高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.1.1省公开课一等奖新名师获

第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其简单应用1/682/68主题1:分类加法计数原理某志愿者从杭州奔赴北京参加公益活动,假设天天有4个航班,5列火车.3/681.该志愿者要完成一件事是什么?提醒:从杭州乘火车或飞机奔赴北京参加公益活动.4/682.有几类方案可完成这件事?每类方案又各有几个方法?每种方法是否都能完成这件事?提醒:两类方案,第一类方类:乘飞机,有4种方法;第二类方案:坐火车,有5种方法.每种方案中每种方法都能完成这件事.5/683.该志愿者从杭州到北京共有多少种不一样方法?提醒:共有4+5=9种不一样方法.6/68结论:分类加法计数原理完成一件事有两类不一样方案,在第1类方案中有m种不同方法,在第2类方案中有n种不一样方法,那么完成这件事共有N=____种不一样方法.m+n7/68【微思索】依据分类加法计数原理考虑完成一件事第1类方案与第2类方案中每一个方法有没有重复或遗漏?提醒:每种方法都能够独立地完成这件事,它们之间没有重复或遗漏.8/68主题2:分步乘法计数原理某志愿者从丽水奔赴北京参加公益活动,中间在杭州停留,假设天天从丽水到杭州有3次汽车,从杭州到北京有4个航班.9/681.该志愿者要完成这件事需要几个步骤?提醒:两个,即先坐汽车到杭州,再从杭州乘飞机到北京.2.完成每一步各有几个方法?提醒:第一步(坐汽车):有3种方法,第二步(乘飞机):有4种方法.10/683.该志愿者从丽水到北京共有多少种不一样方法?提醒:共有3×4=12种方法.11/68结论:分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不一样方法,做第2步有n种不一样方法,那么完成这件事共有N=_____种不一样方法.m×n12/68【微思索】1.分步乘法计数原理特征是什么?提醒:分步就是说完成这件事任何一个方法,都要分成若干个步骤,要完成这件事必须且只需连续完成这若干个步骤后,这件事才算完成.13/682.第1步采取不一样方法对第2步方法选取有没有影响?提醒:第1步与第2步相互独立,没有影响.14/68【预习自测】1.从A地到B地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具,假如一天内汽车发3次,火车发4次,轮船发2次,那么一天内乘坐这三种交通工具不一样走法为(

)A.1+1+1=3

B.3+4+2=9C.3×4×2=24 D.以上都不对15/68【解析】选B.乘汽车有3种方法,乘火车有4种方法,坐轮船有2种方法.依据分类加法计数原理,共有3+4+2=9种不一样走法.16/682.某体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到该体育场练习跑步,则他进出门方案有(

)A.12种B.7种C.24种D.49种17/68【解析】选D.该学生从南侧进、南侧出有4×4=16种方案;从北侧进、北侧出有3×3=9种方案;从一侧进另一侧出有2×4×3=24种方案,所以共有16+9+24=49种方案.18/683.(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)展开式中共有(

)A.60项 B.12项C.30项 D.以上都不对19/68【解析】选B.完成这件事需分两步,第一步:从第一个括号中取一字母有3种方法;第二步:从第二个括号中取一字母有4种方法.故共有3×4=12项.20/684.加工某个零件分三道工序,第一道工序有5人能够选择,第二道工序有6人能够选择,第三道工序有4人能够选择,从中选3人每人做一道工序,则选法有________种.21/68【解析】选第一、第二、第三道工序各一人方法数依次为5,6,4,由分步乘法计数原理知,选法总数为N=5×6×4=120.答案:12022/685.现有5幅不一样国画,2幅不一样油画,7幅不一样水彩画.(1)从中任取一幅画布置房间,有几个不一样选法?(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几个不一样选法?(仿照教材P5例3解析过程)23/68【解析】(1)从中任取一幅画,有三类方法:第1类方法是从国画中取一幅有5种不一样方法;第2类方法是从油画中取一幅有2种不一样方法;第3类方法是从水彩画中取一幅有7种不一样方法.所以不一样取法种数是5+2+7=14.24/68(2)从三种画中各取一幅,可分成三个步骤完成:第1步,从国画中取1幅,有5种方法;第2步,从油画中取1幅,有2种方法;第3步,从水彩画中取1幅,有7种方法.所以不一样取法种数是5×2×7=70.25/68类型一分类加法计数原理应用【典例1】(1)(·日照高二检测)如图所表示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落造成断路,则电路不通,现发觉电路不通,则焊接点脱落不一样情况有(

)26/68A.16种 B.15种C.9种 D.8种27/68(2)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x方程ax2+2x+b=0有实数解有序数对(a,b)个数为________.28/68【解题指南】(1)依据题意,可将其分为1个、2个、3个、4个焊接点脱落情形,即分成四类,按照分类加法计数原理求解.(2)分a=0与a≠0两种情况,当a≠0时再借助判别式讨论求解.29/68【解析】(1)选B.按照可能脱落个数可分成四类:第一类:1个焊接点脱落,有4种情况.第二类:2个焊接点脱落,有6种情况.即(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).第三类:3个焊接点脱落,有4种情况.即(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4).30/68第四类:4个焊接点脱落,有1种情况.即(1,2,3,4).所以共有4+6+4+1=15种情况.31/68(2)当a=0时,关于x方程为2x+b=0,此时有序数对(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2)均满足要求;当a≠0时,由Δ=4-4ab≥0,ab≤1,此时满足要求有序数对为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0).综上,满足要求有序数对共有13个.答案:1332/68【延伸探究】1.若将典例1(1)中“图形”改变成“以下列图形”,结果怎样?33/68【解析】按照可能脱落个数可分成四类:第一类:1个焊接点脱落,有2种情况,即1,4.第二类:2个焊接点脱落,有6种情况,即(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(2,4),(3,4).第三类:3个焊接点脱落,有4种情况,即(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4).34/68第四类:4个焊接点脱落,有1种情况,即(1,2,3,4).所以共有2+6+4+1=13种情况.35/682.若将典例1(1)中增加条件“已知焊接点2是正常”,结果怎样?36/68【解析】因为焊接点2正常,所以可能脱落个数可分成三类:第一类:1个焊接点脱落,有3种情况,即1,3,4.第二类:2个焊接点脱落,有3种情况,即(1,3),(1,4),(3,4).第三类:3个焊接点脱落,有1种情况,即(1,3,4).所以共有3+3+1=7种情况.37/68【方法总结】1.应用分类加法计数原了解题步骤38/682.分类加法计数原理推广完成一件事有n类不一样方案,在第1类方案中有m1种不一样方法,在第2类方案中有m2种不一样方法,……,在第n类方案中有mn种不一样方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不一样方法.39/68【赔偿训练】(1)某兴趣小组有男生10名,女生9名,要从中选出一名组长,不一样选法共有(

)A.8种 B.7种C.19种 D.90种40/68(2)书架上层放4本不一样数学书,中层放6本不一样外语书,下层放5本不一样语文书,从中任取1本,不一样取法种数为(

)A.15 B.120 C.3 D.141/68【解析】(1)选C.只要选出一名组长即可,共有N=10+9=19种方法.(2)选A.由分类加法计数原理,共有4+6+5=15种不一样取法.42/68类型二分步乘法计数原理应用【典例2】在平面直角坐标系内,若点P(x,y)横、纵坐标均在{0,1,2,3}内取值.问:(1)点P能够表示平面上多少个不一样点?(2)点P能够表示平面上多少个第一象限点?43/68【解题指南】先确定P点横坐标,再确定其纵坐标,用分步乘法计数原理求解.44/68【解析】(1)确定P坐标分两步第1步:确定横坐标x,从0,1,2,3四个数字中选一个,有4种方法.第2步:确定纵坐标y,从0,1,2,3四个数字中选一个,有4种方法.依据分步乘法计数原理,全部不一样点P个数为:4×4=16(个).45/68(2)第一象限点横坐标,纵坐标都为正数,所以横坐标x从1,2,3三个数中选一个,有3种方法.纵坐标y从1,2,3三个数中选一个,有3种方法,所以第一象限点共有3×3=9(个).46/68【方法总结】1.利用分步乘法计数原了解题步骤47/682.分步乘法计数原理推广完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不一样方法,做第2步有m2种不一样方法,……,做第n步有mn种不一样方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不一样方法.48/68【巩固训练】(·全国卷Ⅱ)如图,小明从街道E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓能够选择最短路径条数为(

)A.24 B.18 C.12 D.949/68【解析】选B.E→F有6种走法,F→G有3种走法,由分歩乘法计数原理知,共6×3=18种走法.50/68【赔偿训练】从集合{1,2,3,…,10}中,选出由5个数组成集合子集,使得这5个数中任何两个数和不等于11,这么子集共有多少个?51/68【解题指南】依据子集定义分析,把握任意两个数和不等于11,能够先寻找和等于11情况,再依据子集思想分析处理.52/68【解析】和为11数共有5组:1与10,2与9,3与8,4与7,5与6,子集中元素不能取自同一组中两数,即子集中元素取自5个组中一个数,而每个数取法有2种,所以子集个数为N=2×2×2×2×2=25=32.53/68类型三两个计数原理综合应用【典例3】(·济宁高二检测)某艺术小组有9人,每人最少会钢琴和小号中一个乐器,其中7人会钢琴,3人会小号,从中选出会钢琴与小号各1人,有多少种不一样选法?54/68【解题指南】先确定既会钢琴又会小号人数,再以既会钢琴又会小号人为依据分类讨论.55/68【解析】由题意可知,在艺术小组9人中,有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手”).只会钢琴有6人,只会小号有2人,把选出会钢琴,小号各1人方法分为两类:56/68第一步:多面手入选,另1人只需从其它8人中任选一个,故这类选法共有8种.第二步:多面手不入选,则选会钢琴者只能从6个只会钢琴人中选出,选会小号者也只能从只会小号2人中选出,故这类选法共有6×2=12(种).所以N=8+6×2=20(种),故共有20种不一样选法.57/68【方法总结】利用两个原理处理计数问题应注意事项(1)在处理详细应用题时,首先必须搞清是“分类”还是“分步”,其次要搞清“分类”或“分步”详细标准是什么.选择合理标准处理事件,能够防止计数重复或遗漏.58/68(2)对于一些比较复杂既要利用分类加法计数原理又要利用分步乘法计数原理问题,我们能够恰当地画出示意图或列出表格,使问题愈加直观、清楚.59/68【巩固训练】现有高一年级四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组.(1)选其中一人为责任人,有多少种不一样选法?(2)每班选一名组长,有多少种不一样选法?(3)推选两人做中心讲话,这两人需来自不一样班级,有多少种不一样选法?60/68【解析】(1)分四类:第一类,从一班学生中选1人,有7种选法;第二类,从二班学生中选1人,有8种选法;第三类,从三班学生中选1人,有9种选法;第四类,从四班学生中选1人,有10种选法,所以,共有不一样选法N=7+8+9+10=34(种).61/68(2)分四步:第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长.所以,共有不一样选法