专题05 三角形面积最值问题（解析版）

专题05三角形面积最值问题一、知识导航求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．【问题描述】在平面直角坐标系中，已知、、，求△ABC的面积．【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：构造矩形ADEF，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积．这是在“补”，同样可以采用“割”：此处AE+AF即为A、B两点之间的水平距离．由题意得：AE+BF=6．下求CD：根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为：由点C坐标（4,7）可得D点横坐标为4，将4代入直线AB解析式得D点纵坐标为2，故D点坐标为（4,2），CD=5,．【方法总结】作以下定义：A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”；过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”．如图可得：【解题步骤】（1）求A、B两点水平距离，即水平宽；（2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C；（3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标；（4）根据C、D坐标求得铅垂高；（5）利用公式求得三角形面积．【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似：【铅垂法大全】（1）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．（2）取AC作水平宽，过点B作BD⊥x轴交直线AC于点D，BD即对应的铅垂高，（3）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高．（4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．（5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD．（6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．二、典例精析例一、如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．（1）求该抛物线的表达式；（2）点为该抛物线上一动点（与点、不重合），设点的横坐标为m．当点在直线的下方运动时，求的面积的最大值．【分析】（1），（2）取BC两点之间的水平距离为水平宽，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，则PQ即为铅垂高．根据B、C两点坐标得B、C水平距离为4，根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=x+1，设P点坐标为（m，m²+6m+5），则点Q（m，m+1），得PQ=-m²-5m-4，考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大．当时，△BCP面积最大，最大值为．【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高．例二、在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图像与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点在一次函数的图像下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标．【分析】（1）抛物线解析式：；一次函数解析式：．（2）显然，当△ACE面积最大时，点E并不在AC之间．已知A（-1,0）、，设点E坐标为，过点E作EF⊥x轴交直线AD于F点，F点横坐标为m，代入一次函数解析式得可得考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大．既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了，对坐标系中已知三点、、，按铅垂法思路，可得：如果能记住也不要直接用，可以当做是检验的方法咯．【总结】铅垂法是求三角形面积的一种常用方法，尤其适用于二次函数大题中的三角形面积最值问题，弄明白方法原理，熟练方法步骤，加以练习，面积最值问题轻轻松松．三、中考真题演练1．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．

(1)求这个二次函数的表达式．(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．【详解】（1）解：由题意得，；（2）解：如图1，作于，作于，交于，，，，，抛物线的对称轴是直线：，，，，，故只需的边上的高最大时，的面积最大，设过点与平行的直线的解析式为：，当直线与抛物线相切时，的面积最大，由得，，由△得，得，，，，，，，，；2．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．

(1)求b，c的值．(2)点是抛物线上的动点①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；【详解】（1）解：将、代入抛物线中，可得：，解得：，即：，；（2）①由（1）可知：，当时，，即，设的解析式为：，将，代入中，可得，解得：，∴的解析式为：，过点P作轴，交于点E，交轴于点，

∵，则，∴点E的横坐标也为，则纵坐标为，∴，的面积，∵，∴当时，的面积有最大值，最大值为；3．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；(2)求的面积．注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．【答案】(1)抛物线对应的解析式，(2)【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式，再根据解析式求点P的坐标即可；（2）求出点和抛物线顶点，，利用即可得到答案．【详解】（1）抛物线经过点，，，解这个方程组，得．抛物线对应的解析式．点是抛物线的顶点坐标，，即：，，．（2）如图，连接OP．

，，，，，，．，．【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质等知识，掌握数形结合的思想和割补法求三角形面积是解题的关键．4．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：

(1)当点M在上时，求t的值；(2)连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值；【分析】（1）证明，则，即可求解；（2）由即可求解；【详解】（1）∵平行四边形，∴，，，由题意得∶，，如下图，点在上时，

∵，，，∴，∴，则即解得：（2）如上图，∵，∴，∵四边形是菱形，则，∴，∴为等腰三角形，则过点作于点，则即解得∶，则，设中边上的高为，则即：，故有最大值，当时，的最大值为；5．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．

(1)求二次函数的表达式；(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可；（3）由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可．【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，将代入上式得：，所以抛物线的表达式为；（3）由已知点，，，设直线的表达式为，将，代入中，，解得，∴直线的表达式为，同理可得：直线的表达式为，∵，∴设直线表达式为，由（1）设，代入直线的表达式得：，∴直线的表达式为：，由，得，∴，∵P，D都在第一象限，∴，∴当时，此时P点为.．【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键．6．（2023·山东聊城·中考真题）如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值．【答案】(1)(2)点Q坐标，或或；(3)时，有最大值，最大值为．【分析】（1）将，代入，待定系数法确定函数解析式；（3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，可证，；运用待定系数法求直线解析式，直线解析式；设点，，则，，，，运用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，从而确定时，最大值为．【详解】（1）将，代入，得，解得∴抛物线解析式为：（3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，∵，∴∴∵∴，同理可得设直线的解析式为：则，解得∴直线：同理由点，，可求得直线：设点，，则，，，中，，∴，中，∴，解得，∴∵∴；中，∴，解得，∴∵∴∴，即．∵∴时，，有最大值，最大值为．【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，一元二次方程求解，解直角三角形，结合动点运动情况，分类讨论是解题的关键．7．（2023·湖北荆州·中考真题）已知：关于的函数．

(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．①当点为抛物线顶点时，求的面积；②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．【答案】(1)0或2或(2)①6，②存在，【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出值．（2）①根据和的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标，从而求出长度，再利用和的坐标点即可求出的直线解析式，结合即可求出点坐标，从而求出长度，最后利用面积法即可求出的面积．②观察图形，用值表示出点坐标，再根据平行线分线段成比例求出长度，利用割补法表示出和，将二者相减转化成关于的二次函数的顶点式，利用取值范围即可求出的最小值．【详解】（1）解：函数的图象与坐标轴有两个公共点，，，，当函数为一次函数时，，．当函数为二次函数时，，若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与轴，轴分别只有一个交点时，，．当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点，即其中一点经过原点，，，．综上所述，或0．故答案为：0或2或．（2）解：①如图所示，设直线与交于点，直线与交于点．

依题意得：，解得：抛物线的解析式为：．点为抛物线顶点时，，，，，由，得直线的解析式为，在直线上，且在直线上，则的横坐标等于的横坐标，，，，，．故答案为：6．②存在最大值，理由如下：如图，设直线交轴于．由①得：，，，，，，，，，，即，，，，，，，当时，有最大值，最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面积问题，平行线分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及二次函数最值问题．8．（2023·湖南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．

(1)求抛物线的解析式．(2)过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值．【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意，联立抛物线与直线，求得点的横坐标，表示出的长，根据二次函数的性质求得的最大值，根据即可求解；【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，∴，解得：，∴抛物线解析式为：；（2）解：∵抛物线与直线交于两点，（点在点的右侧）联立，解得：或，∴，∴，∵点为直线上的一动点，设点的横坐标为．则，，∴，当时，取得最大值为，∵，∴当取得最大值时，最大，∴，∴面积的最大值；9.（2023·湖南怀化·中考真题）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）如图所示，过点作轴于点，交于点，得出直线的解析式为，设，则，得出，当取得最大值时，面积取得最大值，进而根据二次函数的性质即可求解；【详解】（1）解：将代入，得，解得：，∴抛物线解析式为：；（2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点，

由，令，解得：，∴，设直线的解析式为，将点代入得，，解得：，∴直线的解析式为，设，则，∴，当时，的最大值为∵∴当取得最大值时，