ch12数字逻辑基础

1.2数制与码制数制数制转换常用的编码十进制数十进制（Decimal)=3

102

+

3

101+

3

100+3

10-1

+3

10-2权权权权权特点：1)基数10，逢十进一，即9+1=103)不同数位上的数具有不同的权值10i。(333.33)10位置计数法

2)有0-9十个数字符号二进制(Binary)特点：1）基数2，逢二进一，即1+1=10

3）不同数位上的数具有不同的权值2i。(N)2=(Kn-1

K1K0.K-1

K-m)2=Kn-12n-1++K121+K020+K-12-1+K-m2-m2)有0、1两个数字符号和小数点，数码K

i从0-1二进制数

3）不同数位上的数具有不同的权值Ri。(N)R=(Kn-1

K1K0.K-1

K-m)R=Kn-1Rn-1++K1R1+K0R0+K-1R-1+K-mR-m

特点：1）基数R，逢R进一，2)有R个数字符号和小数点，数码K

i从0~R-1，任意进制任意进制数常用数制对照表数制转换二进制十进制十进制二进制二进制八、十六进制八、十六进制二进制十进制与二进制间的转换非十进制间的转换二进制转成十进制方法：将二进制数按权展成多项式，按十进制求和。(1101.11)2例：=

1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+1×2-2=

8+4+0+1+0.5+0.25=13.75

整数部分的转换除基取余法：用目标数制的基数（R=2）去除十进制数。例：（81）10=（？）2得：（81）10=（1010001）2402010520

2

2

2

2

2

2

21K00K10K20K31K40K51K6181十进制转换成二进制0.65

2K-110.3

2K-200.6

2K-310.2

2K-400.4

2K-500.8例：（0.65）10=(?)2

要求精度为小数五位。由此得：(0.65)10=(0.10100)2十进制转换成二进制乘基取整法：小数乘以目标数制的基数（R=2）

小数部分的转换小数点为界非十进制间的转换

二进制与十六进制间的转换从小数点开始，将二进制数的整数和小数部分每四位分为一组，不足四位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的十六进制码替代，即得目的数。例9：

111011.10101B=?H

111011.10101B=3B.A8H111011.1010100000B3A8思考题本章自我检测题1，2，18，19，20，25码制编码：用一组二进制码按一定规则排列起来以表示数字、符号等特定信息。常用的编码：BCD码、格雷码、ASCII码等状态编码含义redlight100stopyellowlight010cautiongreenlight001go1.二—十进制码（BinaryCodedDecimalCode，BCD码）（1）

8421BCD码十进制数8421BCD码十进制数8421BCD码00000501011000160110200107011130011810004010091001

根据上表，请总结出8421BCD码的特点码制例：（276.8）10=（？）8421BCD276.8↓↓↓↓0010011101101000（276.8）10=（001001110110.1000）8421BCD（2）其它BCD编码2421BCD码、5421BCD码、余3BCD码码制

2.格雷码（GrayCode)DecimalBinaryGrayDecimalBinaryGray000000000810001100100010001910011101200100011101010111130011001011101111104010001101211001010501010111131101101160110010114111010017011101001511111000

思考：根据上表，请总结出Gray码的特点码制例：有一叉车数控调速系统，分为10档速度，这10档速度分别用BCD码和格雷码表示如下：速度BCD码格雷码速度BCD码格雷码000000000501010111100010001601101111200100011701111110300110010810001100401000110910011000现将3档速度调到4档速度。如果速度用BCD码编码，即：0011→0100。如果由0→1比由1→0快，在转换过程种将会短暂出现0111（七档），从而出现振动。0011

0100

0111

G0=B1⊕B0

二进制数中的第i位与第i+1位相同，则格雷码的第i位为0，否则为1，二进制数的最高位必须与0相比较。

二进制码与格雷码的转换二进制码1001→格雷码1101100111100G1=B2⊕B1G2=B3⊕B2

G3=B3ASCII码:七位代码表示128个字符，96个为图形字符，32个控制字符。3.ASCII码（AmericanStandardCodeforInformationInterchange）请同学们参考教材P12表1.8码制小结自我检测题3，4，27，28，29习题11.3逻辑代数基础基本公式和常用公式3种基本逻辑运算复合逻辑运算3个基本规则3种基本逻辑运算与运算或运算非运算逻辑表达式F=A

B=AB与逻辑真值表与逻辑关系表与逻辑开关A开关B灯F断断断合合断合合灭灭灭亮ABF101101000010ABF

逻辑符号欲使某事件成立，必须所有条件具备，缺一不可。逻辑表达式F=A

+B或逻辑真值表或逻辑ABF≥1逻辑符号使某事件成立的条件有一即可，多也不限ABF101101001110非逻辑当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。非逻辑真值表逻辑符号AF1AF0110逻辑表达式

F=A

“-”非逻辑运算符与非运算或非运算与或非运算同或运算异或运算复合逻辑运算F=ABF=A+BF=AB+CD与非逻辑或非逻辑与或非逻辑复合逻辑运算异或逻辑ABF101101001100逻辑表达式F=A

B=AB+AB

ABF=1逻辑符号ABF101101000011同或逻辑逻辑表达式F=A

B=A

B

ABF=逻辑符号“

”异或逻辑运算符“⊙”同或逻辑运算符逻辑代数的基本公式和常用公式公理00=001=10=0

11=10+0=00+1=1+0=11+1=10-1律自等律A0=0

A+1=1A1=A

A+0=A逻辑代数的基本公式和常用公式交换律结合律分配律A

B=B

A

A+B=B+A

(A

B)C=A(B

C)

(A+B)+C=A+(B+C)A

(

B+C)=A

B+A

C

A+B

C=(A+B)(A+C)互补律A

A=0

A+A=1还原律

A=A重叠律A

A=A

A+A=A逻辑代数的基本公式和常用公式反演律A

B=A+B

A+B=AB吸收律A

B+A

B=A

(A+B)

(A+B)=AA+A

B=A

A

(A+B)=AA+A

B=A+B

A(A+B)=A

B

AB+AC+BC=AB+AC(A+B)(

A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)常用公式证明例：用真值表证明反演律(摩根定律)ABAB

A+BABA+B001111011011110110000000AB=A+B

AB=A+B

A+B=A

BA+B=A

B“两项相加，一项含着另一项的非，则非因子多余.”

例：利用基本定律证明常用公式解：常用公式证明“与或表达式中，两个乘积项分别包含同一因子的原变量和反变量，而两项的剩余因子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的”公式可推广：例：证明包含律常用公式证明逻辑代数的四个基本规则

代入规则：任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立例：

AB=A+BBC替代B得由此反演律能推广到n个变量：利用反演律

反演规则对于任意一个逻辑函数式F，做如下处理：

若把式中的运算符“.”换成“+”,“+”换成“.”;

常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；

原变量换成反变量，反变量换成原变量逻辑代数的四个基本定理那么得到的新函数式称为原函数式F的反函数式F。非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换。②不属于单个变量上的非号的两种处理方法：①保持原函数的运算次序--先与后或，必要时适当地加入括号；应用反演规则时注意：例：F(A、B、C)其反函数为反演规则的应用将大非号下面的函数式当作一个变量，去掉大非号即可。

对偶式：1）若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”；2）常量“0”换成“1”，“1”换成“0”得到新函数式为原函数式F的对偶式F′。

对偶规则：如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即若F1=F2

则F1′=F2′。使公式的数目增加一倍。例：其对偶式逻辑代数的四个基本规则

函数式中有“

”和“⊙”运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符“

”换成“⊙”，“⊙”换成“

”。

求对偶式时运算顺序不变，且它只变换运算符和常量，其变量是不变的。应用对偶规则时注意：设逻辑函数Y=F（A1,A2,…,Ai,…,An），则有F（A1,A2,…,Ai,…,An）=AiF（A1,A2,…,1,…,An）+F（A1,A2,…,0,…,An）

F(A1,A2,…,Ai,…,An)=[Ai+F(A1,A2,…,0,…,An)]·[+F（A1，A2，…，1，…，An）]

逻辑代数的四个基本规则

展开规则：一、逻辑函数的定义和特点定义：输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的逻辑关系。二、逻辑函数的表示方法真值表逻辑函数式

逻辑图波形图输入变量不同取值组合与函数值间的对应关系列成表格用逻辑符号来表示函数式的运算关系特点：输入变量和输出变量只有逻辑0、逻辑1两种取值。反映输入和输出波形变化的图形又叫时序图1.4逻辑函数及其表示方法把输入和输出的关系写成与、或、非等运算的组合式F

=f（A、B、C、...）ABCF00000100101100100110101111001101101111101111逻辑函数表示方法之一——真值表A、B、C：断“0”，合“1”F：灯灭“0”，灯亮“1”逻辑函数的真值表是唯一的。

五种常用表达式“与―或”式“或―与”式“与非―与非”式“或非―或非”式“与―或―非”式基本形式逻辑函数表示方法之二——表达式

表达式形式转换“与或”式→“与非-与非”式“与或”式→“或与”式逻辑函数表示方法之二——表达式乘积项用与门实现，和项用或门实现逻辑函数表示方法之三——逻辑图逻辑函数表示方法之四——波形图逻辑函数波形图ABCF00000100101100100110101111111010librayIEEE；useIEEE.std_logic_1164.all；entityZUHEisport（A，B，C：instd_logic；

F：outstd_logic）；endZUHEarchitectureoneofZUHEisbeginF<=（AandB）or（notAandC）；end；逻辑函数表示方法之五——硬件描述语言真值表——逻辑函数式

挑出函数值为1的输入组合

写出函数值为1的输入组合对应的乘积项

这些乘积项作逻辑加逻辑函数表示方法的互相转换ABCF00000100101100100110101111111010逻辑函数式——逻辑图逻辑函数表示方法的互相转换逻辑图——逻辑函数式逻辑函数的标准形式3个变量的逻辑函数有以下8个最小项：最小项：在n个变量的逻辑函数中，P是n个变量的乘积项，如果在P中，每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次，则称P为最小项。

最小项的定义和表示最小项000001010011100101110111二进制数m0m1m2m3m4m5m6m7简化表示001ABC000m0m1m2m3m4m5m6m7100000000100000011010011100101110111000000000000100000010000001000000100000010000001111111

最小项的性质：2.任意两个最小项的乘积恒为0，即mimj=0(i≠j)；3.所有最小项之和恒为1。1.每一最小项与一组变量取值相对应，只有这一组取值使该最小项的值为1；

逻辑函数的标准与-或表达式——最小项之和的形式例：求函数的最小项之和表达式解：=m0+m1+m5+m8=∑m（0，1，5，8）=m3+m2+m1=∑m（1，2，3）逻辑函数的标准形式

函数的最大项及其性质

如果一个或项包含了全部n个变量，且每个变量都以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次，则称该或项为最大项。M0000M4100M1001M5101M2010M6110M3011M7111编号ABC最大项编号ABC最大项逻辑函数的标准形式

函数的最大项的性质

对任一最大项Mi，有且仅有一组变量取值使该最大项的值为0。

任意两个不同的最大项的和恒为1，即Mi+Mj

=1，i≠j。全部最大项的乘积恒等于0，即编号相同的最小项和最大项是互反的，即

逻辑函数的标准形式ABC000001010011100101110111mi01234567FMi0123456700010111例：已知函数的真值表，写出该函数的最小项之和、最大项之积表达式

从真值表找出F为1的对应最小项解:011331101551110661111771

然后将这些项逻辑加=m3+m5+m6+m7=∑m（3，5，6，7）逻辑函数的标准形式ABC000001010011100101110111mi01234567FMi0123456700010111

依次找出所有函数值等于0的输入组合；把变量值为1的写成反变量，变量值为0的写成原变量，相和即得到最大项；把这些最大项作逻辑乘，就得到标准或-与表达式。思考：最小项表达式和最大项表达式有什么关系。1.5逻辑函数的化简逻辑函数公式法化简逻辑函数图形法化简例：已知逻辑图，求函数表达式

乘积项中的变量最少逻辑函数化简的意义

乘积项最少最简与或式逻辑函数化简的意义

每个门的输入端个数少

逻辑电路所用门的数量少

降低成本，提高可靠性根据最简与或式得到的电路图为：逻辑函数的变换

从工程的角度，成本最低逻辑函数的变换

与或表达式的简化公式法化简函数方法：

并项：利用将两项并为一项，且消去一个变量B。

消项：利用A+AB=A消去多余的项AB

配项：利用和互补律、重叠律先增添项，再消去多余项BC

消元：利用消去多余变量代数法化简函数例：试化简函数解：利用公式利用公式利用公式利用公式卡诺图定义：按照一定规律编号的一长方形或正方形的方格图，每一方格代表一个最小项。卡诺图化简函数2~4变量卡诺图（K图）A

B00011011

m0

m1

m2

m3AABBABBAABABAB1010

m0

m1

m2

m3

miABC01000111100001111000011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m11ABCD二变量K图三变量K图四变量K图图形法化简函数

逻辑相邻:两个最小项如果只有一个因子不同,则称这两个最小项逻辑相邻；

几何相邻：直接相邻、上下相邻、左右相邻、四角相邻。0001111000011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m11ABCD直接相邻

左右相邻

上下相邻

四角相邻

卡诺图特点:几何上相邻的最小项在逻辑上也是相邻的。化简的依据图形法化简函数0001111000011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m11ABCD四变量K图两个相邻格圈在一起，结果消去一个变量ABD

ADA1四个相邻格圈在一起，结果消去两个变量八个相邻格圈在一起，结果消去三个变量十六个相邻格圈在一起，结果

mi=1

因为卡诺图中几何上相邻的最小项在逻辑上也是相邻的。因此可以利用公式和消去一个变量，达到化简的目的。图形法化简函数

用卡诺图化简逻辑函数步骤

画逻辑函数的卡诺图画包围圈，其原则为：1、要将所有的1方格都画入包围圈；2、包围圈越大越好，包围圈个数越少越好；3、同一个1可以多次参加画圈，但每个圈中都要有新的1；4、先画大圈，后画小圈，单独的1也不要漏掉；5、包围圈内的1个数只能是1、2、4、8…。

每个圈写出一个乘积项。按取同去异原则。

最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式例1：图中给出输入变量A、B、C的真值表，填写函数的卡诺图并化简。ABCF0000010100111001011101110011100011100000ABABC得：图形法化简函数ABC0100011110F例2：将F(A，B，C，D)=∑m（0，1，4，6，7，9，10，11，12，13，14，15）化为最简与非—与非式解：ACADBCBDABC化简得：最简与非—与非式为：图形法化简函数0100011110001110CDAB111111111111F图形法化简函数

用卡诺图化简逻辑函数步骤

画逻辑函数的卡诺图画包围圈，其原则为：1、要将所有的1方格都画入包围圈；2、包围圈越大越好，包围圈个数越少越好；3、同一个1可以多次参加画圈，但每个圈中都要有新的1；4、先画大圈，后画小圈，单独的1也不要漏掉；5、包围圈内的1个数只能是1、2、4、8…。

每个圈写出一个乘积项。按取同去异原则。

最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式解：图形法化简函数利用卡诺图化简逻辑函数F（A，B，C，D）=∑m(1,5,6,7,11,12,13,15)11111111ACD多余包围圈0100011110001110CDABF

根据函数画卡诺图的方法1.已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格填1，其余格均填0。2.若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的那些最小项对应的方格填1，其余格均填0。3.函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式，再用直接法填写。图形法化简函数解：0100011110001110CDAB图形法化简函数111