新教材2022版数学苏教版选择性必修第一册提升训练：42

4.2.3等差数列的前A项和

第1课时等差数列的前A项和及其应用

基础过关练

题组一等差数列中基本量的计算

1.（2020湖南娄底高二期末）记等差数列｛a｝的前n项和为S.若

a=4,519=114,则515=（）

A.45B.75C.90D.95

2.在等差数列｛%｝中，已知a=10,d=2,S=580,则刀=（）

A.10B.15C.20D.30

3.（多选）（2021江苏盐城响水中学高二月考）设等差数列仿』的前〃项

和为Sn.若5=0,<24=8,则（）

A.5L-2T?2-6Z?B.一3〃

C.4=4〃-8D.a„=2z?

4.（2021江苏南通平潮高级中学高二期中）设S为等差数列｛a｝的前n

项和，已知5=2,2=16,贝IJ小二.

5.（2021江苏宿迁桃州中学高二月考）设等差数列｛4｝的前n项和为

Sn.若5g=72,则%=.

题组二数列的前〃项和S与4的关系

6.（2021吉林第二中学高二月考）已知S为数列｛a｝的前〃项和，且满

=2

足5；7?+4/?+2,则桀+&+25=（）

A.10B.11C.33D.34

7.在各项均大于零的数列｛4｝中，首项外=1,前n项和S满足

S^^i-S『店=21sp%、(〃£N*且〃22),贝lja81=

A.638B.639C.640D.641

8.（2021山西朔州怀仁一中月考）已知数列｛aj的前n项和为S,且

S=〃2+4,贝"a„=.

9.（2021江苏南京高三一模）已知数列仿』的各项均为正数,其前n项

和为S,且2s=<3禽+1,〃eN,则a=;若4=2,则

«So=.

10.（1）已知数列｛4｝的前7?项和T^n+TT+3,求数列｛4｝的通项公式；

⑵设各项均为正数的数列｛4｝的前n项和S满足S=；（4+1）；求a。.

4

题组三求等差数列的前〃项和

11.在数歹!)E｝中，&=々+2+…+T5WN*),又b——,则数列｛4｝

n+1n+1n+1anan+i

的前〃项和S为（

A.—D篇

71+1n+1

12.（2021江苏南通平潮高级中学高二期中）谈祥柏先生是我国著名的

数学科普作家,在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑

出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数(称

为埃及分数).则下列埃及分数二,三,2,…，的和是

1X33X55X72019X2021

()

A2020D1010

A・-------D.--------

20212021

「1009n2018

・2019・2019

13.已知数列EJ的通项公式为上，则其前n项和

n

sn=.

14.(2021河北邯郸高三摸底考试)已知各项均不为0的数列｛2｝满足

<31=-,<3〃-N).

(1)求证:数列为等差数列，并求数列｛%｝的通项公式；

⑵设S为数列｛aaJ的前n项和,证明：

9

能力提升练

题组一数列的前〃项和S与4的关系

1.（2021广东汕头金山中学四校高三联考，如）已知数列｛4｝的前〃项

和为S,且S=3/+2加1,则数列仿〃｝的通项公式

是,<31+为+&+,••+a9=.

2.（2021江苏无锡太湖高级中学高二期中，小：）已知数列E｝中，ai=|,

其前n项和S满足釐一4S+%=0522且AGN*）,贝lj团=，

3.（2021江苏无锡锡山高级中学高二期中，4）数列｛%｝满足

&=|,（〃£N*）,其中S为数列｛4｝的前n项和，则

am,若不等式（L2）a〃22--5hl2对任意恒成立,则实

数匕的最小值为.

4.（2020浙江衢州二中高三期末，*）设数列｛区｝的前n项和为L,a„=

人几为常数），且图是等差数列.

⑴求几的值及数列｛北｝的通项公式；

⑵设S是数列｛4｝的前刀项和，且b„=（2A+3）北,求SZTST2n的最小值.

题组二求等差数列的前〃项和

5.（2021江苏盐城伍佑中学高二月考，*,）在等差数列｛2｝

中，/=-6,所6,若数列｛4｝的前〃项和为S,则（）

A.2B,

C.&〈&D.&=&

6.（2020黑龙江哈尔滨德强高中高一期末，聚：）设数列｛4｝的前〃项和

为S,且&=1,所4261）,则数歹｛翥片｝的前10项和是（）

A.-B.-

520

C.—D.—

1111

7.（2021湖南长沙长郡中学高三一模，«?）已知数列｛4｝满足

（-1）⑸=2叱1,则｛&｝的前48项和为（）

A.588B.1176

C.-1175D.-580

8.（2021江苏镇江高二期中，*,）已知等差数列｛a｝的首项和公差都为

2,则数列｛2｝的通项公式为断,数列［」一）的前2020项和

为.

9.（2021浙江精诚联盟高二开学考试，*二）设公差不为零的等差数列

E｝的前n项和为S,a=2.若存在常数九使得a2=Xa〃（〃£N*）恒成立,

则（卷）为取得最大值时，炉.

10.（2020安徽合肥一中、合肥六中高一期末联考，*7）已知等差数列

｛&｝的前n项和为£,且W=8,a+所2H5+2.

⑴求a„;

⑵设数歹!）｛2｝的前n项和为Tn,求证：吟

11.（2021湖南长沙长郡中学高三月考，不）已知正项数列｛4｝的前n

项和为Sn,且满足ai=l,a，i=%i+S.

（1）求数列｛an｝的通项公式；

⑵设Q，求数列｛况的前n项和Tn.

（2an-l）（2an+l）3n

第2课时等差数列前n项和的性质及综合应用

基础过关练

题组一等差数列前〃项和的性质

1.一个等差数列共有10项,其奇数项之和是12.5,偶数项之和是15,

则它的首项与公差分别是（）

A.0.5,0.5B.0.5,1C.1,0.5D.0.5,2

2.（2021山西大学附属中学高二开学考试）已知等差数列｛2｝的前10

项和为30,前30项和为210,则其前20项和为（）

A.100B.120C.390D.540

3.（2020江苏徐州高二期末）已知等差数列｛a｝的前n项和为S,若

8>0,公差后0,则下列结论不正确的是（）

A.若Ss=Sg,贝514=0

B.若则S最大

C.若&>S,则S>W

D.若&>S,则&

4.（多选）（2021江苏南通高三一模）设伯力是等差数列,公差为&S是

其前〃项和，且S〈%则下列结论正确的是（）

A.d<Q

B.<27=0

c.

D.&与S均为S的最大值

题组二等差数列的综合问题

5.数列仿〃｝的首项为3,依｝为等差数歹（J,且Ma向-若

&=-2,瓦=12,则3s=（）

A.0B.3C.8D.11

6.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数的和为（）

A.765B.665

C.763D.663

7.（2021湖南长沙长郡、雅礼、一中、附中高三联考）设等差数列｛4｝

的前n项和为S,&=23,S=360,当〃>5时，5rf=183,则上.

8.（2021陕西咸阳百灵中学高二月考）已知等差数列｛a｝和｛4｝的前〃

项和分别为S和九且卜W，则詈二

9.（2021四川成都名校联盟高三联考）已知数列｛aj对任意见〃金N*都

满足且ai=l,若对于任意的正整数n,都有成+12,则

实数A的最大值为.

10.（2020湖南长沙一中高二期末）已知等差数列仿〃｝的各项均为正数,

其前n项和为S,且满足4+a=酒,S=63.

（1）求数列｛aj的通项公式；

⑵若数列仇｝满足*2,且狂a*,求数歹（）｛2｝的前n项和Tn.

题组三等差数列前〃项和的实际应用

11.“嫦娥”奔月，举国欢庆.据科学计算，运载“嫦娥”飞船的“长征

三号甲”火箭点火1min内通过的路程为2km,以后每分钟通过的路

程都增加2km,在到达离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则

这一过程需要的时间是（）

A.10minB.13min

C.15minD.20min

12.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管

数最少,那么剩余钢管的根数为.

13.某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1150元，购买当天

先付150元，以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率

为1%若交付150元后的一个月为分期付款的第一个月，则分期付款

的第10个月应付款多少元?付清全部贷款后，买这件家电实际花费多

少元？

能力提升练

题组一等差数列的综合问题

1.（2020河南濮阳高二上期末，如）已知数列｛4｝的各项均为正数，且

呵+W…1V4）,则数歹U僵｝的前n项和为（）

A.Z?2+2M1B,2/+2〃

C.3n+nD.2n+n

2.（2020安徽阜阳高二上期末，士7）将正偶数排成如图所示的三角形

数阵,其中第，行（从上向下）第7个（从左向右）数表示为^,（7,JEN*）,

例如a32=10.若加=2020,贝IJi-j=（）

2

46

81012

14161820

A.21B.22C.23D.25

3.（多选）（2021江苏宿迁桃州中学高二月考，*「）设等差数列｛a｝的前

n项和为S,公差为d.已知53=12,S12>0,昌〈0,贝I（）

A.3@〉0

B.-24-<d<-3

7

C.S〈o时,n的最小值为13

D.数歹U伊忡的最小项为第6项

4.(2021河南九校高二联考，")已知数列｛2｝中,4=近1,且当心

2,时，7?a^i-(T?+1)an.

(1)求数列｛a｝的通项公式；

⑵设b=2n(—-A),若对任意的AGN：数列｛4｝都是递减数列，求实

数几的取值范围.

5.(2021江苏盐城一中、射阳中学等五校高二期中联考，4)已知数列

｛4｝满足五尸二―且ai=2,数列｛4｝满足bn.~b^anbn,且*2.

an+2

(1)求证:数歹！)尸4是等差数歹！J,并求其通项公式；

2

⑵解关于〃的不等式：2藐〈已

题组二等差数列前A项和的性质及综合应用

6.（2021江苏苏州星海中学高二期中，*「）已知数列江/中,及=2,若对

任意的m,neN*都有“二为+为，则

_a+a+a+---+aoi3

13s2.

a2+cL4+a6+---+a2014

7.（2021江苏苏州昆山高级中学高二期末，如）已知数列｛4｝的前〃项

和为Sn,满足2s=两A（〃3*）,则数列｛4｝的通项公式断,设

4=（-1）。+】,则数列仇｝的前n项和Tn=.

an*an+l

8.（2020山东济宁高二上期末，水）已知一组双曲线与:/-/=4加4（〃

eNO,设直线产力（加＞2）与只在第一象限的交点为4,点4在2的两条

渐近线上的投影分别为点Bn,Cn.记的面积为a”,则数列｛aj的

前20项和为.

题组三等差数列前〃项和公式的实际应用

9.（2021江苏无锡锡山高级中学高二期中，*7）为了参加学校的长跑

比赛,高二年级的小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后

一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前

三天共跑了3600米,最后三天共跑了10800米,则这15天小李同学

总共跑了（）

A.34000米B.36000米

C.38000米D.40000米

10.（2020山东潍坊高二上期末，我国古代数学名著《算法统宗》

中有这样一个问题：“九百九十六斤棉,赠分八子作盘缠.次第每人多

十七,要将第八数来言.务要分明依次第,孝和休惹外人传.”大意为：

“有996斤棉花,分别赠送给8个子女作为盘缠,从第1个孩子开始，

以后每人依次多17斤,直到第8个孩子为止.分配时一定要按照次序

分,要顺从父母，兄弟之间要和气,不要引得外人说闲话.”在这个问题

中，第8个孩子分到的棉花为（）

A.184斤B.176斤C.65斤D.60斤

11.（2020山西太原高二期末，川）黄金螺旋线又名鹦鹉螺曲线，是自

然界最美的曲线.在一个黄金矩形（宽除以长约等于0.6）中先以宽为

边长作一个正方形,然后在剩下的矩形里面再以其中的宽为边长作一

个正方形，以此循环作下去,最后在所形成的每个正方形里面画出;圆,

把圆弧线顺次连接,得到的这条弧线就是黄金螺旋线.现把每一段黄

金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积设为伞对应扇形的半

径设为2,｛2｝满足.31=1,32=1,a=afi+Hk2（〃£N*,启3）,若将为〃｝的每

一项按照如图所示的方法放进格子里,每一小格子的边长为1,记前n

项所在的正方形的面积之和为S,则下列结论错误的是（）

A.3刀+1—a九+1+a加1•a?

B.劣+为+…+a〃=a"2—1

C.4（以2-C"i）="4•a〃3

D.<21+<33+%+，，，+<92_«-1=82〃-1

12.（«1）某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年

能给企业带来100万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需

要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年所需的维护费用比上

一年要增加10万元.

⑴求该设备给企业带来的总利润y(万元)与使用年数x(xeM)的函

数关系；

⑵这套设备使用多少年,可使年平均利润最大?最大年平均利润为多

少万元？

答案全解全析

第1课时等差数列的前〃项和

及其应用

基础过关练

1.B由题意得卜瑟+19x9d=114,

即｛僚律解得色|,

所以Si5-15<ai+15x^15X|+15X7X|=75,故选B,

2.C因为57=7751+|T?（77-1）后10加聂,（72-1）X2=n+9/7,所以n+9/7=580,解得77=20或炉-29（舍

去）.

3.AC设等差数列｛2｝的公差为4则产=3的jy=°，解得出=一出

g=%,+3d=8,（d=4,

.,.^=51+（7?-1）t#-4+4（7?-1）=4/?-8,5=〃习1+九（）21）人=_4/7+2〃（n~1）=2T/_6〃.

故选AC.

4.答案y

解+析6,喘Md==2g

.*1=-.•.a=&+5於」+15=*.

Id=3,2*42

5.答案8

9(1；9)

解+析｛aj是等差数列，二&=。。=*|生=9a$=72,a6=8.

方法总结

求等差数列中基本量的方法是利用公式建立方程(组)，或者运用等差数列的相关性质进

行处理，以达到简化求解过程的目的.

6.C因为S为数列｛aj的前〃项和，且满足S=4+4加2,所以a3+a4+^S5~&=33,故选C.

7.C由5=2<S“S自(〃GN*且/7、2)可得居-胫:=256。且〃22),又

ai=l,".y[s[=y[ci^=\,

｛忌｝是以1为首项，2为公差的等差数

歹！I，，扃=2上1,•••S=(2kl)2,•,.381=&「&。=161:：-1592=640・

8.答案8nr；?

2

解+析当77=1时，ai=S=5,当〃22时，a^Sn-S^n+4-(77-1)-4=2n~lf此时劭=5不成立,所以

」5,n=1,

l2n-l,n>2.

9.答案4;220

解+析根据2s皿1①,得29二郎为(〃三2,②,①-②,化简得2a二为(9--)，又an

W0,所以加一如二2(〃22,

当斤1时，有2al二2•&,可得<32=2,故&=/+2=4.

n,九为偶数，nWN*,

右51—2,贝।5/7—

n+1,九为奇数，neN*,

贝(JSo=(a+&+全+…+&9)+(32+&+a+・一+320)

xlO

(2+20)X10+(2+20)-220

22.

10.解+析(1)•・・Tn=2n+n+3,：.当n=l时，6i=7]=2X「+1+3=6;当时，儿二北一

Tn-i=2n+ZT+3-[2(ZT-1)2+(ZT-1)+3]=4/7-1.当n=l时，1=6W4X1-1,

.4」6,九=1,

9nUn-l,n>2.

⑵当77=1时，ai=5i=7(ai+1)2,所以51=1;

4

当时,为二$-以弓(a+1)冶・(a^i+1)2,即4品二嫌+2a+1-(嫌一1+2%+1),

忌-碌产(为+如)=0,

・•-3n-i-2)-0.

=

;数列｛a｝的各项均为正数，；・a+打1>0,；・a-司门-2=0,即an-an-i2,

数列｛aj是首项为1,公差为2的等差数列,

a=1+2(hl)=2/7-1.

方法总结

给出S与&的递推关系，求当的一般思路:①利用3尸胪：：22求解;②转化为S

的递推关系,先求出S与〃之间的关系,再求a”.

itA1.2.nn(n+l)1_n

11.A因为a方——+——+・••+——=----

n+1n+1n+12n+12,

所以办肃二二唐二4(；笠J，

所以S=4(

nn+1n+l,

故选A.

11

12.B设埃及分数依次构成数列｛a｝,则其通项公式为为二

(2n-l)(2n+l)2

1

」+1一+-1，+•••+-

1X33X55X7：2019X2021

1--+---+--1+・・・+^_一^_(「心)4S故选艮

三X3355720192021

13.答案1g(加1)

解+析由已知得a=lg(加l)Tgn,

所以…+a=(lg2-lgl)+(lg3-lg2)+…+[lg(/7+l)-lg77]=lg(/7+l).

14.解+析(1)由两边同时除以劣石用，得二一」■二=又三二

2an+1an22

•,.长｝是首项为I,公差为I的等差数列,

・1_33/1、_3._2

•.-----+-(Z?-1)—Z7,•.3,n----.

an2223n

⑵证明：由⑴得

S[X(卜|+找+…+(冷)3X(1—总]一^^.

・

:nGN：：44

99(n+1)9’

即s4.

易错警示

在应用裂项相消法求和时应注意:①通项裂项后，是否恰好等于相应的两项之差;②在正、

负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,是否还有其他项.

能力提升练

L答案M±llnl2)；146

解+析当刀=1时，ai=S=3X12+2X1+1=6,

当刀22时，a^S^Sn-^in+2/?+1-3(TT-1)2-2(/?-1)-1=6/T-1,当上1时，a=6W6XlT,

所以口后心,

所以/加1=12/7+5,〃金N：

所以ai+a3+as+…+麴=&+丝竽也-6+2X(12X1+5+12X4+5)=146.

2.答案-二;

122022

解+析当n=2时,有(。2+0-32•(。2+0+a2=O,整理得%+[=(),解得a2=-*

当62时，amS『Sn,由扉-a〃S+a0=O可得喋-(£-如)S+S-Si=0,即易知S%i

W0,所以1=^-^=--—,

^n^n-1SnSn-1

所以数列住|是首项为*3,公差为1的等差数列，.•.£、=3+lX2019=2022,

lSn)S1s2020

因止匕£°2。二大，

3.答案即+|).2*

解+析因为S=ax2"*,

所以当G2时,S*aE-

n+1n

所以a^=S-Sr\=(jin+1-2-^-^an-2-^=a^i-a„-2,",

所以a*2al+2",即亲尸黄+点

又&=|,又团=~2*,

所以包=7,所以登3号满足上式,

所以数歹W募｝是以：为首项,m为公差的等差数歹山

所以朱汽（I）号吟

所以a二q71+|)，2".

因为（L2）a〃2235kl2对任意〃eN*恒成立,所以（L2）•（|n+^）-2〃》2*5hl2对任意

2n2-5n-124(n-4)

恒成立，即方-22•对任意恒成立,

(ln+|).2n-2«

4(n-4)4(n3)_4(n4)4(5-n)

,令fe=4("4).贝Ibm「b二

所以广22nn

.2nmax22九+122+1•

所以当水5时，尾1一6〃>0,即b£>bn；

当上5时，曲二优；

当力＞5时，服即bmKth

所以［”萨］=仁吟所以L223即t^,所以实数t的最小值为?

L2」max8««°

4.解+析⑴当时，普•=4-北，

即将ATxTM,G2,

即入Tr-WLTfG2,

所以5=1,〃22,

lnln-i

因为｛1｝是等差数列,所以4二1，公差大1，

令77=1,则71=1,所以5=2,

所以工二2+（27-1）•1二加1,

Tn

所以数列｛北｝的通项公式为T方三

n+1

（2）由（1）及已知得"=（2加3）T„=2+—,

所以&„-S„-2n=(2++)+(2+京)+(2+充>…+卜+熹)-2/7=^+上充+…+高

令CrF-^―+^—+^—+・・,+^—

n+2n+3n+42n+l

3n+4

所以ClCri二1।11.>0,

2?l+327l+2?l+2(2n+3)(2n+2)(n+2)

所以“1＞以,所以数列｛©｝是递增数列,所以&）min=a=|，

即(S2n-Sn-2n)min=i,

即2A的最小值为去

5.B在等差数列｛a｝中，公差户"发=2

6

则为=〃2+(/T-2)庐-6+2/7-4=27?-10,

所以ai=-8,

n(a+a)n(-8+2n-10)

所以s*1n力39),

22

则S=4X(-5)=-20,£=5X(-4)=-20,&=6X(-3)=-18,

所以&=&,&>£,故选B.

C

6.C由a=—+2(77-1)得3二刀8厂2〃(77-1),

nn

当时，aFS「Sr=na「（nr。a^i-4（zrl）,整理得a„-a^i=4,

所以｛aj是公差为4的等差数列,又国=1,

所以乃尸4/7-3,从而S+3/7=九（a；a九）+3炉2刀2+2〃=2〃（加］）,

1_1

所以

Sn+3n2n(n+l)2\nn+lJ

所以数歹wum的前1°项和为打(「3*

7.B由a加i+(-1)"&F2/7-1,得

=-=———

/=1+W1,533522Si,&=5+&=7一W1,3,5~7~3^3，if陵=9+己5=9+51,3^—\1S6—2Si,a=13+37=15-^1,

……,所以相邻奇数项的和为2,偶数项中,每隔一项构成公差为8的等差数列，

所以(功+83)+(含+与)+…+(&5+&7)=2X12=24,

/+2+注+为+・・・+&6+&8=(/+a+&()+・・・+&6)+(a+含+・・・+&8),

而我+遂+〃io+.・・+&6=(1+己1)+(9+ai)+,,,+(89+ai)=540+12ai,

2+含+…+加=(7-功)+(15-4)+…+(95-4)=612-12期

所以数列｛&｝的前48项和为24+(540+1251)+(612-12^)=1176.故选B.

505

8.答案2〃;

2021

解+析为=2+2(/T-1)=2/7.

设脸亡「心意（1击），设⑸的前〃项和为北，

则吟

ryi|[T_2020_505

人」hO2O-4X（2020+1）-2021,

9.答案18或19

解+析设等差数列｛a｝的公差为d

当/7=1时，a2=Aai,

当.时，…侬所唠曹；W+必,

解得｛忆弹d（舍去），

(n1)d

所以SrFna^2=n+n,

记穿G）£=讳）5+力

%+1_岛)[(”+1)，6+1)]9

所以nn21+-

'(^)(n+n)10n.

当1手启18,〃3*时,攀福（1+§芸1,此时TQTn；

当〃>18,〃62时,如=2（1+，〈1,止匕时T^<T„.

Tn10\nJ

所以舄）&取得最大值时,n的值为18或19.

io.解+析⑴设数列｛a｝的公差为d,由题意得5的:%解得巴1=：'所

+9d=2al+8d+2,1d=2,

以4=2/T+1.

⑵证明：由（1）知为=2/?+1,所以（3+2TT+1）=n+2n,

_1

所以Fn(n+2).斗一⑶

2\nn+2/

所以*[(il)+GU)+(M)+・“+(=-^)+(1专)]

2\2n+ln+274

11.解+析⑴由成+i=备1+S,①

得硬=S+Srl(〃22),②

①一②得忌+广磷冰1+%(〃22),

因为a>0,所以〃加1-a=1(〃22),

由51=1,农=&+/+4，解得3.2=2(52=_1舍去)，满足8加「a=1,

因此数列｛%｝是以1为首项,1为公差的等差数列,所以

⑵二一—_____

'76"（2n-l）（2n+l）A3n

=1[__ii

4L（2n-1）-3n-1（2n+l）•3n

所以北="6升…+"，三(总一总

+,•,+—L---------1----

43X315X324（2n-l）x3n-1（2n+l）x3n

1--~

(271+1)X3n

解题模板

数列中常见的裂项相消的形式:

⑴11_1

n（n+l）nn+l

⑵4n2-12\2n-l2n+17

⑶VST1+赤+I%；

2n_1_1

(4)（2n-l）（2n+1-l）-2n-l2n+1-l

第2课时等差数列前〃项

和的性质及综合应用

基础过关练

1.A设此等差数列为｛aj,公差为d,奇数项之和为S葩偶数项之和为Sffi,前〃项和为S,由

S假-S奇=5户15T2.5=2.5,得户0.5.

故So=lO&+乎X0.5=15+12.5=27.5,解得a=0.5.

2.A设｛aj的前n项和为S.由等差数列的性质得S。,&「S。,成等差数列，所以

2(S。-30)=30+(210-&0),解得£<>=100.故选A.

3.D若W=S,贝ua+&+为+89=0,所以&+软石1+石14=0,所以Si4=14x（a；+ai4）=0,故A中结论正确.

若W=%则5&+10痈9@+36d所以第-5.因为为＞0,所以K0.

由S的表达式及二次函数的性质知,S最大，故B中结论正确.

若&＞S,则与＜0.又水0,所以桀＜0,所以S＞&.但为的符号不确定,所以反与国的大小无法比

较，故C中结论正确,D中结论不正确.故选D.

4.ABD由｛a｝是等差数列，S是其前n项和,且£＜&,&=$＞&,

得为二&-8＞0,a7=5?-5e=0,③=&-岳〈0,&+软&-关＜0,

则数列｛a｝为递减数列，即选项A,B正确；

由&-W=为+备+&+色=2（续+&）＜0,得国〈W,即选项C错误；

易知功＞〃2＞・,・＞为＞与=0＞备＞为＞…，故&与S均为S的最大值，即选项D正确.

故选ABD.

5.B设数列｛4｝的公差为a

..z_z.pl+2d=-2,

.b3=29,加=192,・・（瓦+9d=12,

解得巳［J'•••-6+31）义2=2止8,

••@仆］~aF2n~8,3^.si=3,

a2-ai=2X1-8,

氏~昕2X2-8,

a-a=2X3-8,

-38-57=2X7-8,

以上各式相力口得,a8-ai=2X（1+2+3+・・・+7）-8X7=0,,••备=4=3.

6.B被7除余2的自然数构成等差数列,设该等差数列为｛4｝,aGN,其首项4=2,公差加7,

则为二功+（77-1）居7/7-5,:又为＜100,为£N,・・・7/2-5。00,・••水15,的最大值为

14,.•.满足条件的最大的自然数为a“=93,.•.这些数的和为"乎*14=等义14=665.

7.答案18

解+析由题意知W=&+/+&+&+»23,当n＞5吐5-以5=a+以1+加2+爪3+爪4=177,两式相加并

整理，得（功+为）+（己2+41）+（当+3犷2）+（a+2止3）+（己5+3犷4）=23+177=200,所以谢+a=40,贝！J

S=〃X也罗=20炉360,解得上18.

8.答案6

解+析由笠笔,可设$=07加5）•〃,北=孑（加3）〃,k＞Q,

Tnn+3

则&=S-W=（7X7+5）X7h（7X6+5）X6A=96A,

〃=方-入=（7+3）X7A-（6+3）X6A=16",

则也缗=6.

b716k

9.答案7

解+析令/n=l,则即为4-4=1,则｛a｝是以1为首项，1为公差的等差数列,故an=n,

由4alWW+12对任意〃GN*恒成立,可得An^n+12对任意〃eN*恒成立，即4W犷三对任

意恒成立，

令尸加=该函数在(0,2V3)上单调递减,在(2V3,+8)上单调递增，

n

又2V3e(3,4),当77=3时，y=7,当炉4时,j=7,所以所以4W7,即^max=7.

10.解+析⑴解法一：设等差数列｛4｝的公差为d由题意，得&〉0,且

(ci-^+为+4d=—(a1+2d),

17al+21d=63,

・=3,

**W=2,

故a二2小1.

解法二:设等差数列｛4｝的公差为d.

•••｛4｝是等差数列，且国+年|靖,

2当二,。马.又为＞0,.'.^3=7,

•；£=7(。1；。7)=7&=63,近9,

卢&一己3=2,(/7-3)/2加1.

⑵・6加16户〃加1,且a=2〃+1,

；・6加1-6尸27?+3,6i=ai=3.

・•・当〃22时，

bn=(bn-bn-t)+(bn~\-bn~>+…+必-加+61=(2/T+1)+(2/7-1)+…+5+3=刀(加2),

当n=l时，6尸3,满足此式，

以二刀(〃+2),

111

bnn(n+2)2

』(1二)+&)+(&)+...+巨」)+

232435n-1n+1nn+2

三(W-京)

_32n+3

42(n+1)(n+2)*

11.C由题设条件知,火箭每分钟通过的路程数构成以2为首项,2为公差的等差数列,设其

前〃项和为S“,则S=2加吗9X2=/+7FA(m"l),令&=240,解得TF15或h-16(舍去).

12.答案10

解+析由题意可知,从上到下各层钢管数构成了一个等差数列，最上面一层的钢管数为1,

逐层增加1.设该等差数列为｛aj,其前n项和为S,

贝ijS=l+2+3+…+/尸号之〃GN*.

当"9时，$9=190;

当n=2Q时，S°=210〉200.

所以当/F19时,剩余钢管的根数最少,最少为10.

13.解+析购买家电时支付150元,则欠款为1000元,每月付50元,则需20次付清,设交付

150元后的每个月的交款数额依次构成数列｛aj,

则国=50+1000X1於60,

32=50+(1000-50)XI^59.5,

国。=50+(1000-9X50)X1r55.5,

即分期付款的第10个月应付款55.5元.

故｛aj是以60为首项,-0.5为公差的等差数列,且1W〃W2O,“GN*,

)

所以ai+az+…+azo=60+(60-19X0.5X20=l105,

2

所以付清全部贷款后，买这件家电实际花费1105+150=1255(元).

所以分期付款的第10个月应付款55.5元,付清全部贷款后,买这件家电实际花费1255元.

能力提升练

1.Byfa^+y/a^+'"+y/^l=n+n,®

当ZFI时,V^i=2,

当时，y/a^+y/a^+--+y/an-1=(n-lY+(TT-1),②

①-②并整理,得四=2〃(〃22),

经检验，当n=l时也满足，

:.#i^=2n,aGN：即a„=4：if,〃GN*.

.•.包=4〃，•.•”当=4(加1)-4h4,手4,.•.伊［是首项为,公差为4的等差数列，它的前n项

nn+1n1knJ4

和为吟山2*乙故选B.

易错警示

本题考查了由数列的前〃项和求通项公式以及等差数列的前〃项和公式.在由数列的前

n项和S求｛aj的通项公式时,要注意ai=Si,a产“eN*,求出｛aj的通项公式后必

须检验为是否适合此式.

2.D由题意知,这个数阵的第一行有1个偶数,第二行有2个偶数,……,第〃行有〃个偶数,

所以前〃行的偶数的总个数为吟。，

又由题图可知,数阵中的数依次构成以2为首项,2为公差的等差数列,所以第n行的最后一

个偶数为2+［吟2-1］乂2=〃(加1).

当厅44时，44X45=1980,当它45时，45X46=2070,所以a片2020在第45行，

又&产2020=1980+2X20,

所以2020是第45行的第20个偶数，

即2020这个数位于第45行第20歹山

所以户45-20=25,故选D.

3.ABC根据题意，等差数列-｝中，&>0,即&=(°i+^2)xl2=(a6+a7)xl2=6忌+加〉0,由a?<0；

得a>0,A正确;

因为a3=12,且备>0,a7<0,a+a?》。，

a=12+3d>0,

所以,67=12+4d<0,解得〈水-3,B正确；

。6+。7=24+7d>0,

（ai+a）xl3

根据题意,513=^=13a7<0,而曲〉0,故S,<0时,n的最小值为13,C正确；

由a7<0,S6>0可知点0,所以数列回｝是递减的等差数列，当1W〃W6,且“GN*时,a〉0,当心

7,且〃GN*时，aXO,当1W〃W12,且〃eN*时,&>0,当〃213,且〃eN*时，S〈0,

所以当且〃GN*时，1>0,当7W〃W12,且〃GN*时，1<0,当〃213,且〃GN*时，皂>0,

ahah

故数列｛段｝中的最小项不是第6项，D错误.

故选ABC.

4.解+析（1）当刀WN*时，刀蛇尸（加1）为，

・••当/?22,〃£N*时，皿=%,

n+ln

又所1,.•费三,.♦•当启2,〃£N*时,数列｛半｝为常数列,且各项均为也

当〃£N*时,装二|,即为音，

..（l,n=1,

又•・,—刘飞,n>2,neN*.

（2）由（1）知,4=2"（六力=2"岛-2）,

若对任意的〃GN*,数列｛4｝都是递减数列，

则如“2〃（右-合力〈0对任意的〃，恒成立，即以京-舟M

4_2______2n______2

就何一2+1）5+2）n+/3'

易知函数尸田沁〉0）在区间（0,伪上单调递减，在（四,+8）上单调递增,四e（1,2）,所以

当无1或炉2时,M-+3取得最小值6,即*-二7取得最大值;，

nn+2n+l3

故实数A的取值范围为（I，+8）.

5.解+析⑴由得」警故—3

J为公差的等差数列.所以二=三,即a言.

an2n

⑵易知同的各项均不为0.由bn^l-bn-Q-nbn得

皿二万+1=叱­”二3生二士蛆二三……小二旦旦二小

nJ

bn?i''Z）22'匕33'bn-2九一2'九一1'

以上各式累乘得,4=〃（加1）,

则不等式2爵〈4可化为2y〃（加1）,即嘿2>i,

令所嗤£,〃GN*,

当n=l时，归1,不符合;

当上2时，。2=|>1,符合;

当上3时，6=|>1,符合;

当无4时，话〉1,符合;

当年5时，所*1，不符合;

、［/xrLiu*—(n+1)(n+2)n(n+l)(n+1)(2-n)

当n>5,时，c"「cm2叱1二2"+工

故当〃>5,时均不符合.

综上所述,A©⑵3,4｝.

1007

6.答案4;

1008

解+析若对任意的m,都有“二为+为,则令炉炉2,得54=52+52=4.

令7ZF/7=1,得52=51+51=2,所以51=1,

令ZZF1,贝！J41=31+为二为+1,

••己加1-Hn-1,

・•・数列｛a｝是以1为首项,1为公差的等差数列，，劣工〃，

(1+2013)X1007

ea1+。3+。5+■■•+。2013_2_2014_1007

**a+a+a+---+ai4他+2oi4)xi0070161008，

2462O22

-空,几为奇数,neN*

7.答案27；n+1

-二7，"为偶数，"SN*

n+1

解+析因为2S=〃2+〃(〃GN*),

n2+n-(n-1)2-(n-1)

所以当〃22,时，a=S-Sn-i=-:n,

nn2

当上1时，5i=ai=iii=l,符合此式,所以为二〃.

(一1)"a2n+i(一1)n(2九+1)

因为4==（T）—•

an•an+1n(n+l)

当刀为偶数