专题07一元二次方程的应用（2个知识点3种题型1种中考考法）（原卷版）

专题07一元二次方程的应用（2个知识点3种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.二次三项式的因式分解知识点2.一元二次方程的实际应用【方法二】实例探索法题型1.二次三项式的因式分解题型2.几何图形问题题型3.增长率问题【方法三】仿真实战法考法.一元二次方程的实际应用【方法四】成果评定法【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.二次三项式的因式分解二次三项式的因式分解（1）形如的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：．【例1】在实数范围内分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）．【变式1】在实数范围内分解因式：（1）； （2）．【变式2】在实数范围内分解因式：（1）； （2）．知识点2.一元二次方程的实际应用（1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；②利润问题：利润=售价成本；利润率=利润/成本×100%；③传播、比赛问题：通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.【例2】（2020·上海第二工业大学附属龚路中学八年级期中）受疫情影响某厂今年第一季度的产值只有200万元，为帮助企业渡过难关，政府出台了很多帮扶政策，在当地政府的暖心相助下，该厂第三季度的总产值提高到500万元．若平均每季度的增产率是，则可以列方程（）A． B． C． D．【例3】（2020·上海第二工业大学附属龚路中学八年级期中）某小组每人给他人送一张照片，全组共送出132张，那么这个小组共有___________人．【例4】（2020·上海市格致初级中学八年级期中）某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了6场比赛，则八年级共有_____个班级．【例5】（2020·上海外国语大学附属双语学校）工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元，按标价的八五折销售共工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件，若每件工艺品降价1元，则每天可售出该工艺品4件，如果既要每天要获得的利润4800元，又要使消费者得到实惠，问每件工艺品降价多少元出售？（3）请商场如何定价可以使每天获得最高利润？【例6】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门．当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？【例7】若两个连续整数的积是56，求这两个连续整数的和．【例8】如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．

（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？

（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？【方法二】实例探索法题型1.二次三项式的因式分解1.将在实数范围内因式分解，正确的结果是（）A． B．C． D．2.在实数范围内分解因式：（1）； （2）．3.在实数范围内分解因式：（1）； （2）；（3）．4.二次三项式，当a取何值时，（1）在实数范围内能分解；（2）能分解成两个相同的因式；（3）不能因式分解

．5.已知可以分解得到，求实数的值．6.多项式是完全平方式，求证：．题型2.几何图形问题7．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）用长为20米的竹篱笆在仓库外面围一个长方形的堆料场，一面利用外墙，要使长方形面积达到42平方米，则相邻两边的长度是多少？8．（2020·上海金山区·八年级期中）如图利用长25米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地做鸡场，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上和中间用篱笆的隔离各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆的长度为51米，为了使这个长方形的面积为216平方米，求边各为多少米？9．（2020·上海市奉贤区弘文学校）如图所示，要建设一个面积为90平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；仓库如图要求开两扇1.5米宽的小门．已知围建仓库的现有材料可使新建木墙的总长为30米，那么这个仓库设计的长和宽应分别是多少米？10．（2020·上海市进才中学北校八年级月考）如图,用总长为80米的篱笆,在一面靠墙的空地上围成如图所示的花圃ABCD,花圃中间有一条2米宽的人行通道,园艺师傅用篱笆围成了四个形状、大小一样的鲜花种植区域,鲜花种植总面积为192平方米,花圃的一边靠墙,墙长20米,求AB和BC的长.11．（上海市民办新竹园中学八年级月考）如图，在中，点P、Q同时由A、B两点出发，分别沿AC，BC的方向匀速运动，它们的速度都是每秒1cm,____秒钟后△PCQ的面积等于△ABC的一半？题型3.增长率问题12．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）某钢铁厂一月份的产量为5000t，三月份上升到7200t，则这两个月平均增长的百分率为（）A．12% B．2% C．1.2% D．20%13．（2021·上海市松江区新桥中学八年级期中）一件衬衫原价200元，经过连续两次降价后售价为162元，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为______．14．（2021·上海市教育学会青浦清河湾中学八年级期中）某商品原价为180元，连续两次提价后售价为300元，且每次提价的百分率相等，设每次提价的百分率为x，依题意可列方程__________．15．（2021·上海奉贤区·八年级期末）疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，第一周的订单数是5万件，第三周的订单数比第一周增加2.8万件，如果设平均每周订单数的增长率为x，那么符合题意的方程是___．16．（2021·上海嘉定区·八年级期末）某单位在两个月内将开支从25万元降到16万元，如果每月降低开支的百分率均为，那么这个x的值是________．17．（2021·上海静安区·八年级期末）某市某年的绿化面积是20万亩，第二、三年的年增长率相同．已知第三年的绿化面积达到了25万亩，求第三年的年增长率，如果设该年增长率为x，那么可列关于x的方程：___．【方法三】仿真实战法考法.一元二次方程的实际应用1．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为．2．（2020•上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023春·上海·八年级专题练习）受疫情影响某厂今年第一季度的产值只有200万元，为帮助企业渡过难关，政府出台了很多帮扶政策，在当地政府的暖心相助下，该厂第三季度的总产值提高到500万元．若平均每季度的增产率是，则可以列方程（

）A． B． C． D．2．（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣x）＝15 B．（x+3）（x）＝15C．（x+4）（3﹣x）＝15 D．（x+1）（4﹣x）＝153．（2021秋·上海静安·八年级上海市民立中学校考阶段练习）二次三项式3x2﹣5xy+y2因式分解正确的是（）A．B．3（x﹣）（x﹣）C．D．3（x﹣y）（x+y）4．（2022秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）某商场一月份的营业额为400万元，第一季度（包含一月、二月和三月）的营业额共1800万元，设该商场每月营业额的月平均增长率为，则可列方程为（

）A． B．C． D．5．（2022春·上海·八年级专题练习）毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，需要买礼品56件，则该兴趣小组的人数为（）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人6．（2022秋·上海·八年级校考期中）某学校有一块长方形运动场，长70米，宽50米，现计划在这一场地四周（场外）筑一条宽度相等的跑道，其面积为1024平方米．设这条跑道的宽度为x米，可以列出的是（）A． B．C． D．二、填空题7．（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）若把一个正方形的一边增加，另一边增加，所得的长方形比原正方形面积多，设原正方形的边长为x，则可列方程为．8．（2023春·上海青浦·八年级统考期末）一辆汽车，新车购买价为25万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价值万元，设这辆车在第二、三年的年折旧率为a，则可列方程为．9．（2022秋·上海宝山·八年级统考期中）某地区规划将21000平方米矩形土地用于修建文化广场，已知该片土地的宽为x米，长比宽长10米，那么这块矩形土地的长是米．10．（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）初二年级进行篮球比赛，每个班都与其他班级比赛一场，共进行36场比赛，那么初二年级共有个班级．11．（2023春·上海浦东新·八年级统考期末）有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是．12．（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）某区为创建全国文明城区，计划今年建设绿地250公顷，比前年增加90公顷，设去年和今年比上一年的增长率都是x，根据题意，可得方程．13．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）如图，在一个长为，宽为的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为，那么可列方程（不用化简）为14．（2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）某型号的原来每台售价800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为578元，则每次降价的百分率是．15．（2021春·上海闵行·八年级校考期中）接种新冠疫苗是提高社会集体免疫最有效的途径．按照“应种尽种、加快推进”原则，切实保障市民健康，发挥公共卫生健康疫苗接种示范引领作用，上海市加快推进市民疫苗接种．上海市市民新冠疫苗接种率一月份为，四月份提高到．如果每个月的接种增长率相同为，那么可列方程为．16．（2022秋·上海宝山·八年级校考期中）有一个人利用发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共有90人上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向人发送短信．17．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是．18．（2022秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示正方形，已知图2中阴影部分的面积和为．该方程的正数解为．三、解答题19．（2022秋·上海·八年级专题练习）二次三项式，当a取何值时，(1)在实数范围内能分解；(2)能分解成两个相同的因式；(3)不能因式分解．20．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）某公司2020年经营总收入为1500万元，该公司预计2022年经营总收入要达到2160万元，假设每年经营总收入的年增长率相同．(1)求每年经营总收入的增长率是多少？(2)预计2021年经营总收入为多少万元？21．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）如图，利用18米长的一段墙，用篱笆围成一个如图所示的长方形养鸡场，中间用篱笆分割出2个小长方形，每块区域的前面各开一个宽1米的门，总共用去篱笆37米，为了使这个长方形养鸡场的面积达到126平方米，求、边长各为多少米？22．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）某商店如果将进货价为每件10元的商品按每件12元出售，每天可销售200件，这种商品如果每涨价一元，其销售量就减少10件．(1)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润达到1200元？(2)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大的利润是多少？23．（2022秋·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期中）第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一百货商业中心．主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙长25米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为320平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳50米．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？解：令这个长方形垂直于墙的