等比数列性质及应用课件1高二下学期数学人教A版选择性

等比数列性质及应用探究新知类比等差数列与一次函数的关系，等比数列与函数的有什么关系？

等差数列等比数列与函数的关系图像

an=a1qn-1

探究新知类比等差数列单调性判断，等比数列的单调性如何？an=a1qn-1

等差数列等比数列与函数的关系单调性

解惑提高当几个数成等比数列时设项方法与技巧

大本例一

已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________．例3数列{an}共有5项,前三项成等比数列,后三项成等差数列,第3项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132.求这个数列.典型例题解:设前三项的公比为q,后三项的公差为d,则数列的各项依次为80,

80+d,80+2d.得,

解方程组，得

所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.[点拨]本题易忽略在等比数列中，奇数项(或偶数项)符号相同这一条件，而得到a1a9＝±9.

[解析]

因为{an}为等比数列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9.所以(a1a9)2＝81，即a1a9＝±9.因为在等比数列{an}中，奇数项(或偶数项)的符号相同，所以a1，a9同号，所以a1a9＝9.[答案]

A[点拨]注意b2的符号已经确定(与－1同号)，忽略这一隐含条件就容易得到错解C.

A在等比数列中，奇数项或者偶数项的符号相同，求等比数列的某一项或者某些项时要注意项的正负问题．这也要求我们在解题时，不仅要关注眼前，更要整体考虑，并注意挖掘隐含条件．[素养提升]

思考：已知{an}是一个无穷等比数列,(1)

将{an}中的前k

项去掉,剩余各项组成一个新数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的首项与公比分别是多少?(2)

取出数列{an}中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的首项与公比分别是多少?(3)

在数列{an}中,每隔10项取出一项,组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的公比是多少?你能根据得到的结论作出一个猜想吗?

已知{an}是一个无穷等比数列,公比为q(1)将{an}中的前k项去掉,剩余各项组成一个新数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的首项与公比分别是多少?答:{an}中去掉前k项后分别是a1+k,a2+k,a3+k,…,an+k,…=q,(常数).∴{an}中去掉前k项后所得数列是等比数列,其首项是原数列的ak+1,公比是原数列的公比q.已知{an}是一个无穷等比数列,公比为q:(2)

取出数列{an}中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的首项与公比分别是多少?

答:取出{an}中的所有奇数项得a1,a3,a5,…,a2n-1,…=q2,(常数).∴取出{an}中的所有奇数项所得的数列也是等比数列,其首项为a1,公比为q2.

已知{an}是一个无穷等比数列,公比为q:

(3)

在数列{an}中,每隔k项取出一项,组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的公比是多少?你能根据得到的结论作出一个猜想吗?猜想:在等比数列{an}中每隔k项取出一项,所得的数列也是等比数列,其公比为qk+1.“子数列”性质对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为

，首项为

，公比为

；若取出所有的k的倍数项，组成的数列为

，首项为

，公比为

.等比数列ak＋1q等比数列akqk等比数列的性质例4：(1)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列

B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列

D．a3，a6，a9成等比数列(2)已知在等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q=－2，则()A．数列{2an＋an＋1}是等比数列B．数列{an＋1－an}是等比数列C．数列{anan＋1}是等比数列D．数列{log2|an|}是递减数列an＝(－2)n－1.2an＋an＋1＝2·(－2)n－1＋(－2)n＝0，an＋1－an＝－3·(－2)n－1，anan＋1＝(－2)2n－1＝(－2)·(－2)2(n－1)，log2|an|＝log22n－1＝n－1，DBC微练习1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(

)A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列D就任一等差数列{an},计算a7+a10和a8+a9,a10+a40和a20+a30时你发现了什么规律?能把你发现的规律作一般化推广吗?在等比数列中有类似的结论吗?微练习2．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝________.1

知识点三

等比数列的其它性质1．(1)已知等比数列{an}的各项均为正数，且log3a1＋log3a2＋…＋log3a9＝9，则a3a7＋a4a6＝(

)A．6

B．9C．18 D．81C考点三等比数列的实际应用[例2]

某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？[分析]

(1)该问题可以转化为等比数列模型吗？(2)a1，q分别是多少？要求哪一个量？[解析]

(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1，∴n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元．(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，∴用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元．1.等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．2．发现和提出问题，建立和求解