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文档简介
等比数列性质及应用探究新知类比等差数列与一次函数的关系,等比数列与函数的有什么关系?
等差数列等比数列与函数的关系图像
an=a1qn-1
探究新知类比等差数列单调性判断,等比数列的单调性如何?an=a1qn-1
等差数列等比数列与函数的关系单调性
解惑提高当几个数成等比数列时设项方法与技巧
大本例一
已知三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2,则此时的三个数成等差数列,则原来的三个数的和等于________.例3数列{an}共有5项,前三项成等比数列,后三项成等差数列,第3项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132.求这个数列.典型例题解:设前三项的公比为q,后三项的公差为d,则数列的各项依次为80,
80+d,80+2d.得,
解方程组,得
所以这个数列是20,40,80,96,112,或180,120,80,16,-48.[点拨]本题易忽略在等比数列中,奇数项(或偶数项)符号相同这一条件,而得到a1a9=±9.
[解析]
因为{an}为等比数列,所以a3a7=a4a6=a1a9.所以(a1a9)2=81,即a1a9=±9.因为在等比数列{an}中,奇数项(或偶数项)的符号相同,所以a1,a9同号,所以a1a9=9.[答案]
A[点拨]注意b2的符号已经确定(与-1同号),忽略这一隐含条件就容易得到错解C.
A在等比数列中,奇数项或者偶数项的符号相同,求等比数列的某一项或者某些项时要注意项的正负问题.这也要求我们在解题时,不仅要关注眼前,更要整体考虑,并注意挖掘隐含条件.[素养提升]
思考:已知{an}是一个无穷等比数列,(1)
将{an}中的前k
项去掉,剩余各项组成一个新数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的首项与公比分别是多少?(2)
取出数列{an}中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的首项与公比分别是多少?(3)
在数列{an}中,每隔10项取出一项,组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的公比是多少?你能根据得到的结论作出一个猜想吗?
已知{an}是一个无穷等比数列,公比为q(1)将{an}中的前k项去掉,剩余各项组成一个新数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的首项与公比分别是多少?答:{an}中去掉前k项后分别是a1+k,a2+k,a3+k,…,an+k,…=q,(常数).∴{an}中去掉前k项后所得数列是等比数列,其首项是原数列的ak+1,公比是原数列的公比q.已知{an}是一个无穷等比数列,公比为q:(2)
取出数列{an}中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的首项与公比分别是多少?
答:取出{an}中的所有奇数项得a1,a3,a5,…,a2n-1,…=q2,(常数).∴取出{an}中的所有奇数项所得的数列也是等比数列,其首项为a1,公比为q2.
已知{an}是一个无穷等比数列,公比为q:
(3)
在数列{an}中,每隔k项取出一项,组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗?如果是,它的公比是多少?你能根据得到的结论作出一个猜想吗?猜想:在等比数列{an}中每隔k项取出一项,所得的数列也是等比数列,其公比为qk+1.“子数列”性质对于无穷等比数列{an},若将其前k项去掉,剩余各项仍为
,首项为
,公比为
;若取出所有的k的倍数项,组成的数列为
,首项为
,公比为
.等比数列ak+1q等比数列akqk等比数列的性质例4:(1)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列
B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列
D.a3,a6,a9成等比数列(2)已知在等比数列{an}中,满足a1=1,公比q=-2,则()A.数列{2an+an+1}是等比数列B.数列{an+1-an}是等比数列C.数列{anan+1}是等比数列D.数列{log2|an|}是递减数列an=(-2)n-1.2an+an+1=2·(-2)n-1+(-2)n=0,an+1-an=-3·(-2)n-1,anan+1=(-2)2n-1=(-2)·(-2)2(n-1),log2|an|=log22n-1=n-1,DBC微练习1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(
)A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列D就任一等差数列{an},计算a7+a10和a8+a9,a10+a40和a20+a30时你发现了什么规律?能把你发现的规律作一般化推广吗?在等比数列中有类似的结论吗?微练习2.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5=________.1
知识点三
等比数列的其它性质1.(1)已知等比数列{an}的各项均为正数,且log3a1+log3a2+…+log3a9=9,则a3a7+a4a6=(
)A.6
B.9C.18 D.81C考点三等比数列的实际应用[例2]
某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值.(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值;(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱?[分析]
(1)该问题可以转化为等比数列模型吗?(2)a1,q分别是多少?要求哪一个量?[解析]
(1)从第一年起,每年车的价值(万元)依次设为:a1,a2,a3,…,an,由题意,得a1=13.5,a2=13.5(1-10%),a3=13.5(1-10%)2,….由等比数列定义,知数列{an}是等比数列,首项a1=13.5,公比q=(1-10%)=0.9,∴an=a1·qn-1=13.5×(0.9)n-1,∴n年后车的价值为an+1=13.5×0.9n万元.(2)由(1)得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9(万元),∴用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到8.9万元.1.等比数列实际应用问题的关键是:建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题,解数学模型即解等比数列问题.2.发现和提出问题,建立和求解
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