河北省石家庄市2024届高三教学质量检测（三）数学试卷

石家庄市2024年普通高中学校毕业年级教学质量检测（三）数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，则（）A． B． C．3 D．52．已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知等差数列的前项和为，则（）A．25 B．27 C．30 D．354．已知双曲线的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．5．设是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．某项活动在周一至周五举行五天，现在需要安排甲、乙、丙、丁四位负责人值班，每个人至少值班一天，每天仅需一人值班，已知甲不能值第一天和最后一天，乙要值班两天且这两天必须相邻，则不同安排方法的种数为（）A．24 B．10 C．16 D．127．已知角满足，则（）A． B． C． D．28．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过与交于两点，若，则的值为（）A．1 B． C．2 D．3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（）A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人10．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A．B．的图象关于直线对称C．D．若方程在上有且只有5个根，则11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，则下列说法正确的有（）A．若点为中点，则异面直线与所成角的余弦值为B．若点为线段上的动点（包含端点），则的最小值为C．若点为的中点，则平面与四边形的交线长为D．若点在侧面正方形内（包含边界）且，则点的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．则直方图中实数的值为______．13．给定函数，用表示中的较大者，记．若函数的图像与有3个不同的交点，则实数的取值范围是______．14．已知数列满足：，定义：表示整数除以4的余数与整数除以4的余数相同，例：．设其中，数列的前项和为，则______；满足的最小值为______．（本题第一个空2分，第二个空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在中，角所对的边分别为．（1）若，求的值；（2）求面积的最大值．16．（本小题满分15分）在推动电子制造业高质量发展的大环境下，某企业统筹各类资源，进行了积极的改革探索．下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量（件）与相应的生产总成本（万元）的四组对照数据．57911200298431609企业研究人员建立了与的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下：经验回归方程①：；经验回归方程②：．其中经验回归方程①的残差图如图所示（残差观测值预测值）：（1）在下表中填写经验回归方程②的残差，根据残差分析，判断哪一个经验回归方程更适宜作为关于的回归方程，并说明理由；57911200298431609（2）从该企业在过去几年生产的该产品中随机抽取100件，优等品有60件，合格品有40件．每件优等品利润为20万元，每件合格品利润为15万元．若视频率为概率，该企业某月计划生产12件该产品，记优等品件数为，总利润为．（ⅰ）求与的关系式，并求和；（ⅱ）记该月的成本利润率，在（1）中选择的经验回归方程下，求的估计值．（结果保留2位小数）附：成本利润率．17．（本小题满分15分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若函数，求函数极值点的个数．18．（本小题满分17分）如图，在五棱锥中，平面平面，．（1）证明：平面；（2）若四边形为矩形，且，．当直线与平面所成的角最小时，求三棱锥体积．19．（本小题满分17分）已知椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，直线与交于两点，点在第一象限，点在第四象限且满足直线与直线的斜率之积为．当垂直于轴时，．（1）求的方程；（2）若点为的左顶点且满足，直线与交于，直线与交于．①证明：为定值；②证明：四边形的面积是面积的2倍．

2023－2024年度石家庄市高中毕业年级质量检测（三）数学答案一、选择题：1－4BCAB5－8DDCC二、选择题：9．ABD10．ACD11．BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．13．14．240四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．解：（1），，（2），，，，，，，当且仅当时，等号成立16．解：（1）经验回归方程②的残差数据如下表：579112002984316092021（说明：以上每空1分）经验回归方程②的残差图如图所示：经验回归方程①更适宜作为关于的回归方程．（以下理由或其他合理的理由，说出一条即可得分）：理由1：经验回归方程①这4个样本点的残差的绝对值都比经验回归方程②的小．理由2：经验回归方程①这4个样本的残差点落在的带状区域比经验回归方程②的带状区域更窄．理由3：经验回归方程①这4个样本的残差点比经验回归方程②的残差点更贴近轴．（2）（ⅰ）由题意知，每件产品为优等品的概率则，因此由则（ⅱ）由（ⅰ）知总利润为216万元，总成本估计值（万元）则17．解：（1）当时，当时，单调递增；当时，单调递减．当时，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，在单调递增．（2）时，，设在区间单调递增．因为，所以存在唯一使得，当时，单调递减，即单调递减；当时，单调递增，即单调递增．，且在单调递减，所以，又因此在区间存在唯一零点当时，单调递增；当时，单调递减；所以极值点为，因此极值点个数为218．（1）证明：因为平面平面平面，平面平面所以平面，又平面，所以，又因为，且平面所以平面．（2）以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系设，则，可得与轴夹角为，所以，，，平面的法向量记为由得令，得即，当时，等号成立，此时，直线与平面的所成的角取得最小值，此时19