空间向量的应用【十大题型】

专题1.5空间向量的应用【十大题型】

【人教A版(2019)】

》题型梳理

【题型1求平面的法向量1.....................................................................................................................................2

【题型2利用空间向量证明线线平行】...........................................................5

【题型3利用空间向量证明线面平行】...........................................................7

【题型4利用空间向量证明面面平行】..........................................................12

【题型5利用空间向量证明线线垂直】..........................................................17

【题型6利用空间向量证明线面垂直】..........................................................20

【题型7利用空间向量证明面面垂直】..........................................................24

【题型8利用空间向量研究距离问题】..........................................................30

【题型9利用空间向量求空间角】.............................................................35

【题型10利用空间向量研究存在性问题】......................................................41

，举一反三

【知识点1空间中点、直线和平面的向量表示】

1.空间中点、直线和平面的向量表示

(1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点。作为基点，那么空间中任意一点尸就可以

用向量5＞来表示.我们把向量称为点尸的位置向量.

(2)空间中直线的向量表示式：直线/的方向向量为a,且过点A.如图，取定空间中的任意一点O,可

以得到点P在直线/上的充要条件是存在实数使舁=殖+市①，把电代入①式得办=况+港②,

①式和②式都称为空间直线的向量表示式.

(3)平面的法向量定义：

直线/La,取直线/的方向向量a,我们称向量a为平面a的法向量.给定一个点A和一个向量a,那

么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{PR•标=0}.

【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交

直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量.

【题型1求平面的法向量】

【例1】(2023春•高二课时练习)已知4(1,1,0),B(l,0,1),C(0,1,1),则平面4BC的一个单位法向量是()

A.(1,1,1)B.(Y，Y，Y)

C.&*)D.四心，一马

33，k3337

【解题思路】待定系数法设平面4BC的一个法向量为元，由法向量的性质建立方程组解出分析即可.

【解题思路】设平面4BC的一个法向量为元=(x,y,z),

又血==(-1,1,0),

^A31n^(AS-n=0=>(-y^=0

lean(BCn=0l-x+y=0

即x=y=z,

又因为单位向量的模为1,所以B选项正确，

故选：B.

【变式1-1](2023秋・云南昆明•高二昆明一中校考期末)空间直角坐标系。—xyz中，已知点

A(2,0,2),B(2,l,0),C(0,2,0),则平面ABC的一个法向量可以是()

A.(1,2,1)B.(-1,2,1)C.(2,1,2)D.(2,-1,2)

【解题思路】根据法向量的求解方法求解即可.

【解题思路】解：由题知近=(0,1,-2),BC=(-2,1,0),

设平面4BC的一个法向量为元=(x,y,z),

所以伊,竺=°,即令x=1得元=(1,2,1)

1元•BC=。(y=2x

所以，平面4BC的一个法向量可以是五=(1,2,1).

故选：A.

【变式1-2](2023•全国•高二专题练习)如图，四棱柱ABCD-a/iGDi的底面4BCD是正方形，。为底面

中心，&O1平面4BCO,AB=AAX=V2.平面0cBi的法向量五=(x,y,z)为()

A.(0,1,1)B.(1,-1,1)C.(1,0,-1)D.(-1.-1.1)

【解题思路】根据空间直角坐标系写出各向量，利用法向量的性质可得解.

【解题思路】ABCC是正方形，且

:.AO=OC=1,

OA±=1,

/.71(0,-1,0),B(l,0,0),C(0,l,0),4i(0,0,l),

■.AB=(1,1,0),OC=(0,1,0),

)LA^=AB=(1,1,0),

•••81(1,1,1),西=(1,1,1),

•••平面0cBi的法向量为元=(x,y,z),

则H=o,得y=。，"-z,

结合选项，可得ii=(i,o,-i),

故选：c.

【变式l-3](2023秋・北京石景山•高二统考期末)如图，在三棱锥P-4BC中，P41平面ABC,AB1AC.AB=

AC=1,PA=2,以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，元为平面PBC的一个法向量，则论的坐标可能

是()

Zj

I

X

A.B.(-及Tc.(1,1,i)D.

【解题思路】先求出近=(1,-1,0),无=(1,0,-2),根据法向量求解公式列方程即可求解.

【解题思路】依题意得，F(0,l,0),C(l,0,0),P(0,0,2),则前=(1,一1,0),丽=(1,0,—2)

设元=(x,y,z),则

(nBC=x-y=0

取x则y=；,z=%所以五

In-PC=%-2z=0224\224/

故选：D.

【知识点2用空间向量研究直线、平面的平行关系】

1.空间中直线、平面的平行

(1)线线平行的向量表示：设“1，”2分别是直线八，/2的方向向量，则/|〃/2="l〃U2="eR,使得

=2“2.

(2)线面平行的向量表示：设"是直线I的方向向量，〃是平面a的法向量，/《a,则/〃

=0.

(3)面面平行的向量表示：设it],ii2分别是平面a,P的法向量，则a〃40"i使得小

=2"2.

2.利用向量证明线线平行的思路：

证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可.

3.证明线面平行问题的方法：

(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；

(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内;

(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内.

4.证明面面平行问题的方法：

(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.

(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明.

【题型2利用空间向量证明线线平行】

【例2】（2023春•高二课时练习）如图，四边形ABCQ和ABEF都是平行四边形，且不共面，M,N分别是

AC,8F的中点，求证：CE"MN.

【解题思路】根据给定条件，利用空间向量的线性运算，计算判断胃与而共线即可推理作答.

【解题思路】（方法1）因为M，N分别是AC,8尸的中点，且四边形A8CO和ABEF都是平行四边形，

则有而=~MA+AF+~FN=-CA+AF又丽=--CA+~CE-AF,

2+-27B,2MC+CE+EB2+B/V=

两式相加得：2而=无，因此正与而共线，而直线CE与MN不重合，

所以CE〃MN.

（方法2）因为M,N分别是AC,"的中点，且四边形48CD和A8E/都是平行四边形，

'''♦.........»1♦,…・1，，，1一,・一♦1，，—,'21・，，，1，，

MN=AN-AM=^(AB+AF)—：4c=£(AB+BE)—；(力8+BC)=|(BE-BC)=；CE,

因此荏与而共线，而直线CE与MN不重合,

所以CE〃MN.

【变式2-1］（2023春•高二课时练习）已知棱长为1的正方体OABO-OiAiBiG在空间直角坐标系中的位

置如图所示，。,瓦£6分别为棱。1公,41%,8。,。（7的中点，求证：DE"GF.

【解题思路】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明屁=不，可得DE〃GF.

【解题思路】因为正方体的棱长为1,。,与尸,。分别为棱014，&&,3。,0（7的中点,

所以有0,1)，F(l,i,l).Fg,l,0),G(0,i,0),

所以反=C』,0）,GF=（pj.o）-则有屁=衣，所以CE〃GF.

【变式2-2］（2023春•高二课时练习）如图，在正方体ABCD中，点M,N分别在线段&B,D/i

上，且=BIN=^BIDI，尸为棱BiG的中点.求证：MN//BP.

【解题思路】利用空间向量共线定理证明.

【解题思路】证明：丽=丽+瓯■+瓦W.

因为B］N=/必,

所以而=西+西+1瓦瓦，

=-（瓯+初）+两+家村+晒），

=|881+/也=患81+消4

又因为P为B1G中点，

所以前=西+瓦^=西+泅G=1（1西+汨cj=|而，

从而乔与而为共线向量.

因为直线MN与BP不重合，

所以MN//BP.

【变式2-3］（2023•江苏•高二专题练习）已知长方体ABCO中，AB=4,AD=3,AAt=3,

点S、P在棱CCi、Aa上，且|CS|=g|SCi|,\AP\=2\PAr\,点R、Q分别为AB、劣6的中点.求证：直

线PQII直线RS.

【解题思路】利用坐标法，利用向量共线定理即得.

【解题思路】以点。为原点，分别以画、无与西的方向为X、y与Z轴的正方向，建立空间直角坐标系.

则。(0,0,0)、4(3。0)、C(0,4,0),B(3,4,0)、。式0,0,3)、4(3,0,3)、(0,4,3)>(3,4,3),

由题意知P(3,0,2)、Q(0,2,3)'5(0,4,1),/?(3,2,0),

：.PQ=(-3,2,1),RS=(-3,2,1).

：.PQ=RS,又PQ,RS不共线，

：.PQ\\RS.

【题型3利用空间向量证明线面平行】

【例3】(2023•全国•高二专题练习)如图，在四棱锥P-4BC。中，底面4BCD为直角梯形，其中4D〃BCSD1

AB,AD=3,AB=BC=2,PA_L平面4BC0,且尸4=3,点M在棱PD上，点N为BC中点.若DM=2MP,证明：

直线MN〃平面P4B.

P

【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可.

【解题思路】如图所示，以点4为坐标原点，以4B为x轴，4。为y轴，4P为z轴建立空间直角坐标系,

则P(0,0,3),8(200),。(0,3,0),C(2,2,0),N(2,1,0),

若。M=2MP,则M(0,l,2),MN=(2,0,-2),

因为_L平面4BCD,ADu平面ABC。，所以4。1PA,

又因为4DJ.4B,PAHAB=A,PA,ABc^PAB,

所以4。1平面P4B

平面P4B的其中一个法向量为而=(0,3,0),

所以而•而=0,即40J.MN,

又因为MNC平面H4B,

所以MN〃平面P4B.

【变式3-1](2023春•高二课时练习)如图，已知矩形ABCD和矩形/WEF所在平面互相垂直，点M,N分别

在BD,4E上，S.BM=\BD,AN=^AE,求证：MNU平面COE.

【解题思路】根据已知条件建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线MN的方向向量和平面CDE

的法向量，利用直线与平面平行的直线的方向向量与平面的法向量的关系即可求解.

【解题思路】因为矩形力BCD和矩形4CEF所在平面互相垂直，所以互相垂直.

不妨设1的长分别为3a,3b,3c,以｛荏，而，於｝为正交基底，建立空间直角坐标系力-盯z如图所示,

zA

则8(3a,0,0),D(0,36,0),尸(0,0,3c),E(0,3b,3c),

所以丽=(-3a,3b,0),^4=(0,-3h,-3c).

因为由=[前=(-a,b,0),WA=^EA=(0,-b,-c),

所以而=NA+AB+~BM=(,0,-b,-c)+(3a,0,0)+(-a,b,0)=(2a,0,-c).

又平面CCE的一个法向量是同=(0,3b,0),

由两AD=2ax0+0x3b+(-c)x0=0,得丽1AD.

因为MNC平面CDE,

所以MN||平面CDE.

【变式3-2](2023春•高二课时练习)如图，在四棱锥P-4BCO中，以J_底面ABC。，AB1AD,BC//AD,

PA=AB=BC^2,AD=4,E为棱PZ)的中点，~PF=XPC(2为常数，且0<2<1).若直线BF//平面ACE,

求实数;I的值；

【解题思路】由题意可知，AB,AD,4P两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,分别求出平

面ACE的法向量沅和直线8尸的方向向量前，由而•访=0,即可得出答案.

【解题思路】因为P41底面48CD,AB,4Qu平面48CD,所以PA14B,PALAD.

山题意可知，AB,AD,4P两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz,

贝必(0,0,0),5(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,2),E(0,2,l),

所以冠=(2,2,0),AE=(0,2,1).BP=(-2,0,2),PC=(2,2,-2),

则方=APC=(2A,2A,-2A),所以丽=BP+PF=(2A-2,24,2—24).

设平面4CE的一个法向量为记=(x,y,z).

嚼票眄｛2#就不妨令』,得—.

因为8/7/平面ACE,所以而•沅=24-2-24+4-4/1=0,解得；I=g

【变式3-3]（2023•全国•高三专题练习）如图，在四棱锥E—ABCD中，AB//CD,CD=4AB,点F为棱

CO的中点，与E,尸相异的动点P在棱E尸上.

（2）设平面E4。与平面EBC的交线为/,是否存在点P使得〃/平面尸8。？若存在，求言的值；若不存在，

请说明理由.

【解题思路】（1）设点G为棱EC的中点，连接4G,PG,通过证明四边形4BPG为平行四边形，得到4G〃PB,

再根据线面平行的判定定理可证PB〃平面4DE；

（2）延长。A,CB相交于点儿连接EH,则直线为平面EAD与平再jEBC的交线，连接HF,交BD于点/,

若EH〃平面PB。，由线面平行的性质可知EH〃P/,设亩=4/，推出丽=（而+2方而，根据三点共线

的结论求出4=|,从而可推出,=）

【解题思路】（1）

如图，设点G为棱ED的中点，连接AG,PG,

「

2

AB

：.GP=渺=：DC,GP//DC,

,JAB//CD,CD=4AB,

：.GP=AB,GPUAB,

：.四边形ABPG为平行四边形，

：.AG//PB,

乂PB仁平面4DE,AGu平面ZCE,

.*PB〃平面7WE.

(2)

如图，延长D4,CB相交于点H,连接EH,则直线E"为平面E4D与平面EBC的交线，连接HF,交8D于点/,

E

H

若EH〃平面PBD,由线面平行的性质可知EH〃P/,

设丽=AHF,

•点F为棱C。的中点，AB//CD,CD=4AB,

.•.丽=游/丽+河/近+2漏，

•:D,I,B三点共线,

.,.1+24=i,口m=：,

所以当部号时，舒/=［，•""/"/，

又EHC平面PBC,P/u平面PBD,〃平面PBD,

•••存在满足条件的点P使得〃/平面P8D,此时第=|.

【题型4利用空间向量证明面面平行】

【例4】(2023春•高二课时练习)如图所示，平面也。，平面ABCC,四边形ABCO为正方形，△FQ是

直角三角形，且B4=AO=2,E,F,G分别是线段%，PD,8的中点，求证：平面EFG〃平面尸8c.

【解题思路】根据题意得到AB,AP,两两垂直，从而以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为

x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，并确定A,B,C,D,P,E,F,G的坐标，求得而，朋，前,BC,从

而即可确定平面EFG的法向量而，平面P3C的法向量荻，进而即可证明平面EFG〃平面PBC.

【解题思路】因为平面以。_L平面ABCD,四边形A8CO为正方形，△出。是直角三角形，

所以AB,AP,AQ两两垂直，

以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则4(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),尸(0,0,2),E(0,0,1),F(0,I,1),G(l,2,0).

AZ

所以丽=(2,0,-2),丽=(0,—1,0),FG=(1,1,-1),丽=(0,2,0),

设大=（%,丫1*1）是平面EFG的法向量，

贝E宿再1宿即像惠〉心-71=0

+为一Zi=0

令Z]=1,则％1=1,—0,所以元=(1,0,1)，

设4=（X2，72，Z2）是平面PBC的法向量，

由现而，虫前,即慎黑:，得产2小。=。

令Z2=1,则刀2=1,y2=0,所以底=（1,0,1）,

所以汨=布，所以平面EFG//平面PBC.

【变式4-1］（2023春•高二课时练习）在正方体ABCD-AiBiGOi中，M,N,P分别是CCiHJGDi的中点,

试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面MNP〃平面&BD.

【解题思路】根据正方体的结构特征，以义为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明线

线平行，由面面平行的判定定理证明平面MNP〃平面

【解题思路】证明：如图，以5为坐标原点，DI4，DIG，DI。所在直线分别为x轴、＞轴、z轴，

建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为I,

则有4(1,0,0),8(1,1,1),D(0,0,l),N&L0),M(0,1,0,P(0,i,0),

于是项=(0,1,1),Q=(-1,0,1)，/VM=PM=(O,|,0,

显然有丽=[砸，PM=^AyB,所以雨〃否方，PM//A^B,

由NM//41。，NMC平面4iBD,ArDNM//平面力iBD,

同理PM〃平面&B。，NM,PMu平面MNP,NMCiPM=M,

所以平面MNP〃平面AiBD.

【变式4-2](2023春•高一课时练习)如图，从回4BCD所在平面外一点O作向量瓦羽=k耐，oW=kOB,

OC7=kOC,OD7=k函.求证：

(1)4,B',C,。’四点共面；

(2)平面AB'C'DV/平面4BCD.

【解题思路】(1)利用共面向量定理证明，由和=RN+布可得四点共面；

(2)利用共线向量定理，可得：A'B'//AB,A'C'//AC,从而利用面面平行的判定定理即可证明.

【解题思路】(1)证明：因为从团4BCD所在平面外一点。作向量万万=k瓦?，OF=kOB,OC7=kOC,

OD7=kOD,

所以前=近+超，

所以和=0^-0^=k(0C-0^4)=kAC=k(AB+而)=k(0B-OA+OD-OA)

=k(OB+0D-20A)

/I——，1----2——A

=k{-0B'+-0D'--0A')

-»--->---»---»

=OB'-OA'+0D'-0A'

=^47B7+^7D7,

故A,B',C,ZT四点共面，证毕.

(2)证明：A^W=0^-0^=kOB-kOA=kAB,从而A'B'〃AB,

u平面AB'C'D',AB仁平面A'B'C'D',

.•.4B〃平面'4B'C'D',

由⑴知4C'〃AC,

"：A'Cu平面AC<t平面4'B‘C'。'，

〃平面AB'C'D',

因为4BCMC=4,u平面4BCD,

所以平面ABC。〃平面A'BW.

【变式4-3](2023•江苏•高二专题练习)已知正方体ABCQ-A/B/C/。/的棱长为2,E,F分别是88/,DD)

的中点，

求证：（1）FC/〃平面4DE；

（2）平面AQE〃平面B/C/F.

【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求得直线的方向向量以及平面的法向量，计算其

数量积即可证明；

（2）计算两个平面的法向量，根据法向量是否平行，即可证明.

【解题思路】证明：如图，建立空间直角坐标系ZXtyz,

y

则0((),0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),C/(0,2,2),

EQ,2,1),F(0,0,1),8/(2,2,2),

所以常=(0,2,1),DA=(2,0,0),荏=(0,2,1).

(1)设济=(内，y/,z/)是平面AOE的法向量，则有_L而，n；lAE,

即一上1得"I令z/=2,则y/=-l,

n^AE=2yl+z1=0,\.zi~-2yi-

所以元=(0,-1,2).因为丽际7=-2+2=O,所以西ln7，

又因为FC/U平面A£>£,所以FC/〃平面ADE.

(2)C;X=(2,0,0).

设R=(X2,”，Z2)是平面B/GF的一个法向量.由西，n21C^,

彳号n2'FC]=2y2+Z2=0,得、x2=0>

z

'n2CiB1—2X2=0,\2~'2y2-

令Z2=2,则丫2=-1，所以电=(0,-1,2).

因为五=R,所以平面AOE〃平面BICIF.

【知识点3用空间向量研究直线、平面的垂直关系】

1.空间中直线、平面的垂直

(1)线线垂直的向量表示：设«1，W2分别是直线l\,h的方向向量，则/l_L/2Q"ll■"2="1^"2=0.

(2)线面垂直的向量表示：设”是直线/的方向向量，”是平面a的法向量，/Ca,则/J_a0"〃/1<=>触

SR,使得

(3)面面垂直的向量表示：设"1，"2分别是平面a,―的法向量,则a_L£Q"iJ-"2="r〃2=0.

2.证明两直线垂直的基本步骤：

建立空间直角坐标系一写出点的坐标T求直线的方向向量T证明向量垂直T得到两直线垂直.

3.用坐标法证明线面垂直的方法及步骤：

(1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们

的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直.

(2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向

量与平面的法向量平行.

4.证明面面垂直的两种方法：

(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.

(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.

【题型5利用空间向量证明线线垂直】

【例5】(2023春•高二课时练习)在棱长为1的正方体4BCD-中，E,尸分别是D'D,DB中点，G在

棱上，为的中点，求证：；

COCG=-4CD,HC'GEFIB'C

【解题思路】设方=五,=落则2・BB•^=3•d=0,EF=1(a—6—c),BrC=b—c,计

算前•豆？=0得到证明.

【解题思路】设48=G,=3,44=泊则益•b=/?，1F•2=0,

\a\2=a2=1,\b\2=b2=1,|c|2=c2=1,

~EF=ED^-DF=-jc+j(a-b)=1(a-b-c),

FC=BC-fiF=h-c,

FF-Fc=j(a-fe-c)(b-c)=j(a-h-a-c-62+c-fe-c-h+c2)=0,故EF1BfC.

【变式5・1】(2023秋・广东广州•高一校考期中)如图，AD1AB,ADLAC,481AC,AB=AC=AD=1,

E,厂分别是4B,CD的中点，M,N分别是BC,BD的中点，证明：EF1MN.

B

MC

【解题思路】由题意，利用向量法，根据空间向量的基本定理，结合数量积证明垂直，可得答案.

【解题思路】由题意，连接EC,如下图：

MN=^CD=^(CA+AD)=^(AD-AC),

同理EF=ED+DF=[-^AB+AD)+；(4C-AD)=^AD+AC-AB),

故而.而=X而一而).久而+而一而)=；而/-所(+AD.AC-AD-AB-AC.AD+AC.

AB)

由40148,AD1AC,AB1AC,AB=AC=AD=1,则丽•丽=0,

故EF1MN.

【变式5-2］（2023秋•高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体4BCD—4B1GD］中，民F分别是DD】、BD

的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：EF1B.C.

【解题思路】建立空间直角坐标系，写出E,凡名,C的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示证明即可.

【解题思路】证明：以。为坐标原点，分别为x,%z轴建立空间直角坐标系，如图所示:

因为正方体棱长为1,七,F分别是。劣、8。的中点，

所以为(1,1,1),C(O,1,O),E(0,0,B(1,1,0),D(0,0,0),

所以『d，°),

所以前==(一1,0,-1),

由而.瓦？=：x(-1)+gx0+(-：)x(-1)=0,

所以市1瓦

即E尸1BtC.

【变式5-3](2023春•高二课时练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABC。，四边形ABC。是矩

形，PA=AB=\,点F是P8的中点，点E在边BC上移动.求证：无论点E在边BC上的何处，都有PELAE

【解题思路】本题建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，求数量积即可判断.

【解题思路】证明：(方法I)以A为原点，以4。，AB,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角

坐标系，设

则40，0,0),P(0,0,1),8(0,1,0),C(m1,0),

于是尸(0,[1).

:在8c上，.：设E(m,1,0),.:两=(孙1,-1),AF=(0,1).

:玩•乔=0,.'.PE1AF.

.：无论点E在边8c上何处，总有PEJ_AE

rx

（方法2）因为点E在边上，可设而♦丽，

于是而•AF=（PA+AB+BEy^（AP+都）g（PA+AB+/JC）（AB+AP）

=：（PAAB+PAAP+ABAB+AB-AP+ABC-AB+1BC-/4P）=|（O-1+1+0+0+0）=0,

因此而1AF.

故无论点E在边8c上的何处，都有PE_LAE

【题型6利用空间向量证明线面垂直】

【例6】（2023春•高二课时练习）如图所示，正三棱柱ABC—4小。的所有棱长都为2,。为CG的中点.求

证：AB/J_平面4/BD

【解题思路】建系，利用空间向量证明线面垂直.

【解题思路】如图所示，取8c的中点O,连接AO,因为AABC为正三角形,

所以AO_LBC,

因为在正三棱柱A8C—A/B/C/中，CC/L平面ABC,

AOu平面ABC,则4。1eg,

SCOCCj=C,BC,CCxu平面BCCIBI，

所以40，平面BCCIBI，

取3/G的中点0/,以。为坐标原点，

以赤，西，正分别为x轴、），轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则8(1,0,0),D(-1,1,0),4(0,2,V3)M(0,0,V3),&(1,2,0),

所以福=(1,2,-V5),两=(-1,2,V3),FD=(-2,1,0),

则产*•西=1x(-1)+2x2+(-V3)xV3=0

'I福•丽=1X(-2)+2x1+(-V3)x0=0'

可得福JL西，福1前，BPABILBAI，AB/LBD,

BAiHBD=B,B4i，BDu平面48D,

所以AB/_L平面A/8D

【变式6-1](2023春•江苏宿迁•高二校考阶段练习)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相

垂直，AB=丘,AF=1,M是线段EF的中点.

(2)求证：AM!_平面BDF.

【解题思路】(1)利用面面垂直性质定理证明CE_L平面4BCD,然后以点C为坐标原点建立空间直角坐标

系，利用空间向量坐标法证明线线垂直；

(2)先求出平面BDF的法向量，然后利用直线AM的方向向量与法向量共线即可证明线面垂直.

【解题思路】(1)因为四边形4CEF为矩形，则CE_L4C,

因为平面4BCC，平面ACEF,平面ABC。n平面4CEF=AC,CEu平面4CEF,

所以CE_L平面ABC。，又四边形48CD为正方形，

以点C为坐标原点，CD、CB、CE所在直线分别为％、y、z轴，

由=AF=1,得C(0,0,0),?l(V2,V2,0),e(0,V2,0),£)(V2,0,0),

£(0,0,1).F(V2,V2,1).M俘,¥，1).

所以宿=(-乎，—今1),FD=(V2,-V2,0),

所以府•丽=企工(一4)+(一企)x(一当+Oxl=0,所以前J.而,

所以AM1BD

(2)由⑴知，AM=前=(0,夜,1)，BD=(V2,-V2,o).

设元=(x,y,z)是平面8DF的法向量，则记1前，nlDF,

所以上吗=缶一历=°

.n-DF=V2y+z=0\z——V2y，

取y=l,得x=l,z=―a,则元=(1,L—a).

因为施=(一日，一日,1),所以日=一低而，即元与祠共线.

所以AM_L平面BDF.

【变式6-2](2023春•广西柳州•高二校考阶段练习)已知平行六面体ABC。-48道1。1的所有棱长均为1,

4BAD=/B44i=NZM4=60°.用向量解决下面的问题

(1)求4G的长；

(2)求证：力&_1平面480.

【解题思路】(I)利用转化法将福■换成而+而+标，利用而+AD+近求模长即可;

(2)利用向量垂直来证明4G_L&B,Ag1DB,再利用线面垂直的判定定理证明即可.

【解题思路】(1)设荏=a,AD=b,AAl=c,

则db=b-c=c-a=lxlxcos600=

又或=b2=c2=LAC1=a+b+c,

所以MG|2=(d+b+c)2=a2+b2+c2+2d-b+2b-c+2c-a

=l+l+l+2x—F2X—F2X—=6,

222

即瓯二倔

(2)因为砧=/一3

22

所以4cl-AXB—(^a+b+c)-(a—c)=a—c+a.-b—b-c

=1—1+---=0.

22

所以宿1砧，同理可得斯1而，

又nOB=B,AXB,DBu平面从血

所以AGL平面&BD.

【变式6-3](2023春•高二课时练习)如图，在四棱锥P-4BCD中，P。J■底面ABCD,底面ABC。为正方

形，PD=DC,E,尸分别是4B,PB的中点.

(1)求证：EF1CD；

(2)在平面PAC内求一点G,使GF1平面PCB.

【解题思路】(1)建立空间宜角坐标系，设AL»=a,写出各点坐标，求得向量，由方•反=0即得；

(2)设G(x,0,z),求出平面PCB内两个不共线向量而，市，由而•而=0和同•而=0求得x,z确定。点位

置.

【解题思路】(1)因为PDJ■底面4BCD,ZMu平面48c0,DCu平面4BCD,

所以PD1CM,PD1DC,又底面4BCD为正方形，

所以。41DC,

以。为原点，分别以D4,DC,OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

设4D=a,则0(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,^,0),P(0,0,a),

.•.丽=(一畀0,》DC=(0,a,0),

：.~EFDC=0,

：.EFLDC,HPEF±CD；

(2)设G(x,O,z),则而=(x-L，z—7CB=(a,0,0),CP=(0,-a,a),

若使GFJ_平面PCB,则需而•CB=0且后CP=0,

由闲.而=(万一,一经一柒.(a,0,0)=a(x-^)=0,

解得x=p

由丽.而=(x-p-pz-(0,-a,a)=y+a(z-|)=0,

解得z=0）

因为CB,CP为平面PCB内两条相交直线，故GF1平面PC8,

，G点坐标为G，0,0），即G为4。的中点.

【题型7利用空间向量证明面面垂直】

【例7】（2023春•高二课时练习）如图所示，△ABC是一个正三角形，ECJ_平面ABC,BD//CE,且CE

=CA=2BD,M是EA的中点.求证：平面DE4_L平面ECA.

【解题思路】建系，分别求平面。E4、平面ECA的法向量，利用空间向量证明面面垂直.

【解题思路】建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz,不妨设CA=2,则CE=2,BD=\,

则C(0,0,0),4(百,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,l),

所以育=(V3,1,-2),CE=(0,0,2),ED=(0,2,-1),

设平面ECA的一个法向量是元=01，丫1，2力，

则jX•丽=今i+yi-2zi=o,

[n7,CE=2zj=0

取X]=1,则y1=一圾,z、=0,即4=(1,—V3,0),

设平面DEA的一个法向量是力=(%2,丁2'22)，

则@-EA=^3X2+-2Z2=0,

I-DE=2y2—z2=0

取％2=V3,则=1*2=2,即布—(V3,1,2),

因为温-nJ=1xV3+(-V3)xl+0x2=0,所以近1nJ,

所以平面OE4_L平面ECA.

【变式7-1](2023•全国•高三专题练习)如图，在五面体ABCDEF中，^_L平面ABCD,2DIIBC||FE,AB1

B~~C

⑴求五面体ABCDEF的体积；

(2)若M为EC的中点，求证：平面CZ)E_L平面AMD

【解题思路】(1)取AD中点M连接EN,CN,易证得平面A3CQ,五面体4BCDEF的体积=棱柱

ABF-NCE的体积+棱锥E-CON的体积，分别求出棱柱4BF-NCE的体积和棱锥E-CDN的体积即可得出

答案.

(2)证法1：以A为坐标原点，以荏，AD,而为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系.由垂直向量的坐标运

算可证得CE14D,CE1MD,即可得出CEJ_平面再由面面垂直的判定定理即可证明；证法2：由

题意证得4MleE,MNJ.CE即可得出CEL平面AM。，再由面面垂直的判定定理即可证明;

【解题思路】(1)因为4D=2,AF=AB=BC=FE=1,取4。中点N,连接EMCN,

因为AD〃BC//FE,所以EN〃人F,EN=AF=l,CN=AB=1,

又,，平面ABC。，ANc¥ffiABCD,FALAN,

所以EN_L平面ABC。，又因为4B1AC,即ABIAN,ABC\FA=A,

AB,FAu平面尸4B,所以4VJ■平面FAB,

所以ABF-NCE为底面是等腰直角三角形的直棱柱，

高等于1,三棱锥E-CDN是高等于1底面是等腰直角三角形.

五面体4BCCE尸的体积=棱柱4BF-NCE的体积+棱锥E-CCN的体积.

即：F=ixlxlxl4-ixixlxl=-.

2323

(2)证法1：以A为坐标原点，以四，AD,Q为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系.

点£»(0,2,0),E(O,1,1).M

所以而=(0,2,0),MD=(-pl,-0,C£=(-1,0,1)

所以CEJ.AD,CE_LMD,ADCMD=D,AD,MDu平面AM。,

所以CE_L平面AMD,又CEu平面CDE,所以平面CDE1平面AMD.

证法2：因为4c=AE=VL所以△4CE为等腰三角形，M为EC的中点，所以AM_LCE；

同理在△NCE中，MN1CE,(N为AQ中点)又AM、MNu平面AW。，

AMQMN=M,所以CEJ_平面AMD,又CEu平面CDE,

平面CCEJ_平面AMD.

【变式7-2](2023秋・新疆昌吉•高二校考期末)如图，在四棱锥P—ABC£＞中，a_L底面ABCZ),AD1AB,

AB//DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.证明：

(1)BE〃平面PAD；

(2)平面尸CDJ_平面RAD.

【解题思路】(1)根据题意，先证明A8,AD,AP两两垂直，从而建立对应的空间直角坐标系，再利用空

间向量法证明平面勿。的一个法向量而与近垂直，进而即可证明结论；

(2)结合(1),先证明平面PCO的一个法向量与平面力。的一个法向量垂直，进而即可证明结论.

【解题思路】(1)因为粗，平面A8CD,且48u平面A8a),所以48_L/M,

又因为AB_LAO,KPAC}AD=A,PA,4。u平面以。，所以A8_L平面

依题意，以点4为原点，以AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

贝IJ8(1,0,0),C(2,2,0),。(0,2,0),P(0,0,2),

由E为棱尸C的中点,f#£(1,1,1),则屁=(0,1,1),

所以而=(1,0,0)为平面PAD的一个法向量，

又南•AB=(0,1,1)-(1,0,0)=0,所以BE1AB,

又BE<4平面以。，所以BE〃平面

(2)由(1)知平面以。的法向量前=(1,0,0),PD=(0,2,-2),DC=(2,0,0),

设平面尸CD的一个法向量为元=(x,y,z),

则低空=0,=°,令y=l,可得z=l,所以元=(0,1,1),

vn-DC—0ilx—U

又元•同=（0,1,1）-（1,0,0）=0,

所以元1荏，所以平面以平面PCD.

【变式7-3］（2023•全国•高三专题练习）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC,。是BC的中点，尸0,平

面ABC,垂足。落在线段A。上，已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.

⑴求证：APA.BC；

（2）若点例是线段AP是一点，且4M=3.试证明平面AMC_L平面BMC.

【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出向量而，丽的坐标，计算而•丽，即可证

明结论；

（2）求出平面平面AMC和平面8MC的法向量，计算法向量的数量积，结果为0,即可证明结论.

【解题思路】（1）

证明：以。为原点，过点。作C8的平行线为x轴，以AO方向为y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正

方向，建立空间直角坐标系，如图所示：

则0(0,0,0)*(0,—3,0),8(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4)，

故ZP=(0,3,4),BC=(-8,0,0),

：.APBC=Ox(-8)+3x0+4x0=0,

：.AP1.^C,即4P1.BC；

(2)

证明：因为PO_L平面A8C,4。u平面ABC,所以P014。，

因为P0=4,40=3,故4P=5,为4P上一点，且ZM=3,

.•.M(0，T，y),：.AM=(0,1,y)，

BM=(-4,-y,y),CM=(4,-y,y);

设平面BMC的法向量为元=(a,b,c),

16,,12

—4Aa-----bH——c=0n

则n-BM=0即55

.16,,12八

n-CM=0，、4a——h4-­c=0

令6=1,则元=(0,1,》；

设平面AMC的法向量为沆=(x,y,z),则m-AM=0

m-CM=0