随机变量及其分布市公开课一等奖省赛课微课金奖课件

第三章多维随机变量及其分布

第一节二维随机变量

第二节边缘分布

第三节条件分布

第四节相互独立随机变量

第五节两个随机变量函数分布第1页二维随机变量：

§1二维随机变量[注]二维随机变量(X,Y)性质不但与X和Y相关,且

还依赖于二者相互关系.设E是一个随机试验,样本空间S={e}.设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上两个随机变量,向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量.n维随机变量：设随机试验E样本空间S={e}.X1,

X2,…,Xn是定义在S上n个随机变量,则称向量(X1,

X2,…,Xn)为n维随机变量（向量）.第2页设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,称F(x,y)为二维随机变量(X,Y)分布函数,或称为随机变量X和Y联合分布函数.xyO(x,y)xOx1y2x2y1y分布函数(联合分布函数)定义第3页1)F(x,y)是变量x和y不减函数,即对任意固定y,当x2>x1时,有F(x2,y)

F(x1,y);对任意固定x,当y2>y1时,有F(x,y2)

F(x,y1).2)0

F(x,y)

1,且

F(-

,y)=0,

F(x,-)=0,F(-,-)=0,

F(+,+)=1.3)F(x,y)关于x右连续,关于y右连续,4)对于任意x1<x2,y1<y2,有

F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)0分布函数F(x,y)性质:第4页二维离散(X,Y)分布律(联合分布律):

(X,Y)全部可能取值(xi,yj),i,j=1,2…,YX二维离散型随机变量(X,Y)全部可能取值是有限对或可列无限多对.满足分布函数第5页12341234YX25/4813/487/481/161/41/41/41/41例1设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,另一随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值.试求(X,Y)分布律.1/40001/81/8001/121/121/1201/161/161/161/16返回解:

X=i,i=1,2,3,4,Y=j,j

i.第6页例２某产品８件,其中有２件次品.每次从中抽取一件,不放回，抽取两次,分别以X、Y表示第一、二次取到次品件数,试求(X,Y)分布律．(X,Y)全部取值为(i,j),i,j=0,1由乘法公式有解XY0101第7页二维连续型随机变量定义

设二维随机变量(X,Y)分布函数为F(x,y),若存在一个非负函数f(x,y)，使得对任意x,y，有

则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)称为(X,Y)概率密度，或称为X和Y联合概率密度．性

质第8页例3设二维随机变量(X,Y)概率密度为

(1)确定常数C;(2)求概率P{X+Y

1};(3)求F(x,y)．

1解(1)Dx+y=1x+y

1Oxy第9页当x>y,0

y<

1时，1(3)当x<0或y<0时,F(x,y)=0当x

y<1,0

x<1时，v=u10uv(x,y)(x,y)(x,y)(x,y)(x,y)当y

1,0

x<1时，当x

1,y

1时，(x,y)第10页当x>y,0

y<

1时，(3)0,当x<0或y<0时,当x

y<1,0

x<1时，当y

1,0

x<1时，1,当x

1,y

1时，F(x,y)=第11页例4设二维随机变量含有概率密度

求(１)分布函数F(x,y)；（２）P{XY}

解

(x,y)xyO第12页y(2)设xO第13页设E是一随机试验，S是其样本空间，X1,X2,...Xn是定义S在上n个随机变量，则称n维向量(X1,X2,...Xn)为定义在S上n维随机向量或n维随机变量．概念推广：称为n维随机变量(X1,X2,...Xn)分布函数．对个任意实数x1,x2,…xn，令

类似能够定义离散型及连续型n维随机变量分布律及概率密度，它们都含有类似于二维时性质．

第14页[注]边缘分布函数能够由X与Y联合分布函F(x,y)唯一确定:定义1

设(X,Y)为二维随机变量，其分布函为F(x,y)§2边缘分布一、边缘分布函数(X,Y)关于X边缘分布函数(X,Y)关于Y边缘分布函数第15页若(X,Y)分布律为二、离散型随机变量边缘分布律(X,Y)关于X边缘分布律(X,Y)关于Y边缘分布律第16页1XY例1离散型随机变量边缘分布律列表第17页12341234YX25/4813/487/481/161/41/41/41/41例1设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,另一随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值.试求(X,Y)分布律.1/40001/81/8001/121/121/1201/161/161/161/16解:

X=i,i=1,2,3,4,Y=j,j

i.第18页三、连续型随机变量边缘概率密度设(X,Y)概率密度为f(x,y)，则由此知，X是连续型随机变量，且其概率密度为同理，Y也是连续型随机变量，其概率密度为分别称为(X,Y)关于X和关于Y边缘概率密度．第19页均匀分布：设G为一面积为A平面有界区域，若(X,Y)含有概率密度则称(X,Y)在域G上服从均匀分布．二维常见分布例2设(X,Y)在域G:x2+y2

r2,y

0上服从均匀分布，求其边缘概率密度.第20页例2设(X,Y)在域G:x2+y2

r2,y

0上服从均匀分布，求其边缘概率密度．x解oxy-r

r

r

第21页xoy-r

r

r

ox-r

r

第22页二维正态分布设二维随机变量(X,Y)含有概率密度其中是常数，且，则称(X,Y)服从参数为，记为第23页二维正态分布图第24页第25页二维正态分布剖面图第26页即X和Y边缘分布均为正态分布:解

例３设,求(X,Y)边缘概率密度.第27页定义1

设(X,Y)是二维随机变量，其分布律为对固定i,若§4.3条件分布对固定j,若-------在条件X=xi下,随机变量Y条件分布律．------在条件Y=yj下,随机变量X条件分布律.离散型随机变量条件分布第28页例1将两封信随机往编号为1,2,3三个信箱内投.以X表示第一个信箱内信数目，Y表示第二个信箱内信数目，求X和Y联合分布律及条件分布律．012YX条件分布律用表格表示:1/92/91/92/92/901/9000124/94/91/94/94/91/9012i1/41/21/41/21/20100P{X=i|Y=0}P{X=i|Y=1}P{X=i|Y=2}同理可求P{Y=j|X=i}i,j=0,1,2 解据题意(X,Y)全部可能取值为(i,j),i,j=0,1,2 第29页定义２

给定y，设对于任意

>0，

若对于任意实数x，极限

存在，则称此极限值为在条件Y=y下随机变量X

条件分布函数,记为或类似可定义.连续型随机变量条件分布第30页定义2设(X,Y)概率密度f(x,y),(X,Y)关于Y边缘概率密度为fY(y).若对固定y,fy(y)>0,则称推导连续型随机变量条件分布为在X=x,条件下Y条件概率密度.条件分布函数若对固定x,fX(x)>0,则称为在Y=y条件下X条件概率密度；第31页返回第32页例2

设(X,Y)联合概率密度以下，对于任意给定值x(0<x<1),在X=x条件下,有O11解求条件概率密度.xyyx第33页对于y(0<y<1),在Y=y条件下,有尤其：在Y=y=1/2条件下,有yO11第34页§4相互独立随机变量

定义１

设F(x,y),FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)分布函数及边缘分布函数．若对全部x,y，有X与Y相互独立条件等价于: (离散型)(连续型)则称随机变量X与Y是相互独立.第35页定理设随机变量X与Y相互独立,令其中为连续函数，则U与V也相互独立．两个主要结论：二维正态随机变量

X与Y相互独立例1设X，Y相互独立，将其余数值填入表中空白处。XY

y1

y2y3pi.x1

x21/81/81/61p.j1/241/41/23/81/121/33/41/4第36页图例2

学生甲,乙抵达教室时间均匀分布在7~9时,设两人抵达时刻相互独立，求两人抵达教室时间相差不超出5分钟概率.解

设X，Y分别表示甲，乙抵达教室时刻,则因为X与Y相互独立，故(X,Y)概率密度为第37页7979GxoyG1第38页若对任意实数，都有则称X1,X2,…,Xn相互独立.推广:设(X1,X2,…,Xn)分布函数为F(X1,X2,…,Xn),定理

设(X1,X2,…,Xm)与(Y1,Y2,…,Yn)相互独立,则Xi(i=1,2,…,m)与Yj(j=1,2,…,n)相互独立.又若h,g为连续函数,则h(X1,X2,…,Xm)与g(Y1,Y2,…,Yn)相互独立.若对任意实数x1,x2,…,xm;y1,y2,…,yn都有则称X1,X2,…,Xn与Y1,Y2,…,Yn相互独立.F(x1,…,xm,y1,…,yn)=F1

(x1,…,xm)F2(y1,…,yn)第39页例1设(X,Y)分布律为求(1)Z=X+Y(2)Z=XY分布律.§5二维随机变量函数分布离散型随机变量函数分布XY012-120.20.30.10.10.10.2解(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,0)(2,1)(2,2)-101234(X,Y)Z=X+YZ=XY

0.20.30.10.10.10.2

0-1-2024Z=XY

0.30.10.30.10.2-1-2024第40页连续型随机变量函数分布设(X,Y)概率密度为f(x,y),求Z=g(X,Y)分布.普通方法：分布函数法

第41页设(X,Y)概率密度为f(x,y),Z=X+Y分布函数为一、Z=X+Y分布x+y=zGyxo第42页

Z=X+Y概率密度:

卷积公式当X,Y相互独立时,第43页例1设X~N(0,1),Y~N(0,1)且X与Y相互独立，求Z=X+Y概率密度。Z=X+Y~N(0,2).解第44页(2)若且相互独立，则普通结论：(1)若且相互独立，则X+Y仍服从正态分布，且(3)有限个相互独立正态随机变量线性组合依然服从正态分布第45页例2在一简单电路中，两电阻R1和R2串联联接，设R1,R2相互独立，它们概率密度均为求总电阻R=R1+R2概率密度.解xzz=xz=x+10即102010第46页例3设X1,X2相互独立分别服从参数为

1,;2,

分布,即X1,X2概率密度分别为试证：X1+

X2服从参数为

1+2,

分布.[注]

函数:第47页

分布：若随机变量X概率密度为

分布性质：若X1~(

1,

)，

X2~(

2,)，且相互独立，则X1+

X2~(

1+

2,

).[注]

函数:则称X服从参数为

,

分布.记为X~

(

,

).若X1,X2,…Xn相互独立，且Xi服从参数为

i,

(i=1,2,…n)

分布，则X1+X2+…+Xn服从参数为

1+2+...+

n,

分布.普通结论：第48页当z>0时,证：A亦即Z=X1+X2服从参数为

1+2,

分布．第49页A计算：[注]

函数:若X1,X2,…Xn相互独立，且Xi服从参数为

i,

(i=1,2,…n)

分布，则X1+X2+…+Xn服从参数为

1+2+...+

n,

分布.普通结论：第50页设X,Y是二维连续型随机变量,其概