与不变的性质，寻找点的运动轨迹，利用“共线原理”解决问题.1．如图1，在Rt△ABC中，AC＝4，若直线EF垂直平分BC，点P在EF上，请直接写出PA＋PB的最小值，回答PA＋PB取最小值时点P的位置并在图中标出来；解：PA＋PB的最小值为________，PA＋PB取最小值时点P的位置是________；解：如图1所示，∵点P是BC的垂直平分线EF上，∴BP＝PC，∴PA＋PB＝PA＋PC，∴点P在边AC上时，PA＋PC最小＝AC＝4，故答案为：4，直线EF与AC边的交点；2．如图2，抛物线y＝x2－4x＋3与x、y轴交于点B(0，3)、C(1，0)两点，Q是对称轴上一动点，是否存在点Q使得|BQ－CQ|的值最大，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：∵抛物线对称轴是线段CD的垂直平分线，∴QC＝QD，由三角形的三边关系，|BQ－CQ|＜CB，∴点B、C、Q三点共线时，3．如图3，点D是直角三角形ACB的边AC的中点，且AC＝6，BC＝8，点E在线段BC上，将三角形DEC沿着DE对折得三角形DEC′，求点C′到点B的最小距离．解：如图，作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F，∵点D，点E关于直线AC对称，∴EM＝DM，同理DN＝NF，∵△DMN的周长＝DM＋DN＋MN＝FN＋EM＋MN，∴当点E，点M，点N，点F四点共线时，△DMN的周长有最小值，考题变式1．考题变式一：

如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，请直接写出△PQR周长的最小值________.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠P′OP″＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝2∠2＋2∠3＝2∠BOA＝60°，∴△P′OP″为等边三角形，∴P′P″＝OP′＝OP＝10，即△PQR周长的最小值为10；解：作点P关于OB的对称点P′，点P关于OA的对称点P″，连接P′P″交OB于R，交OA于Q，连接PR、PQ，如图3，则OP＝OP′，OP＝OP″，RP＝RP′，QP＝QP″，∴△PQR周长＝PR＋RQ＋PQ＝RP′＋RQ＋QP″＝P′P″，∴此时△PQR周长最小，最小值为P′P″的长，∵OP＝OP′，OP＝OP″，PP′⊥OB，PP″⊥OA，2.考题变式二：如图，∠AOB＝20°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝ON＝2，点P，Q分别在OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是________．解：作点M关于OB的对称点M′，点N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OB于P，交OA于Q，连接PM、NQ，如图4，则OM＝OM′＝2，ON＝ON′＝2，PM＝PM′，QN＝QN′，∴MP＋PQ＋QN＝PM′＋PQ＋QN′＝M′N′，∴此时MP＋PQ＋QN的值最小，最小值为M′N′，∵OM＝OM′，ON＝ON′，MM′⊥OB，NN′⊥OA，∴∠M′OB＝∠AOB＝20°，∠N′OA＝∠AOB＝20°，∴∠M′ON′＝60°，∴△M′ON′为等边三角形，∴M′N′＝OM′＝2，即MP＋PQ＋QN的值最小为2.解法总结：①两定异侧，共线和最小(模型1)当定点A与定点B在直线l的异侧，直线l上有一动点P，画出点P，使得AP＋PB的值最小.L＝AP＋PB≥AB，当A、P、B共线时Lmin

＝AB根据：①“两点之间线段最短”；②“三角形两边之和大于第三边”．②两定同侧，共线差最大(模型2)当定点A与定点B在直线l的同侧，直线l上有一动点P，画出点P，使得|AP－PB|值最大.L＝|AP－PB|≤AB，当A、P、B共线时Lmax＝AB.根据：

“三角形两边之差小于第三边”.2.寻找隐圆解：考题变式：在三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3.点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为________．解法总结：利用圆的定义确定隐圆，也可利用动点对两定点的张角为定角确定隐圆。“定点与圆中各点之间的距离”，如果点是圆之外的一点，点与圆心的直线交圆于两点，最大距离为点与远点的长度，而最小距离则是点与近点的长度。变式训练1．如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF＋FB的最小值．2.如图，圆柱形玻璃杯，高为14cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为__cm.3.如图2所示，在一张矩形白纸ABCD当中，AB＝2，AD＝3，点E为AB中点，而点F则是AD上的动点，对△AEF