2018-2019学年山东省济南市历下区八年级（上）期末数学试卷

2018-2019学年山东省济南市历下区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每小题4分，共48分）

1.（4分）点M（-2019,2019）的位置在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（4分）已知机〉”则下列不等式中不正确的是（）

A.5m>5nB.m+7>n+7C.-4m<-4nD.m-6<n-6

3.（4分）如图，直线〃〃。，将三角尺的直角顶点放在直线人上，若Nl=35°,则N2等

C.35°D.65°

4.（4分）不等式6-3%>0的解集在数轴上表示为（）

5.（4分）满足下列条件的△A5C,不是直角三角形的是（）

A.ZC=ZA+ZBB.ZC=ZA-ZB

C.b：：4：5D.NA：NB：NC=3：4：5

6.（4分）下列算式中，正确的是（）

A.3A/2-72=3B.V4-*V9=V13

C-（V3-V2）2=5-2A/6D.悯・血=4

7.（4分）某中学随机调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表

所示:

时间/小时5678

人数10102010

则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（）

A.6.2小时B.6.5小时C.6.6小时D.7小时

8.（4分）函数y=ax+b（a,6为常数，。/0）的图象如图所示，则关于尤的不等式办+6

>0的解集是（）

C.x<3D.x>3

9.（4分）在RtZXABC中，ZC=90°,/BAC的角平分线AO交8c于点。，BC=1,BD

=4,则点。到A8的距离是（）

B.3C.4D.5

10.（4分）如图,已知等腰△ABC,AB=AC,若以点8为圆心，8c长为半径画弧，交腰

AC于点则下列结论一定正确的是（

C.NDBC=NBACD.ZDBC=ZABD

11.（4分）已知等腰三角形周长为40,则腰长y关于底边长x的函数图象是（）

12.（4分）如图，已知：NMON=30°，点Ai，A2,…在射线ON上，点办，&，B3,…

在射线OM±,AAIBIA2,252A3，353A4，…均为等边三角形，若。4=1,则

历018&019的长为（）

D-22018V3

二、填空题（每小题4分，共24分）

13.（4分）已知点P（-2,a）在一次函数y=3无+1的图象上，则a=.

14.（4分）在平面直角坐标系中，点（-7,2〃什1）在第三象限，则根的取值范围是.

15.（4分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线。E交AB于点E,交AC于点。，连接

CE,若NA=34°,ZACB=76°,则NBCE=.

16.（4分）省运会举行射击比赛，我市射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛，在

选拔赛中，每人射击10次，计算他们10次成绩的平均数和方差如下表，请你根据表中

数据选一人参加比赛，最适合的人选是

甲乙丙T

平均数9.29.09.09.2

方差2.01.81.51.3

17.（4分）如图，在△ABC中，NABC与NACB的平分线相交于点。，过点。作MV〃BC,

分别交AB、AC于点M、N.若△ABC的周长为15,BC=6,则的周长为

18.（4分）如图，在△ABC中，NC=90°,AC=BC=4,。是AB的中点，点E、尸分别

在AC、8C边上运动（点E不与点A、C重合），且保持/EDF=90°,连接。E、DF.

EF.在此运动变化的过程中，有下列结论：①DE=DF；②四边形CEO尸的面积随点E、

厂位置的改变而发生变化；③CE+CF=（-AB；@AE1+BF2=2ED1.以上结论正确的是

（只填序号）.

三、解答题（共78分）

19.（6分）解二元一次方程组,3X-2V=9.

lx+2y=3

2x+5之3（x+l）

20.（6分）解不等式组《x-ljx，并把它的解集表示在数轴上.

21.（6分）在△ABC中，。是8C的中点，DE1AB,DF1AC,垂足分别为E、F,且。E

=DF.

求证：△A8C是等腰三角形.

22.（8分）为迎接广州市青少年读书活动，某校倡议同学们利于课余时间多阅读为了解同

学们的读书情况，在全校随机调查了部分同学在一周内的阅读时间，并用得到的数据绘

制了统计图，根据图中信息解答下列问题：

（1）被抽查学生阅读时间的中位数为小时，众数为小时，平均数为

小时

（2）已知全校学生人数为1500人，请你估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的

有多少人？

人数（个）

23.（8分）为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买4

B两种型号的学习用品共1000件，己知A型学习用品的单价为20元，8型学习用品的

单价为30元.

（1）若购买这批学习用品用了26000元，则购买A、8两种学习用品各多少件？

（2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买8型学习用品多少件？

24.（10分）如图，在△ABC中，AC=BC,ZC=90°,是△ABC的角平分线，DEY

AB,垂足为E.

（1）求证：CD=BE；

（2）已知CZ）=2,求AC的长；

25.（10分）已知：如图一次函数月=-x-2与以=尤-4的图象相交于点A.

（1）求点A的坐标；

（2）若一次函数yi=-x-2与》2=x-4的图象与x轴分别相交于点8、C,求△ABC的

面积.

（3）结合图象，直接写出yi2”时x的取值范围.

26.（12分）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形:

图1图2图2

（1）如图1,已知：在△ABC中，ZBAC=9Q°,AB=AC,直线机经过点A,8。！,直

线机，CE,直线相，垂足分别为点。、E.试猜想。E、BD、CE有怎样的数量关系，请

直接写出;

（2）组员小颖想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2,将（1）中的条

件改为：在△ABC中，AB^AC,D、A、E三点都在直线加上，并且有

=/54C=a（其中a为任意锐角或钝角）.如果成立，请你给出证明；若不成立，请说

明理由.

（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：

如图3,尸是N3AC角平分线上的一点，且AAB尸和△ACT均为等边三角形，D、E分别

是直线机上A点左右两侧的动点（。、E、A互不重合），在运动过程中线段DE的长度

始终为“，连接2。、CE,若NBDA=/AEC=/BAC,试判断△。跖的形状，并说明理

由.

27.（12分）如图1,点A、B、C在坐标轴上，且A、B、C的坐标分别为（-1,0）、（4,

0）、（0,-3）过点A的直线4。与y轴正半轴交于点。，ZDAB=45°

（1）求直线和BC的解析式；

（2）如图2,点E在直线x=2上且在直线8c上方，当△BCE的面积为6时，求E点

坐标；

（3）在（2）的条件下，如图3,动点M在直线上，动点N在x轴上，连接ME、

NE、MN,当△MNE周长最小时，求△MNE1周长的最小值.

28.（5分）如图，ZABC=90°,尸为射线2C上任意一点（点尸和点2不重合），分别以

AB,AP为边在/ABC内部作等边△ABE和等边△APQ,连结QE并延长交于点凡

连接£尸，若尸。=11,AE=4M，贝|£尸=.

29.（5分）如图，平面直角坐标系中，已知点尸（2,2）,C为y轴正半轴上一点，连接PC,

线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD,过点。作直线轴，垂足为8,直线

AB与直线OP交于点A,且BD^AD,直线CD与直线OP交于点Q,则点Q的坐标

2018-2019学年山东省济南市历下区八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共48分）

1.（4分）点M（-2019,2019）的位置在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根据各象限内点的坐标特点，再根据M点的坐标符号，即可得出答案.

【解答】解：：点M（-2019,2019）,

：.M点所在的象限是第二象限.

故选：B.

【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解

决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+,+）;第二象限（-，+）;第三象

限（-,-）;第四象限（+,-）.

2.（4分）己知切>72,则下列不等式中不正确的是（）

A.5m>5nB.m+1>n+1C.-4m<-4nD.m-6<n-6

【分析】根据不等式的性质解答.

【解答】解：A、在不等式杨>〃的两边同时乘以5,不等式仍成立，即5m>5”，故本选

项不符合题意；

B、在不等式机>〃的两边同时加7,不等式仍成立，即m+l>n+1,故本选项不符合题意；

C>在不等式机>w的两边同时乘以-4,不等号方向改变，即-4机<-4〃，故本选项不

符合题意；

D、在不等式相>〃的两边同时减去6,不等式仍成立，即相-6>"-6,故本选项符合题

忌；

故选：D.

【点评】考查了不等式的性质：

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变.

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

3.（4分）如图，直线。〃从将三角尺的直角顶点放在直线b上，若Nl=35°,则/2等

于（

C.35°D.65°

【分析】根据平角的定义求出N3,再根据两直线平行，同位角相等可得N2=N3.

【解答】解：如图，VZ1=35°,

.*.Z3=180°-35°-90°=55°,

'：a//b,

；.N2=N3=55

故选：B.

【点评】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.

4.（4分）不等式6-3尤>0的解集在数轴上表示为（）

【分析】依次移项，系数化为1,即可求得一元一次不等式的解集，再将解集在数轴上表

示出来即可.

【解答】解：移项得：-3x>-6,

系数化为1得：x<2,

即不等式的解集为：尤<2,

不等式的解集在数轴上表示如下：

II

-101r

故选：A.

【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，正确掌握解一元

一次不等式和在数轴上表示不等式解集的方法是解题的关键.

5.（4分）满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是（）

A.ZC=ZA+ZBB.NC=NA-NB

C.a：b：c=3：4：5D.NA：/B：NC=3：4：5

【分析】根据勾股定理逆定理：如果三角形的三边长。，b,。满足/+62=02,那么这个

三角形就是直角三角形；三角形内角和定理进行分析即可.

【解答】解：A、二=90°,是直角三角形，故此选项不合题意；

2

B、VZC=ZA-ZB,ZA+ZB+ZC=180°,

AZA=90°,

...是直角三角形，故此选项不合题意；

c、：32+42=52,.•.是直角三角形，故此选项不合题意；

D、ZA：ZB：NC=3：4：5,则/C=180°X-L=75°,不是直角三角形，故此选

12

项符合题意，

故选：D.

【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形内角和定理，关键是正确掌握如

果三角形的三边长°,b,C满足J+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.

6.（4分）下列算式中，正确的是（）

A.3加-加=3B.血班=万

C-（V3-V2）2=5-2V6D-我+血=4

【分析】根据二次根式的混合运算法则逐一计算可得.

【解答】解：A.3圾-我=2正，此选项错误；

B.«+«=2+3=5,此选项错误；

C飞历）2=5-2a，此选项正确；

D.~J5=A/Z=2,此选项错误；

故选：C.

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法

贝卜

7.（4分）某中学随机调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表

所示:

时间/小时5678

人数10102010

则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（）

A.6.2小时B.6.5小时C.6.6小时D.7小时

【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式（5X10+6X15+7X20+8X5）+50,再进

行计算即可.

【解答】解：（5X10+6X10+7X20+8X10）+50

=（50+60+140+80）4-50

=330+50

=6.6（小时）.

故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.6小时.

故选：C.

【点评】此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，根据加权平

均数的计算公式列出算式是解题的关键.

8.（4分）函数>=磔+6（a,。为常数，的图象如图所示，则关于x的不等式办+6

>0的解集是（）

【分析】利用函数图象，写出直线y=ax+6在无轴上方所对应的自变量的范围即可.

【解答】解：关于x的不等式办+6>0的解集为无<3.

故选：C.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使

一次函数〉=辰+6的值大于（或小于）0的自变量尤的取值范围；从函数图象的角度看，

就是确定直线在无轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

9.（4分）在RtZXABC中，ZC=90°,/BAC的角平分线交8C于点。，BC=7,BD

=4,则点。到AB的距离是（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点。到

AB的距离=点D到AC的距离=CD

【解答】解：・・・BC=7,BD=4,

:・CD=7-4=3,

由角平分线的性质，得点。到的距离=CZ）=3,

故选：B.

【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离即为CD长是

解决的关键.

10.（4分）如图，已知等腰△ABC,AB=AC,若以点B为圆心，长为半径画弧，交腰

AC于点则下列结论一定正确的是（)

B.AD^BDC./DBC=/BACD.ZDBC=ZABD

【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项.

【角犁答】-：AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

・・,以点5为圆心，8C长为半径画弧，交腰AC于点

:・BD=BC,

：.ZACB=ZBDCf

：.NBDC=ZABC=ZACB.

:・NBAC=/DBC,

故选：c.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等,

难度不大.

11.（4分）已知等腰三角形周长为40,则腰长y关于底边长X的函数图象是（）

【分析】根据三角形的周长公式即可写出y与x的函数关系式，结合x和y的取值范围,

即可得出答案.

【解答】解：.••等腰三角形的周长为40,其中腰长为y,底边长为x,

.'.x+2y—40,

；.y=20--x,

-2

V20<2y<40,

.••自变量x的取值范围是0<x<20,y的取值范围是10<y<20.

故选：D.

【点评】此题主要考查动点问题的函数图象、一次函数关系式，掌握等腰三角形的周长

公式是解题的关键.

12.（4分）如图，已知：ZMON=30°，点4,A2,A3,…在射线ON上，点由，B2,B3,…

在射线OM上，AAIBIA2,△心历及，△&生4，…均为等边三角形，若0Al=1,则

J52018.B2019的长为（）

【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出4约〃42&〃&83,以及42&=

2sA2，得出31&=愿，B?B3=2、后,约54=4«,以此类推，8相〃+1的长为2n-1Vs，

进而得出答案.

【解答】解：•••△A/1A2是等边三角形，

：.A1Bi=A2B1,N3=N4=N12=60°,

AZ2=120°,

■:/MON=30°,

.'.Z1=180°-120°-30°=30°,

又・・・N3=60°,

・・・N5=180°-60°-30°=90°,

VZMON=Z1=3Q°,

.u.OA\=AiBi=l,

,*,△A232A3、△A333A4是等边三角形，

・・・Nn=N10=60°,Z13=60°,

VZ4=Z12=60°,

•»A{B\//A2B2〃A353,31A2〃52A3，

・・・N1=N6=N7=3O°,N5=N8=90°,

A2B2=25也=2,

：・B1B2=M，

・・・553=2&&，

.*.A3B3=4B1A2=4,

・・・a33=2«,

VA4B4=8BIA2=8,

.,.5354=4^3»

以此类推，的长为

**•^2018^2019的长为22°17/\/3»

故选：C.

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3

=4用42,484=8232,425=1621^2进而发现规律是解题关键.

二、填空题（每小题4分，共24分）

13.（4分）已知点尸（-2,a）在一次函数y=3x+l的图象上，则a=-5.

【分析】把点尸的坐标代入函数解析式，列出关于。的方程，通过解方程可以求得a的

值.

【解答】解：•..点P（-2,a）在一次函数y=3x+l的图象上，

；.a=3X（-2）+1=-5.

故答案是：-5.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征.此题利用代入法求得未知数a的值.

14.（4分）在平面直角坐标系中，点（-7,2/11+1）在第三象限，则m的取值范围是__m

—2—

【分析】点在第三象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是负数，可得2m+1<0,求不

等式的解即可.

【解答】解：•..点在第三象限，

点的横坐标是负数，纵坐标也是负数，即2机+1<0,

解得m<一L,

2

故答案为：机〈二，

2

【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐

标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+,+）；第二象限（-,

+）；第三象限（-,-）；第四象限（+,-）.

15.（4分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线。E交A8于点E,交AC于点。，连接

CE,若NA=34°,ZACB=76°,则42°.

D

AEB

【分析】根据线段垂直平分线性质求出NACE=NA,即可得出N8CE的度数.

【解答】解：的垂直平分线

：.AE=CE,

：.ZAC£=ZA=34°,

:./BCE=NACB-NACE=16°-34°=42°,

故答案为：42°.

【点评】此题考查线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两

个端点的距离相等.

16.（4分）省运会举行射击比赛，我市射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛，在

选拔赛中，每人射击10次，计算他们10次成绩的平均数和方差如下表，请你根据表中

数据选一人参加比赛，最适合的人选是丁.

甲乙丙T

平均数9.29.09.09.2

方差2.01.81.51.3

【分析】根据甲，乙，丙，丁四个人中甲和丁的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四

个人中丁的方差最小，说明丁的成绩最稳定，得到丁是最佳人选.

【解答】解：•••甲，乙，丙，丁四个人中甲和丁的平均数最大且相等，

甲，乙，丙，丁四个人中丁的方差最小，

说明丁的成绩最稳定，

综合平均数和方差两个方面说明丁成绩既高又稳定，

•••丁是最佳人选.

故答案为：丁.

【点评】本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表

明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组

数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

17.（4分）如图，在△ABC中，/A8C与/AC8的平分线相交于点。，过点。作MN〃8C,

分别交A3、AC于点M、N.若△ABC的周长为15,BC=6,则的周长为9.

【分析】先根据角平分线的性质和平行线判断出OM=BM、ON=CN,也就得到三角形

的周长就等于AB与AC的长度之和.

【解答】解：如图，,；0B、0c分别是NABC与NAC8的平分线，

/.Z1=Z5,N3=N6,

又■:MN〃BC,.\Z2=Z5,Z6=Z4,

:.BM=M0,N0=CN,

：.4AMN的周长=AM+AN+MN=M4+AN+MO+ON=A8+AC,

又•；A3+AC+8C=15,BC=6,

：.AB+AC=9,

：.△AMN的周长=9,

故答案为9.

角形的性质及角平分线的性质及利用线段的等量代换.

18.（4分）如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=BC=4,。是A8的中点，点E、尸分别

在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持/£。尸=90°,连接。E、DF.

EF.在此运动变化的过程中，有下列结论：®DE=DF-,②四边形尸的面积随点E、

尸位置的改变而发生变化；③CE+CF=^-AB；®AE1+BF2=2ED1.以上结论正确的是

①③⑷（只填序号）.

E

DB

【分析】连接CD证明△AOE0△(:£＞「利用全等三角形的性质即可一一判断.

【解答】解：连接CD,

•；AABC是等腰直角三角形，

：.ZDCB=ZA=45°,CD=AD=DB；

在△AOE和△CDF中，

'AD=CD

'NA=NDCF，

tAE=CF

:.LADE经ACDF(SAS),

:.ED=DF,故①正确；

SAADE=S&CDF，

s四边形CEDF=SAADC=△ABC=定值'故②错误,

AADE^ACDF,

：.AE=CF,

：.CE+CF=CE+AE=AC=^-AB,故③正确，

'：AE=CF,AC=BC,

:.EC=BF,

：.AET+BF2=CE2=EF2,

'：EF1=2DE2,

J.AET+BI^^IED1,故④正确.

故答案为①③④.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形想的性质等知

识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

三、解答题（共78分）

19.（6分）解二元一次方程组（3x-2y

Ix+2y=

【分析】利用加减消元法求解可得.

【解答】解:（3x-2y=9

lx+2y=3②

①+②，得4尤=12,

把％=3代入②，得3+2y=3,

解得y=0,

所以原方程组的解为1x=3.

【点评】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的两种消元方法

是解题的关键.

‘2x+5<3(x+l)

20.（6分）解不等式组x-1/X，并把它的解集表示在数轴上.

I2「3

【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.

'2x+5<3(x+l)①

【解答】解：-i

x端②

•••解不等式①，得x>2,

解不等式②，得尤W3,

不等式组的解集是2<xW3,

—1—，

在数轴上表示为：01323—>

【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等

式组的解集是解此题的关键.

21.（6分）在△ABC中，。是BC的中点，DE±AB,DFLAC,垂足分别为E、F,且DE

=DF.

求证：△ABC是等腰三角形.

【分析】根据中点的定义可得到8。=。。再根据HL即可判定△BAEgZkCAR从而可

得到/8=/C,根据等角对等边可得到AB=AC,即△ABC是等腰三角形.

【解答】证明：：。是8C的中点，

:.BD=DC,

；DELAB,DF±AC,

：.ZBED=ZCFD=90°,

"：BD=DC,DE=DF,

.♦.△BDEmACDF,

；.NB=NC,

：.AB=AC,

...△ABC是等腰三角形.

【点评】此题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定与性质的综合运用.

22.(8分)为迎接广州市青少年读书活动，某校倡议同学们利于课余时间多阅读为了解同

学们的读书情况，在全校随机调查了部分同学在一周内的阅读时间，并用得到的数据绘

制了统计图，根据图中信息解答下列问题：

(1)被抽查学生阅读时间的中位数为」小时，众数为2小时,平均数为2.34小

时

(2)已知全校学生人数为1500人，请你估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的

有多少人？

人数(个)

【分析】（1）根据统计图中的数据确定出学生劳动时间的众数、中位数和平均数即可;

（2）根据总人数义阅读时间不少于三小时的百分比可得结果.

【解答】解：（1）12+20+10+5+3=50,

被抽查学生阅读时间的中位数为：第25和第26个学生阅读时间的平均数=2,

众数为2,

平均数7—12X1+20X2+10X3+5X4+3X5=234

'50''

故答案为：2,2,2.34；

（2）i5ooxl2t^il=54O,

50

答：估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的有540人.

【点评】此题考查了众数，条形统计图，平均数、中位数及用样本估计总体，弄清题中

的数据是解本题的关键.

23.（8分）为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买4

B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，8型学习用品的

单价为30元.

（1）若购买这批学习用品用了26000元，则购买4、8两种学习用品各多少件？

（2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买2型学习用品多少件？

【分析】（1）设购买A型学习用品x件，2型学习用品y件，就有x+y=1000,20x+30y

=26000,由这两个方程构成方程组求出其解就可以得出结论；

（2）设可以购买8型学习用品a件，则A型学习用品（1000-a）件，根据这批学习用

品的钱不超过28000元建立不等式求出其解即可.

【解答】解：（1）设购买A型学习用品尤件，B型学习用品y件，由题意，得：

Jx+y=1000

l20x+30y=26000，

解得:产00.

ly=600

答：购买A型学习用品400件，8型学习用品600件；

（2）设可以购买8型学习用品a件，则A型学习用品（1000-a）件，由题意，得:

20(1000-a)+30aW28000,

解得:aW800,

答：最多购买B型学习用品800件.

【点评】本题考查了列二元一次方程组和一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题

时找到等量关系是建立方程组的关键.

24.（10分）如图，在△ABC中，AC=BC,ZC=90°,是△ABC的角平分线，DEL

AB,垂足为E.

（1）求证：CD=BE；

（2）已知CD=2,求AC的长；

（3）求证：AB=AC+CD.

【分析】（1）先根据题意判断出aABC是等腰直角三角形，故/2=45°,再由。

可知△3OE是等腰直角三角形，故DE=BE,再根据角平分线的性质即可得出结论；

（2）由（1）知，ABDE是等腰直角三角形，DE=BE=CD,再根据勾股定理求出BD

的长，进而可得出结论；

（3）先根据乩定理得出RtZ\AC£>0RtZ\AE。，故AE=AC,再由⑺二台“可得出结论.

【解答】（1）证明：：在△A8C中，AC=BC,ZC=90°,

AABC是等腰直角三角形，

.*.ZB=45°,

'JDELAB,

.•.△BDE是等腰直角三角形，

：.DE=BE.

'：AD是AABC的角平分线，

CD=DE,

：.CD=BE；

（2）解：•.,由（1）知，是等腰直角三角形，DE=BE=CD,

:,DE=BE=CD=2,

BD=y1DE2+BE2=V22+22=2^2）

.•.AC=2C=Cr）+2D=2+2亚；

（3）证明：是△ABC的角平分线，DELAB,

：.CD=DE.

在RtAACD与RtAAED中，

..[AD=AD,

"（CD=DE，

RtAACD^RtAAEZ）,

：.AE=AC.

•.•由（1）知CD=BE,

：.AB=AE+BE=AC+CD.

【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等

是解答此题的关键.

25.（10分）已知：如图一次函数月=-x-2与”=尤-4的图象相交于点A.

（1）求点A的坐标；

（2）若一次函数月=-x-2与刃=尤-4的图象与x轴分别相交于点8、C,求△ABC的

面积.

（3）结合图象，直接写出月>>2时x的取值范围.

【分析】（1）将两个函数的解析式联立得到方程组（y=-x-2,解此方程组即可求出点A

[y=x-4

的坐标；

（2）先根据函数解析式求得3、。两点的坐标，可得5。的长，再利用三角形的面积公

式可得结果；

（3）根据函数图象以及点A坐标即可求解.

［解答］解：（］）解方程组［丫=_*_2,得|x=l

ly=x-4［y=-3

所以点A坐标为（1,-3）；

(2)当yi=O时，-x-2=0,x=-2,则8点坐标为(-2,0)；

当,2=时，x-4=0,尤=4,则C点坐标为(4,0)；

：.BC=4-(-2)=6,

ZkABC的面积=1X6X3=9；

2

（3）根据图象可知，刈》＞2时x的取值范围是xWl.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使

一次函数y=Ax+b的值大于（或小于）。的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，

就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.也考

查了两直线相交时交点坐标的求法以及三角形的面积.

26.（12分）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形:

图1图2图2

（1）如图1,已知：在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线机经过点A,8。_1直

线m,CEL直线如垂足分别为点。、E.试猜想。区BD、CE有怎样的数量关系，请

直接写出DE=BD+CE；

（2）组员小颖想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2,将（1）中的条

件改为：在△ABC中，AB^AC,D、A、E三点都在直线机上，并且有

=N8AC=a（其中a为任意锐角或钝角）.如果成立，请你给出证明；若不成立，请说

明理由.

（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：

如图3,尸是/8AC角平分线上的一点，且△ABB和△ACT均为等边三角形，D、£分别

是直线相上A点左右两侧的动点(。、E、A互不重合)，在运动过程中线段。E的长度

始终为“，连接跳入CE,^ZBDA=ZAEC=ABAC,试判断的形状，并说明理

由.

【分析】(1)先利用同角的余角相等，判断出进而判断出△AOBgA

CEA,得出AD=CE,即可得出结论；

(2)先利用等式的性质，判断出NA8£)=NC4E,进而判断出之△CEA,得出3。

=AE,AD=CE,即可得出结论；

(3)由(2)得，ABAD咨4ACE,得出RD=AE,再判断出g△项E(SAS),得

出进而得出NOFE=60°,即可得出结论.

【解答】解：(1)DE^BD+CE,

理由：VZBAC=90°,

：.ZBAD+ZCAE=90°,

BD.Lm,CE.Lm,

：.ZADB^ZCEA^90°,

：.ZBAD+ZABD=90°,

ZABD=ZCAE,

，ZADB=ZCEA=90°

在△AOB和△CEA中，,NABD=NCAE，

1AB=AC

AADB^ACEA(AAS),

：.BD=AE,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案为：DE=BD+CE；

(2)解：结论。E=8D+CE成立；

理由如下：VZBAr>+ZCAE=180°-ABAC,ABAD+AABD=\^°-ZADB,ABDA

=ZBAC,

：.ZABD=ZCAE,

,ZABD=ZCAE

在△BAO和AACE中，，ZADB=ZCEA=Ct,

LAB=AC

ABAD^AACE(AAS),

J.BD^AE,AD=CE,

DE=DA+AE=BD+CE-,

(3)ADFE为等边三角形,

理由：由(2)得，△84。之△ACE,

：.BD=AE,

*.•ZABD=ZCAE,

：.ZABD+ZFBA=ZCAE+ZFAC,即ZFBD=/FAE,

，FB=FA

在△尸3。和△物E中，，/FBD=/FAE，

BD=AE

；.AFBD经AFAE(SAS),

：.FD=FE,ZBFD=ZAFE,

：.ZDFE=ZDFA+ZAFE^ZDFA+ZBFD^60°,

ADFE为等边三角形.

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判

定和性质，判断出是解本题的关键.

27.(12分)如图1,点A、B、C在坐标轴上，且A、B、C的坐标分别为(-1,0)、(4,

0)、(0,-3)过点A的直线AD与y轴正半轴交于点。，ZDAB=45°

(1)求直线AD和BC的解析式；

(2)如图2,点E在直线x=2上且在直线8c上方，当△BCE的面积为6时，求E点

坐标；

(3)在(2)的条件下，如图3,动点M在直线上，动点N在x轴上，连接ME、

NE、MN,当周长最小时，求△跖VE周长的最小值.

【分析】（1）/D4B=45°,OA=OD=1,即点。的坐标为（0,1）,将点A、。的坐

标代入一次函数表达式，即可求解；

（2）由SABCE=1"XEFXOB=」_X4X（加+旦）=6,即可求解；

222

（3）作点E关于直线A。对称点E'；找到点E关于x轴的对称点E",连接E'E"交

于M点、交x轴于点N,则△MNE周长最小，即可求解.

【解答】解：（1）VZDAB=45°,

：.OA=OD=\,即点。的坐标为（0,1）,

将点A、。的坐标代入一次函数表达式：>=履+6得：1°=-k+b,解得：1k=l,

Ib=lIb=l

则直线A。的表达式为：y=x+l,

同理可得直线BC的表达式为：y=3尤-3；

-4

（2）设直线x=2与BC交于点尸，点E坐标为（2,机），则点尸坐标为（2,-3）,

2222

即点E的坐标为（2,3）；

2

（3）过点£点作EE'LA。，点石和E'关于直线对称,

设直线x=2与直线4。交于点X（2,3）,连接E'H,

找到点E关于x轴的对称点E〃（2,-3）,

2

连接£'E"交于M点、交无轴于点N,此时，周长最小,

VZZ)AB=45°,

：.E'H=EH=3-3=3,则点E'的坐标为（工，3）,

222_

则：△MNE周长的最小值=E'E"=J