高中数学主干知识整合及规律技巧提炼

:用逻辑

E：确定性、互异性、无序性，元素与集合之间的关系是属于和不属于；

7之间的关系：集合与集合之间是包含关系和非包含关系，其中关于包含有包含

V,表示.其中一个集合本身是其子集的子集，空集是任何非空集合的真子

A,且AUB={X\X^A,或XGB},=且

及其关系

二间的关系：四种命题是指对“若p,则夕”形式的命题而言的，把这个命题作

1命题是“若夕，则p"，否命题是“若㈱p,则，逆否命题是“若㈱夕，

命题和逆否命题、逆命题和否命题是等价的，而且命题之间的关系是相互的.

若夕=夕，则夕是夕的充分条件，夕是0的必要条件；若pOq,则p,0互为先

弓集合：设命题〃对应集合4命题夕对应集合&则〃=夕等价于Ao,

司

广,或”“且”“非”的含义；

总结词的命题真假：命题oV夕，只要p,夕有一为真，即为真命题，换言之，5

题时才为假；命题"八夕，只有夕，夕均为真命题时才为真，换言之，只要夕，，

!命题；和p为一真一假两个互为对立的命题；

'且”命题的否定：命题0V夕的否定是^夕夕；命题"八夕的否定是^夕"傲

亍存在量词；

口特称命题；

事词的命题的否定：“VxGM,M*)”的否定为；a3x

定为ZxGM,^p(x)”.

:合有关问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关

心素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解

可题，要借助数轴和韦恩图加以解决.

题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这

之互相对立、一真一假的.

要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与

立关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包

队在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转

辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首

卜命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断.

题的否定是全称命题、全称命题的否定是特称命题.

象和性质：

性质

;单调性是函数在其定义域上的局部性质，是函数中最常涉及供

俄定义中的符号语言；

;偶函数其图象关于了轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区

向单调性；奇函数其图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对

司上具有相同的单调性.特别注意定义域含0的奇函数｛0)=0；

：/(x+7)=/(x)(TW0),则称心)为周期函数，T是它的一个周期.

与周期性的关系

/(x)的图象有两条对称轴x=a,x=b(aWb),则函数心)是周期速

亍的一个正周期，特别地若偶函数作)的图象关于直线x=a(〃W(K

Rx)是周期函数，2同是它的一个正周期；

心)的图象有两个对称中心Q0),(40)(〃WA),则函数作)是周期

吉它的一个正周期，特别，若奇函数4:)的图象关于点(a,0)(aW(T

心)是周期函数，2同是它的一个正周期；

斯)的图象有一条对称轴和一个对称中心(5,0)(〃#〃)，贝第

§数，4|。一0是它的一个正周期，特别是若偶函数人x)有对称中心

I函数外)是周期函数，4同是它的一个正周期，若奇函数心)有对

)),则函数於)是周期函数，4同是它的一个正周期.

图象

数、对数函数和幕函数、一次函数、二次函数等初等函数的图案

羽象变换主要是平移变换、伸缩变换和对称变换.

心)的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心(40)(〃WA),贝第

儆，4|力一是它的一个正周期，特别是若偶函数於)有对称中心

I函数7(x)是周期函数，4同是它的一个正周期，若奇函数作)有对

)),则函数作)是周期函数，4|0是它的一个正周期.

国象

数、对数函数和塞函数、一次函数、二次函数等初等函数的图笏

平移变换、伸缩变换和对称变换.

心)的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心(40)(〃WA),贝第

9数，4|〃一0是它的一个正周期，特别是若偶函数小)有对称中心

I函数7(x)是周期函数，4同是它的一个正周期，若奇函数质)有对

)),则函数於)是周期函数，4同是它的一个正周期.

数、对数函数和幕函数的图象和性质(注意根据图象记忆性质)

p=«x(a＞0,的图象和性质，分心1两种情况；对娄

z＞0,的图象和性质，分Ov〃〈L两种情况；然函数y=

贡，分事指数。＞0,G=0,夕＜0三种情况.

是炼

，函数小)满足对任意x有/(x+a)=-/(x)(a^O),则可得於+2〃

(x),即可推知2a是这个函数的一个周期；

14*+。)=-看(2°卜

故/(X)满足对任意x都有f[x+a)=丽'同

其周期;

1+f(x]

敏/(x)满足对任意x,都有J[x+〃)=[_=、(〃W0,则采

1一八x)

x+4a)进行推理可得其一个周期是4a.

数个)满足对任意X都有加+x)=加-X),则这个函数图象本身

a+h

目形，关于直线x=「厂对称，反之亦然；如果函数於)满足对任

")=-火〃-X),则这个函数图象本身是一个中心对称图形，对的

、

0,反之亦然.注意这个结论中〃=〃的情况.

7

度＞=/(%)的图象关于直线x=a(aWO)对称可得函数解析式满足处

进而火2〃+x)=/(-x)=/(x),即可得到函数y=/(x)的一个周期罢

Qx)的图象关于点(a,O)(〃WO)对称时，可得X〃+x)=-/(a-x),以

f(la+x)==/(x),也可推出2a是函数心)的一个周期.

内零点

与向加的零点的关系：由函数的零点的定义可知，函数歹=

强方程外）=0的实数根，也就是函数歹=/@）的图象与*耙

标.所以，方程府）=0有实数根O函数歹=府）的图象与3

।数^二八%）有零点・

去

:求函数零点的一般步骤：

确定区间［〃，b］,验证/（a）/；A）＜0,给定精确度£;

求区间［e口的中点c；

计算火。）：

=0,则。就是函数的零点；

y（c）＜0,则令A=c（此时零点c））；

y（6）＜o,则令〃=c（此时零点勺£（“6））；

绪达到精确度£：即若|〃一加£,则得到零点近似值〃（或力）；

（4）.

英型

1模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要

其解题步骤是：（1）阅读理解，审清题意：分析出已知什么,

I提炼出相应的数学问题；（2）数学建模：弄清题目中的已知

:系，建立函数关系式；（3）解函数模型：利用数学方法得出

【学结果；（4）实际问题作答：将数学问题的结果转译成实际

自解和函数零点的关系，可以把方程和函数联系起来，通过

「究方程根的分布以及采用逐步缩小方程根所在区间的方法

、解（二分法），但在实际中我们一般是求方程解的个数、或者

:求方程中的字母参数的范围，这时数形结合是基本的解题

一程分拆为一个等式，使两端都是我们所熟悉的函数的解淅

,两个函数g（x）,即把方程写成人¥）=g（x）的形式，这时

:就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋密

母参数所满足的各种关系.

去求方程的近似解的依据是函数的零点存在定理，当把方程

a+b

.在区间（小分）上时，取区间的中点、=「，一，则下一个有相

G十八

.据函数的零点存在定理进行判断的，即在/「厂的符号与

\J

.异号的区间内.

:莫型是一种重要的数学模型，解决函数建模的关键是找到一

标的变量，使用这个变量把求解目标需要的量表达出来，

1了函数模型，然后通过研究这个函数的性质（单调性、最值、

:值）等，对实际问题作出解释，其中研究函数的性质可以采

r.在解决实际应用问题的函数建模时，要注意根据问题的

.函数的定义域.

向几何意义

向单调性与导数

I函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个

于零恒成立.在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的

\^y=x+sinx.

向导数与极值

I数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条

导的函数，可能在极值点处函数的导数不存在(如函数y=|x

因此对于一般函数而言，导数等于零既不是函数取得极值的

:是必要条件.

I上函数的最值

上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的

1值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值

:的函数值和在这个区间内函数的所有极小值的最小者.

》与曲边形面积

7y=/a)的曲边梯形的面积：在区间口，刃上的连续的曲线j

戋x=a,x=b(a7b),y=0所围成的曲边梯形的面积S=

时，S=j^/(x)dx；当f(x)〈O时，S=—bf(x)6x.

J歹=/(*)，J=g(x)的曲边形的面积：在区间［〃，A］上连续的

J=g(x)，而直线x=b(a*b),y=0两围成的曲边梯

=『次%)—g(x)|dx.当/(x)2g(x)时，S=『心)一g(x)］dx；=

a

s='庶(x)—/(x)]dx.

Ja

是炼

刃线问题时要注意求的是曲线上某点处的切线问题，还是曲

，的切线问题.

内单调性是使用导数研究函数问题的根本，函数的单调递增

:减区间的分界点就是函数的极值点，在含有字母参数的球

:的单调性就是根据函数的极值点把函数的定义域区间进彳1

一段上研究函数的导数的符号，确定函数的单调性，也确定

1点，这是讨论函数的单调性和极值点情况进行分类的基本

孕数的方法研究不等式问题的基本方法是构造函数，通过导

:这个函数的单调性、极值，利用特殊点的函数值和整个区

L的比较得到不等式，注意在一些问题中对函数的解析式进

:再构造函数.

公数的方法研究方程的根的分布，其基本思想是构造函数后,

方法，即先通过“数”的计算得到函数的单调区间和极值,

的直观得到方程根的分布情况.

亘等变换与三角函数

他in仅比十0)(4>0)的图象特点：①在对称轴处取得最大

②对称中心就是函数图象与X轴的交点；③两相邻的

对称轴）之间相差半个周期，相邻的一个对称中心和对

生四分之一个周期.

函数的恒等变换：从函数名、角、运算三方面进行差异

向技巧有：切割化弦，降累，用三角公式转化出现特殊

司角，异名化同名，高次化低次等.二倍角公式是实现

勺主要依据，注意其变形：l+cos2a=2cos2"，1—cos2c

21+cos2a.21—cos2a

a=2,sina=2•

东

角函数的图象求解函数的解析式时，要注意从图象提供的信息确

生质，如最小正周期、最值，首先确定函数解析式中的部分系数,

裒上的特殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字冉

主意解析式中各个字母的范围.

角函数的图象变换时，要注意无论进行的什么样的变换都是变接

全别在平移变换中，如果这个变量的系数不是1,在进行变换时变

与其中，如把函数y=sin2x+7的图象向左平移不个单位时，彳用

sin2x+r+彳=sin2x+1的图象.

角函数的图象与性质类的试题，变换是其中的核心，把三角函教

更换，化为正弦型、余弦型、正切型函数，然后再根据正弦函数、

力函数的性质进行研究.

:理

16C中，a,4。分别为内角44、。的对边，则焉=舄='

bllLrlS1ILOblUC

形外接圆的半径）.

:理

中，a,b,c分别为内角力、B、。的对边，则/=力2+。2—

日22

二味屋,另外两个同样.

1DC

式

出。中，a,b,c分别为内角力、B、。的对边，贝IJ

的面积等于底乘以高的;；

sinC=%siiL4=%siiLS=甯（其中R为该三角形外接圆的半径）;

//

形内切圆的半径是心则三角形的面积S=；（〃+A+c）r；

+:十；则三角形的面积S=y]p（p—a）（p—b）（p—c）.

I测量中常涉及如仰角、俯角、方位角等术语

E弦定理能够解的三角形有两类，一类是已知两边及其中一

类已知一边和两个内角（实际就是已知三个内角），其中第一

,根据余弦定理列出方程求出第三边，再求内角.在使用苴

I形内角时，要注意解的可能情况，判断解的情况的基本体

大边对大角.

沿三角形的两边和其中一个边的对角求解第三边时，可以侵

也可以使用余弦定理，使用余弦定理就是根据余弦定理本

这个方程联系着三甭形的三个边和其中的一个内角.

芝理揭示了三角形三边和其对角正弦的比例关系，余弦定理

的三边和其中一个内角的余弦之间的关系.

句量的基本概念

句量定理

非零向量〃共线的充要条件是有且只有一个实数九使力=入

（X1，yi）9b=（x2,%），贝!J〃〃力的充要条件是、世2=*以1或

二0,即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的

工当其中一个向量的坐标都不是零时，这个充要条件也可

，即对应坐标的比值相等.

句量基本定理

:若以不共线的向量劣作为基底，则存在唯一的一组

使〃=7g+〃«2・

内坐标运算

，1）‘b=（x29了2）,贝（J〃+力=（巧+*2,川+丁2），a—b=（x1—x29

（&i，加）・

出

1,、的夹角为〈a,b〉=佻。£[0,用)，则它们的数量积为〃”

其中向cos。叫做向量b在a方向上的投影，向量的数量秽

数乘结合律和分配律，但不满足结合律，即〃"・c)W(〃・A)・c；

(%1，J1)，b=(X2,%)，贝！J〃仍=%1%2+^^2；

响量a，b的夹角公式为。但品=出簿潦港

•a.

]量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零.

贵以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向

I量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减

使用错误，向量m=oN-mf(其中。为我们所需要的任

g个法则就是终点向量减去起点向量.

乎行四边形法则，对于非零向量eb,当|〃+川=|〃-"时，

两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|〃+力

「向量4,方互相垂直，反之也成立.

句量夹角的范围是[0,7T],在使用平面向量解决问题时要用

量夹角可能是0£五的情况，如已知两个向量的夹角为钺

，就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.

旬量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中.左

I中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，

二是三角函数问题，这类问题可以和三角函数中的一些题型

I析几何中向量知识只要是给出一些几何量的位置和数量关

要善于根据向量知识分析解析几何中的几何量之间的关系,

.得落实到解析几何方面.

.线性规划

北的基本性质

二次不等式的解法

.次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根（女

再结合对应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区间,

3数的不等式中还要根据参数的不同取值确定方程根的大力

,的开口方向，从而确定不等式的解集.

:等式

而W审3>0,Q0）称为基本不等式，常见的与这个不等式

2

:等式有：a+b^2y/ab（a9A>0）；abW7-（«,力GR）;；1

aI

Ia2+b21b、a、上升

（a96>0）；x+—^2（x>0）；—+^力2（〃力>0）等.

\i/xau

一次不等式（组）和简单的线性规划

G划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行

;实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②

;函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函券

漫小值.

也在表现形式上是一元二次不等式的情况，不要忽视了其中

:可能等于零的情况，这时可能是一次不等式，也可能一次

二，要充分考虑这些可能性.在解含有参数的不等式时，分

4的标准一定要明确，先进行大的分类，在每个类中再进彳1

1本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函教

.的技巧是创造使用这些不等式的条件，如各变数都是正数,

1或者之和为常数等，解题中要根据这个原则对求解目标遗

L,使之达到能够使用这些不等式求解最值的目的.在使用

.函数的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成

-量避免二次使用基本不等式.

商定方法是“直线定界，特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不］

I交集.确定平面区域中单个变量的范围、整点个数等，只需把区域画出来，结合图形递

故z=«x+"中的z不是直线ax+by=z^y轴上的截距，把目标函数化为y=-齐+怖可

乙在y轴上的截距，要根据力的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况7

此数列

S"与〃"的关系

5i，n—\.

〔列｛即｝中，S“=〃i+a2+…+即，从而斯

、S〃],zi22.

等差数列性质

上数列｛斯｝是公差为〃的等差数列，则

,,〃（胃一1）〃（〃1+斯）

①=+（〃-1）〃,Sn=d=.

1*正整数加，n9p,q,am+an=ap+aq^m-\-n=p+q,ant+an=2

察比数列性质

:数列｛斯｝是公比为夕的等比数列，则

n

ai(l—q)Uj-anq

n夕#1,

n=axq~\s〃=<Lq_i—q

i，q=l.

力正整数/«,n,p,q,aman=apaq^m+n=p+q,aman=a^m-

察差、等比数列的性质

!差数列的前n项和为Sn，则SsS2m-Sm,S3m—S2tn，…为等5

1的前〃项和为S〃，则在公比不等于一1时，Sm,Slm-Sm,S3b

洌.

薛差、等比数列单调性

I的单调性由公差d的范围确定，等比数列的单调性由首项和公I

5提炼

在根据数列的通项即与前〃项和的关系求解数列的通项公式E

一面，一是根据S〃+1-S〃=即+]把数列中的和转化为数列的通项二

“〃再求Sn,二是根据斯+1=S〃+1-把数列中的通项转化为和E

子求斯.注意分胃=1,“22两种情况求出结果后，判断能否整合;

刊断数歹U｛%｝是否是等差数列的方法有：（1）根据等差数列的定义,

=d（常数）；（2）证明斯+]=斯+窦2；（3）证明其通项公式是关于人

向等差数列公差不等于零）等.判断数歹U｛斯｝为等比数列的基本二

〃+C

三个数a,b,c成等差数列的充要条件是。=一，但三个数

I的必要条件是好=ac.

【求和及数列的应用

常用公式

W数列的前〃项和，等比数列的前〃项和，

n（n+l）

2+3+…+九=，

"+32+…+”2=如半地，

"+...+“3=叫叫.

常用裂项方法

11_1

，("+1)n〃+1'

1_1]

i(n+k)赤n+k)9

t2—1―1H+1J,

IM2—1212〃一12〃+1,

〃+l2〃一(〃-1)______]]空

i(n—X)*2Mn(n—X)*2W(n—l)2n1〃,2",

数学求和的基本方法

弋法、分组法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法.

数列的应用

空数列模型、等比数列模型、递推数列模型.

5提炼

弱项相消法的基本思想是把数列的通项an分拆成an=bn+\-bni

或者%=0+2-％等,从而达到在求和时逐项相消的目的，在解J

:个基本思想变换数列｛%｝的通项公式，使之符合裂项相消的条件

能位相减法适用于数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项＜

I的求和，乘以等比数列的公比再错位相减，即依据是：cn=anbn,

1d的等差数列，｛〃〃｝是公比为夕(夕W1)的等比数列，贝4qcn=qanbn

[-qcn=(即+i-斯)A〃+i=dbn+t，这样就把对应相减的项变为了一'

I达到求和的目的.

1数列应用题中首先确定是什么类型的数列，然后再根据已知和求

.数列、等比数列的知识进行解答.

-、推理与证明

推理

日纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征（或性质）,

勺全部对象都具有这些特征（或性质）的推理，或者由个别事©

仑的推理，叫做归纳推理（简称归纳）.归纳推理是由特殊到一

本的推理.（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和事

芭些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，ni

称类比）.类比推理是由特殊到特殊的推理.（3）演绎推理:

居已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照

"得到新结论的推理过程，是根据一般性的真命题（或逻辑规

》题为真的推理.

数学证明

苴接证明：分析法和综合法是两种思路相反的证明推理方五

明，综合法是顺推.分析法侧重于结论提供的信息，综合也

是供的信息，把两者结合起来，全方位地收集、储存、力口

生的全部信息，才能找到合理的解题思路.没有分析，就没

宗合的基础，它们相辅相成是对立统一的.

可接证明：反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题有

引出矛盾，从而肯定命题的结论.

数学归纳法

两步：首先证明当n取第一个值为（例如为=1）时结论正确;

嗑（A£N+,左2为）时结论正确，证明当〃=4+1时结论也正

土技巧提炼

合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，

内推理与类比推理.归纳推理是由部分得到整体的一种推理）

之由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式.

直接证明的最基本的两种证明方法综合法和分析法，这两手

攵学问题时常见的思维方式.在实际解题时，通常先用分为

各，再用综合法有条理地表述解题过程.

数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，

年关的数学命题时，要考虑是否可以使用数学归纳法进行市

£并不是所有的与正整数有关的数学命题都可以使用数学中

勺；在可以使用数学归纳法进行证明的数学命题中，要准不

左证明命题的格式,特别要注意在证明过程中一定要使用归2

，何体

空间几何体的三视图

E视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；

则视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；

府视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图.

可体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.

斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤

重立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂差

近直角坐标系；

画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的Ox'

Oyf=45。（或135。），它们确定的平面表示水平平面；

面对应图形，在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图耳

轴，且长度保持不变；在已知图形中平行于7轴的线段，石

F行于，轴，且长度变为原来的一半；

察去辅助线，图画好后，要擦去x轴、F轴及为画图添加的辅

基本面积公式

空间几何体的体积计算公式

真实图形中和两坐标轴平行的线段在直观图中仍然和两座

（实图形中与工轴平行的线段在直观图中长度不变，在真乡

平行的线段在直观图中变为原来的一半.这种画法蕴含着一

在斜二测画法中，真实图形的面积和直观图的面积之比是

空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全日

可几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注

田积还是表面积”.多面体的表面积就是其所有面的面积2

女面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和.

实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球，往往

球或其一部分组成的组合体，解决这类组合体体积的基才

用”，将组合体“分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、

A分别计算其体积”，然后根据组合体的结构，将整个侪

当“部分体积”的和或差.

三、点、直线、平面间的位置关系

平行关系的转化

二面平行问题常常转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行1

f直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系I

画血平行的判定

M线面平行的判定线面面面平行的判定面面

亍飞面面行的赢［平行画面平行的性就平行

面面平行的性质

库决平行问题时要注意以下结论的应用

台过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

§个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个

一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交.

q亍于同一条直线的两条直线平行.

q亍于同一个平面的两个平面平行.

口果一条直线与两个相交平面都平行,那么这条直线必与它们的交

宣直关系的转化

彳亍关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图.

冈线面垂直的判邑I线面［面面垂直的判赴J面面I

:直‘线面垂直的性质垂直,面面垂直的性质垂直

:直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个邛

二面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面.当题目中有i

N一般都要用此定理进行转化.

f提炼

求二面角问题中，如果图形中没有显示出二面角的棱，贝建

卜公理作出这个二面角的棱.

在空间中线线平行和面面平行都有传递性，但线面平行汲

士间任意平移两条直线不改变两条直线所成的角，同时注定

勺范围是［o,

两异面直线所成的角归结到一个三角形中的内角时，容易密

F的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角

面面垂直的性质定理在立体几何中是一个极为关键的

理的主要作用是作一个平面的垂线，在一些垂直关系

发面角、二面角的求解中很多情况都要借助这个定理作

.垂直问题的关键是线面垂直，通过线面垂直证明线线;

的定义），通过线线垂直证明线面垂直（线面垂直的判定

直（面面垂直的判定定理），在解决垂直问题中要把这些

,确定合理的推理论证顺序.

空间向量与立体几何

空间向量

加减法和线性运算；

比线向量定理；

支面向量定理；

空间向量基本定理；

空间两个向量的夹角；空间两向量夹角的范围是[0,n],即

句量的数量积；

空间向量的坐标运算.

夹角计算公式

戋线角：直线与直线所成的角为仇如两直线的方向向量分

）s，=|cosb〉I；

戋面角：直线与平面所成的角为仇如直线的方向向量为

勺n,则sin^=|cos（a,n）|；

画面角：两相交平面所成的角为仇两平面的法向量分别为/

=|cos〈小，孙〉I，其特殊情况是两个半平面所成的角即二显

支个公式解决，但要判定二面角的平面角是锐角还是钝角白

田=|cos〈〃1，胃2〉|还是COS，=一|cos〈〃1，胃2〉|.

距番公式

点点距：点与点的距离，以这两点为起点和终点的向量的相

点线距：点M到直线〃的距离，如直线的方向向量为m1

V,则点M到直线〃的距离〃=|M^sin〈尔,〃〉；

戋线距：两平行线间的距离，转化为点线距离；两异面直鱼

匕为点面距离或者直接求公垂线段的长度；

直面距：点M到平面”的距离：如平面a的法向量为“斗

kN,则点M到平面a的距离〃=|E|cos〈尔,加尸区

戋面距：直线和与它平行的平面间的距离，转化为点面距意

面面距：两平行平面间的距离，转化为点面距离.

5提炼

空间向量证明位置关系的方法：

戋线平行：直线与直线平行，只要证明它们的方向向量平有

发面平行：用线面平行的判定定理，证明直线的方向向量上

子的方向向量平行；用共面向量定理，证明平面外直线的交

勺两相交直线的方向向量共面；证明直线的方向向量与平再

助面平行：平面与平面的平行，除了用线面平行的判定定至

亍外，只要证明两平面的法向量平行即可.

戋线垂直：直线与直线的垂直，只要证明两直线的方向向建

戋面垂直：用线面垂直的定义，证明直线的方向向量与平再

复线的方向向量垂直；用线面垂直的判定定理，证明直线伊

京内的两条相交直线的方向向量垂直；证明直线的方向向建

I:平行.

助面垂直：平面与平面的垂直，除了用面面垂直的判定定至

呈外，只要证明两平面的法向量垂直即可.

空间向量中有个共面向量定理，这个定理的一个导出结论京

£意一点。和不共线的三点4B,C,且有力=

：€R）,四点P,4B,。共面的充要条件是x+y+z=L

£、直线和圆

线的斜率

线的方程

手直线的位置关系

亍；（2）垂直；（3）相交.

离公式

同间的距离；（2）点与直线的距离；（3）两条平行直线间的距离.

的方程

线与圆的位置关系

5圆的位置关系有相交、相切和相离三种，解决问题的方法主要有点线距离法和

戈距离法：设圆心到直线的距离为"，圆的半径为力则KrO直线与圆相交，，

冷直线与圆相离.

别式法：设圆C：（x—a）2+（y—b）2=r2,直线/：Ax+By+C=0

（22消去，得X的一元二次方程判别式4

[y-b）=r\

£与圆相离o/vO；②直线与圆相切o/=0；

£与圆相交o/>0.

与圆的位置关系

功分别为两圆半径，〃为两圆圆心距.

，1+夕2=两圆外离；

门十万0两圆外切；

-力|〈"〈片+为0两圆相交；

网一闻⑥两圆内切;

片一万公两圆内含.

瞒

确定直线的几何要素，一个是它的方向，一个是直线

铎析几何里面用得最广泛的就是直线方程的点斜式.

求圆的方程要确定圆心的坐标（横坐标、纵坐标）和圆台

上是三个独立的条件，只有根据已知把三个独立条件找

鲜方程组的方法确定圆心坐标和圆的半径，其中列条件

要注意其准确性.

直线被圆所截得的弦长是直线与圆相交时产生的问题

的位置关系的一个衍生问题.解决的方法，一是根据平

把弦长用圆的半径和圆心到直线的距落

空坐标的方法,

圆心到直线的距离是小则圆被直线所

圆的半径是八

是根据求一般的直线被二次曲线所截得

=二

鲜决.

岫线的定义、方程与性质

椭圆

椭圆的定义；£

£+g=i（心b>o）,焦点在x轴上;a

两种标准方程:ab

））,焦点在y轴上;加2+4=1（心°.10,阳/

椭圆方程的一般形式:

时，焦点在X轴上；当…时,

有如下规律，当帆

椭圆的简单几何性质，

双曲线

双曲线的定义；，y

（心。），焦点在轴上；

YLX£=10,b>xa

两种标准方程：滔b

b>o）,焦点在y轴上;

双曲线方程的一般形式：mx2+ny2=l(mn<0),其焦点

津：当心0,胃<0时，焦点在X府上；当加<0,心0时

上；

双曲线的简单几何性质.

抛物线

抛物线的定义;

抛物线的标准方程;

抛物线方程的一般形式：焦点在x轴上的抛物线方程

[70)表示:焦点在y轴上的抛物线标准方程可以用x2=

抛物线的简单几何性质.

巧提炼

离心率的范围问题其关键就是确立一个关于4C

限据eb,c的关系消掉力得到关于ec的不等式，

确定a,c的关系.

抛物线丁=2内(〃>0)的过焦点万条0的弦AB,若Z(J

2

2),贝”XIM=4，yiyi=-pL弦长|力用=巧+必+,.同样

=-2px,x=2py^x=-2py类似的性质.

!:直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是：设而不求

理，进行整体代入.即当直线与圆锥曲线交于点Ng

2)时，M5|=^Fr^|X]_X2|=yi+//]_y2|，而|X1

。2)2-4»2等,根据将直线方程与圆锥曲线方程联立消

欠方程，利用韦达定理进行整体代入.

圆锥曲线热点问题

曲线与方程的概念

求曲线的方程的一般步骤

建立适当的坐标系，用有序实数对佳，仍表示曲线上任

标；

写出适合条件尸的点M的集合P={M|P(M}；

用坐标表示条件P(M，列出方程於，y)=0；

化方程於，y)=0为最简形式；

证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

求曲线方程的方法

曲线》程的方法「除了直接法、定义法和待定系数法外

就是代入法、参数法和交轨法.

代入法：当形成曲线的动点P(X,J),随着另一个在已

=0上的动点2a0,刈)有规律的运动时，利用这种规律

(p(x9y)9yo=0(x，y)9而Xo,jo满足人次，Jo)—0,将x

V(x，力代入就可得到动点P(x，历所形成的曲线的方木

参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x,仍的坐标达

系式时，借助第三个变量t,建立，和X"和y的关系式1

I过一些条件消掉t就间接地找到了*和y所满足£

出动点P(x,刃所形成的曲线的普通方程.

交轨法：有些情况下，所求的曲线是由两条动直线的交

防的，既然是动直线，那么这两条直线的方程就必然含

,通过解两直线方程所组成的方程组，就能将交点P(：

这些参数表达出来，也就求出了动点P(x,历所形成的

桂，消掉参数就得到了动点P(x,月所形成的曲线的普i

巧提炼

求曲线方程的基本方法有直接法，定义法(或者待定系

)参数法.

定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的

以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系

方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点

更要求的定点、定值.化解这类问题难点的关键就是引

示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立

手找不受参数影响的量.

士圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函

关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类

洸是如何建立目标函数和不等关系.建立目标函数或不

是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解

外变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，

实际情况灵活处理.

俳列组合二项式定理

个基本原理

底加法计数原理；

熔乘法计数原理；

列

乙

nI

可数公式：—7广（小机WN,

合

m

I;（2）组合数公式；（3）组合数的性质：C^=C^（rnfn€N,且加W〃）；C；+i=

,且

项式定理

产展开式共有〃+1项，其中r+1项Tr+i=dk

项式系数的性质

t系数是指C，G，…，C这〃+1个组合数.

t系数具有如下几个性质：

尔性、等距性、单调性、最值性；

kc;+i+c;+2+・・・+c;;=c;;%i；

：i+cH-+C；+-+C：=2M；

升C+…=Ct+e+C+…=2〃-1；

3d+―+〃C=〃・2〃T等.

巧提炼

分步加法计数原理是对要做的事情分成若干类，每一

方法都能独立地完成这件事情；分步乘法计数原理是对

成若干个步骤，每个步骤只是完成这件事情的一个环节

聚都完成了，这件事情才算完成.这就是两个基本原理W

问题中要注意区分.

二项式（〃+力）”的展开式的二项式系数与该项的系数是

念，前者只是指Ct它仅是与二项式的赛的指数n及

令数，而与明方的值无关；而后者是指该项除字母外e

的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与*b

在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.

二项式中项的系数和差可以通过对二项式展开式两端

行解决，如（1+2”展开式中各项系数的绝对值的和就是

系数的和，只要令*=1即得，而（1-2”的展开式中各

值的和，只要把X前面的系数-1变为+1,令工=1得

次变系数-L直接令*=-1得到，这样就不难类比彳W

甲式中各项系数绝对值的和为（1+\a\）n.

概率统计

随机抽样

简单随机抽样；（2）分层抽样；（3）系统抽样.

统计图表

率分布表、频率分布直方图、茎叶图.

样本特征数

众数；（2）中位数；（3）平均数；（4）方差；（5）标准差.

变量的相关性与最小二乘法

独立性检验

于值域分别是｛勺，9｝和Wi，及｝的分类变量X和匕其

表是：

JiJ2总计

X1aba+b

X2Cdc+"

总计〃+cb~\~dn

2

贝()/=心A、/Im/