河南省开封市信阳第四高级中学高三数学理期末试题含解析

河南省开封市信阳第四高级中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.集合＞则下列结论正确的是A.

B.C.

D.参考答案：D，所以，所以，选D.2.设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合N={x|（）x≤4}，则M∪N=(

) A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}参考答案：A考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，根据集合的基本运算即可得到结论．解答： 解：M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合N={x|（）x≤4}={x|x≥﹣2}，则M∪N={x|x≥﹣2}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．3.在平面直角坐标系xOy中，点P为双曲线x2﹣2y2=1的左支上的一个动点，若点P到直线x+y﹣3=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为（） A．1 B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质． 【分析】先求出双曲线的渐近线，结合直线和渐近线平行求出两平行直线的距离即可得到结论． 【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x， 而直线x+y﹣3=0的斜率k=﹣， 即直线x+y﹣3=0与渐近线y=﹣x，即x+y=0平行， 则两条平行直线的距离d==， 若点P到直线x+y﹣3=0的距离大于c恒成立， 则c≤， 即c的最大值为， 故选：B． 【点评】本题主要考查双曲线的性质的应用，求出双曲线以及平行直线的距离是解决本题的关键． 4.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为

A.8B.16

C.32D.64参考答案：C

【知识点】由三视图求面积、体积．G2解析：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r=2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R==2，故外接球的表面积S=4πR2=32π，故选：C【思路点拨】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积．5.一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为

A．

B．

C．

D．

参考答案：B6.已程序框图如图所示，则该程序框图的功能是

（

）

A．求数列的前10项和

B．求数列的前10项和

C．求数列的前11项和

D．求数列的前11项和参考答案：A略7.定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＞0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】由不等式f（x）＞﹣xf′（x）在（0，+∞）上恒成立，得到函数h（x）=xf（x）在x＞0时是增函数，再由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数得到h（x）=xf（x）为偶函数，结合f（0）=f（3）=f（﹣3）=0，作出两个函数y1=xf（x）与y2=﹣lg|x+1|的大致图象，即可得出答案．【解答】解：定义在R的奇函数f（x）满足：f（0）=0=f（3）=f（﹣3），且f（﹣x）=﹣f（x），又x＞0时，f（x）＞﹣xf′（x），即f（x）+xf′（x）＞0，∴[xf（x）]'＞0，函数h（x）=xf（x）在x＞0时是增函数，又h（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x），∴h（x）=xf（x）是偶函数；∴x＜0时，h（x）是减函数，结合函数的定义域为R，且f（0）=f（3）=f（﹣3）=0，可得函数y1=xf（x）与y2=﹣lg|x+1|的大致图象如图所示，∴由图象知，函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为3个．故选：C．8.已知，i为虚数单位，若，则A．

B．

C．3

D．参考答案：D9.设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式+≥m恒成立，则m的最大值为（）A．2 B．4 C．8 D．16参考答案：C【考点】基本不等式．【分析】不等式+≥m恒成立，转化为求+的最小值，可得m的最大值．将分母转化为整数，设y﹣1=b，则y=b+1，令2y﹣1=a，y=（a+1），利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设y﹣1=b，则y=b+1，令2y﹣1=a，y=（a+1），a＞0，b＞0．那么：+==（当且仅当a=b=1即x=2，y=1时取等号．∴+的最小值为8，则m的最大值为8．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用解决恒成立的问题，利用了换元法转化求解，多次使用基本不等式式解决问题的关键，属于中档题．10.设（为虚数单位），则

（）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则

.参考答案：略12.阅读程序框图，若输入，，则输出

；参考答案：13.已知平面向量，的夹角为，||=4，||=2，则|﹣2|=．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件即可求出，且，从而进行数量积的运算便可求出的值，从而便可得出的值．【解答】解：根据条件：；∴=16+16+16=16×3；∴．故答案为：．14.已知函数，则关于x的不等式f(x2)＞f(3－2x)的解集是

．参考答案：15.若，且︰︰，则__________。参考答案：1116.在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则

参考答案：因为∠A:∠B:∠C=1:2:3,则可知A,B,C分别为，根据直角三角形中边的比例关系可知，17.已知，与的夹角为，且，则

；参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知函数f（x）=﹣x2+alnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=4时，记函数g（x）=f（x）+kx，设x1、x2（x1＜x2）是方程g（x）=0的两个根，x0是x1、x2的等差中项，g′（x）为函数g（x）的导函数，求证：g′（x0）＜0．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（2）求出函数g（x）的导数，问题转化为ln＜=，令t=，即t∈（0，1），问题转化为证lnt＜=2﹣，令h（t）=lnt+﹣2，（0＜t＜1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），又f′（x）=﹣2x=﹣，a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数，a＞0时，f′（x）=0，得：x1=或x2=﹣（舍），在（0，）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，在（，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；证明：（2）∵g（x）=4lnx﹣x2+kx，∴g′（x）=﹣2x+k，又x1+x2=2x0，∴，两式相减得：4（lnx1﹣lnx2）﹣（x1+x2）（x1﹣x2）+k（x1﹣x2）=0，∴k=（x1+x2）﹣，由g′（x0）＜0?﹣2x0+k＜0?﹣＜0?ln＜=，令t=，即t∈（0，1），即证lnt＜=2﹣，令h（t）=lnt+﹣2，（0＜t＜1），∴h′（t）=﹣=，当t∈（0，1）时，h′（t）＞0，h（t）是增函数，令h（t）=lnt+﹣2，（0＜t＜1），∴h′（t）=＞0，故t∈（0，1）时，h（t）是增函数，∴h（t）＜h（1）=0，∴lnt＜2﹣成立，故原不等式成立．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．19.（12分）已知数列满足

（1）求

（2）设的通项公式；

（3）求数列的通项公式。参考答案：解析:（1）………………2分证明：………………4分（2）……6分………………8分（3）当时，有…………10分而………………12分20.（文）设函数，其中；（1）若的最小正周期为，求的单调增区间；（7分）（2）若函数的图象的一条对称轴为，求的值．（7分）参考答案：（文）（1）

1分

3分

5分令得，

所以，的单调增区间为：

8分（2）的一条对称轴方程为

10分

12分又，

14分若学生直接这样做：的一条对称轴方程为

则得分为

11分21.某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息解答下列问题：（I）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；（II）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于[70，80）分数段的人数X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】（I）由茎叶图可知，分数在[50，60）上的频数为4人，频率，参赛人数，从而可得结论；（II）确定被抽中的成绩位于[70，80）分数段的学生人数X所有取值，求出相应概率，即可求分布列与期望．【解答】解：（I）由茎叶图可知，分数在[50，60）上的频数为4人，频率为0.008×10=0.08，参赛人数为=50人，分数在[70，80）上的频数等于50﹣（4+14+8+4）=20人．

（II）按分层抽样的原理，三个分数段抽样数之比等于相应频率之比．又[70，80），[80，90）和[90，100]分数段频率之比等于5：2：1，由此可抽出样本中分数在[70，80）的有5人，分数在[80，90）的有2人，分数在[90，100]的有1人．

从中任取3人，共有种不同的结果．

被抽中的成绩位于[70，80）分数段的学生人数X所有取值为0，1，2，3．

它们的概率分别是：P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（x=3）==．∴X的分布列为X0123P∵EX=0×+1×+2×+3×=．【点评】本题考查概率知识的应用，考查概率的计算，考查分布列与期望，正确计算概