数学高中知识点6向量

六、向量向量向量向量的概念向量的运算向量的运用向量的加、减法实数与向量的积向量的数量积定比分点公式平移物理学中的运用几何中的运用两向量平行的充要条件两向量垂直的充要条件一、基本概念：（1）向量的定义：叫做向量，可用字母表示，如：；也可用向量的有向线段的起点和终点字母表示，如：；（2）向量的两个要素：、；其中向量的大小又称为；记为：；（3）向量与数量的区别：向量不同于数量，它是一种新的量，数量是只有大小的量，其大小可以用正数、负数或0来表示；它是一个代数量，可以进行各种代数运算；数量之间可以进行大小比较，“大于”、“小于”的概念对数量是适用的。向量是既有大小又有方向的量；向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的；由于方向不能比较大小，因此“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的。（4）特殊形式的向量：①零向量：；记为：；方向为；规定：零向量与任一向量；②单位向量：；③自由向量：一个向量只要不改变它的大小和方向，它的起点和终点可以任意平行移动的向量，叫做自由向量(本书研究的都是自由向量)．④平行向量：叫做平行向量(也称为共线向量)；向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0平行，记作：；⑤相等向量：叫做相等向量；向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0相等，记作：；注：①零向量与零向量相等；②任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。③两个向量相等是一个很重要的概念，从几何意义上看，就是这两个向量的长度相等且方向相同；从代数表达式考虑，就是它们对应的系数相等；对于用坐标表示的向量来说，就是这两个向量的坐标相等，这一点在解题中有很重要的作用。⑥相反向量：叫做相反向量，向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0相反，记作：；二、向量的表示法（1）几何表示法：用有向线段表示，如：SKIPIF1<0；（2）字母表示法：用一个小写字母表示，如：SKIPIF1<0；注意：解题时，向量中的箭头不可省。（3）坐标表示法：在直角坐标系内，分别取的两个单位自量SKIPIF1<0作基底，则对任一向量SKIPIF1<0有且只有一对实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，就把SKIPIF1<0叫做向量SKIPIF1<0的(直角)坐标，记作；注意：①SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上的坐标，SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上的坐标。②SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；三、向量的运算：（1）向量的加法：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0②坐标法：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；③重要结论：Ⅰ围成一周顺次始终相结的向量的和为SKIPIF1<0；Ⅱ当两向量平行时，平行四边形法不适用，可用三角形法则。（2）向量的减法①向量法：三角形法则、平行四边形法SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0②坐标法：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；③重要结论：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；④从几何图形的角度理解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0取左边不等号中等号的条件取右边不等号中等号的条件取左边不等号中小于号的条件取右边不等号中小于号的条件SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0异向或其中至少有一个零向量SKIPIF1<0同向或其中至少有一个零向量SKIPIF1<0不能异向SKIPIF1<0不能同向SKIPIF1<0SKIPIF1<0同向或其中至少有一个零向量SKIPIF1<0异向或其中至少有一个零向量SKIPIF1<0不能同向SKIPIF1<0不能异向注意：若将SKIPIF1<0变为SKIPIF1<0要比较SKIPIF1<0绝对值的大小，且SKIPIF1<0；若将SKIPIF1<0变为SKIPIF1<0要比较SKIPIF1<0的模的大小，且SKIPIF1<0；（3）实数与向量的积(数乘)①定义：一般地，实数SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0的积是一个向量，记作SKIPIF1<0，它的长度和方向规定如下：Ⅰ、SKIPIF1<0Ⅱ、当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的方向与SKIPIF1<0的方向相同，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的方向与SKIPIF1<0的方向相反。②坐标法：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；③运算律：设SKIPIF1<0为实数，SKIPIF1<0为向量：结合律：SKIPIF1<0；第一分配律：SKIPIF1<0；第二分配律：SKIPIF1<0；（4）平面向量的数量积①数量积：已知两个非零向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，它们的夹角为SKIPIF1<0，则数量SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的数量积(或内积)，记作：SKIPIF1<0；注意：Ⅰ、夹角的范围：SKIPIF1<0；其中当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0；当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积大于0；当两个向量的夹角是钝角时，它们的数量积小于0；零向量与任何向量的数量积等于0。Ⅱ、投影：SKIPIF1<0叫做向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影。②坐标法运算：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；③运算律：交换律：SKIPIF1<0；结合律：SKIPIF1<0；分配律：SKIPIF1<0；注意：SKIPIF1<0④重要性质：Ⅰ、设SKIPIF1<0都是非零向量，SKIPIF1<0是与SKIPIF1<0方向相同的单位向量，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角，SKIPIF1<0则：SKIPIF1<0；Ⅱ、SKIPIF1<0；Ⅲ、当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0反向时，SKIPIF1<0；特别是：SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0Ⅳ、向量的夹角公式：SKIPIF1<0；Ⅴ、SKIPIF1<0四、定理与公式：（1）平面向量基本定理(也叫做平面向量分解定理)：如果SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是同一平面内的两个不共线向量，那么该平面内任一向量SKIPIF1<0，只有一对实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0；我们把不共线的向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（2）两个向量平行的充要条件：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为实数①向量式：SKIPIF1<0；②坐标式：SKIPIF1<0；（3）两个向量垂直的充要条件：设SKIPIF1<0①向量式：SKIPIF1<0；②坐标式：SKIPIF1<0；（4）两点间距离公式：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；如：求函数SKIPIF1<0的最小值。xOxOP1PP2ySKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①向量式：SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，中点对应向量公式SKIPIF1<0；②坐标式：中点对应向量公式SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，中点坐标公式SKIPIF1<0；如：已知直线SKIPIF1<0及两点SKIPIF1<0当SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0相交时求SKIPIF1<0的取值范围。（还可以从斜率的角度，通过数形结合解题）注意：①要分清内分点和外分点当分点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上时，点SKIPIF1<0叫SKIPIF1<0的内分点，这时SKIPIF1<0值为SKIPIF1<0；当分点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的延长线时，点SKIPIF1<0叫外分点，SKIPIF1<0值为SKIPIF1<0；点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0延长线上时，这时SKIPIF1<0值为SKIPIF1<0；点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0延长线上时，这时SKIPIF1<0值为SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0不能写成SKIPIF1<0（没有定义两向量的除法），有时可写成SKIPIF1<0；③三角形重心公式：SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为三角形三顶点的坐标。（6）平移公式：平移：设SKIPIF1<0是坐标平面上的一个图形，将SKIPIF1<0上所有点按照同一方向，移动同长度，得到图形SKIPIF1<0，这个过程就是图形的平移。平移公式：SKIPIF1<0是图形SKIPIF1<0的任意一点，按照SKIPIF1<0平移后图形SKIPIF1<0上的对应点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（注：SKIPIF1<0）注意：用平移公式，求平移后的解析式的一般步骤：①设平移后图形SKIPI