浙江省杭州市向阳中学高三数学理期末试卷含解析

浙江省杭州市向阳中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（2009湖南卷文）如图1，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则A．B．C．D．

图1参考答案：解析:得，故选A.

或.2.已知等差数列{an}中，a2=6，a5=15，若bn=a2n，则数列{bn}的前5项和等于（）A．30 B．45 C．90 D．186参考答案：C【考点】等差数列．【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解出a1，d，可得an，进而得到bn，然后利用前n项和公式求解即可．【解答】解：设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得；∴an=3n，∴bn=a2n=6n，且b1=6，公差为6，∴S5=5×6+=90．故选C．3.一个几何体的三视图如下图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的体积是（）A．

B．

C．

D．参考答案：A4.经过圆的圆心且斜率为1的直线方程为

（

）

A．

B．

C.

D．参考答案：A5.设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝（）A．sinx

B．－sinx

C．cosx

D．－cosx参考答案：答案：C6.将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则的值为

(A)

(B)

(C)

(D)(7)参考答案：7.设向量,,则下列结论中正确的是

（

）

A．

B．

C．

D．与垂直参考答案：D8.已知平面向量满足的夹角为60°，若则实数的值为（

）A.1

B.

C.2

D.3参考答案：D因为所以，即，所以，解得，选D.9.已知，满足，点为线段上一动点，若最小值为－3，则的面积（

）A．9

B．

C．18

D．参考答案：D设则所以，所以从而的面积，选D.

10.下列区间中，函数，在其上为增函数的是（A）

(B)(C)

(D)参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知角α的顶点在坐原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为A，则=

（用数值表示）参考答案：12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是__________，若，则AE=__________．参考答案：90°

1长方体ABCD﹣A1B1C1D1中以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，又，，点在棱上移动则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），设E（1，m，0），0≤m≤2，则=（1，m，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），∴?=﹣1+0+1=0，∴直线D1E与A1D所成角的大小是90°．∵=（1，m，﹣1），=（﹣1，2﹣m，0），D1E⊥EC，∴=﹣1+m（2﹣m）+0=0，解得m=1，∴AE=1．故答案为900，1．13.已知数列为等差数列，若，，则

.参考答案：4514.已知数列{an}满足，，则______．参考答案：10000【分析】化简递推关系式，得，可知数列是等比数列，求解即可．【详解】解：数列满足，，可得，可得，数列是等比数列，则.故答案为：10000．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．15.一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体棱长的最大值为

.参考答案：16.若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为

（写出一个即可）．参考答案：17.已知向量则

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆的圆心，半径.（Ⅰ）求圆的极坐标方程；（Ⅱ）若，直线的参数方程为（为参数），直线交圆于两点，求弦长的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）【法一】∵的直角坐标为，∴圆的直角坐标方程为.化为极坐标方程是.【法二】设圆上任意一点，则如图可得，.化简得.．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（Ⅱ）将代入圆的直角坐标方程，得即有.故，∵，∴，即弦长的取值范围是.．．．．．．．．．．．．．．．．．10分略19.（13分）设函数f（x）=aex（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）判断函数F（x）=2f（x）﹣g（x）+2零点个数．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导函数，利用两函数在x=0处有相同的切线，可得2a=b，f（0）=a=g（0）=2，即可求函数f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求导函数，确定函数的单调性，再分类讨论，即可求出函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）F（x）=4ex（x+1）﹣x2﹣4x，求导，确定F（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞）上单调递增，在（﹣2，﹣ln2）上单调递减，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=aex（x+2），g'（x）=2x+b﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由题意，两函数在x=0处有相同的切线．∴f'（0）=2a，g'（0）=b，[来源:学§科§网Z§X§X§K]∴2a=b，f（0）=a=g（0）=2，∴a=2，b=4，∴f（x）=2ex（x+1），g（x）=x2+4x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）f'（x）=2ex（x+2），由f'（x）＞0得x＞﹣2，由f'（x）＜0得x＜﹣2，∴f（x）在（﹣2，+∞）单调递增，在（﹣∞，﹣2）单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵t＞﹣3，∴t+1＞﹣2①当﹣3＜t＜﹣2时，f（x）在[t，﹣2]单调递减，[﹣2，t+1]单调递增，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当t≥﹣2时，f（x）在[t，t+1]单调递增，∴；∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由题意F（x）=4ex（x+1）﹣x2﹣4x求导得F'（x）=4ex（x+1）+4ex﹣2x﹣4=2（x+2）（2ex﹣1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由F'（x）＞0得x＞﹣ln2或x＜﹣2，由F'（x）＜0得﹣2＜x＜﹣ln2∴F（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞）上单调递增，在（﹣2，﹣ln2）上单调递减﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵F（﹣4）=4e﹣4×（﹣4+1）﹣16+16=﹣12e﹣4＜0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故函数F（x）=2f（x）﹣g（x）+2只有一个零点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.（理）正数列的前项和满足：，常数（1）求证：是一个定值；（2）若数列是一个周期数列，求该数列的周期；（3）若数列是一个有理数等差数列，求．参考答案：（理）证明：（1）

（1）

（2）：

（3）

（4）

……………4分（2）计算

……………6分根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：，，，，，。。。。当时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列

……………8分所以时，数列写出数列的前几项：，，，，，。。。。所以当且时，该数列的周期是2，

……………9分当时，该数列的周期是1，

……………10分（3）因为数列是一个有理等差数列，所以

化简，是有理数

……………12分设,是一个完全平方数，设为，均是非负整数时，

……………14分时=可以分解成8组，其中只有符合要求，

……………16分此时

……………18分或者，

……………12分等差数列的前几项：，，，。。。。

……………14分因为数列是一个有理等差数列是一个自然数，

……………16分此时

……………18分如果没有理由，猜想：，解答

得2分

21.近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中a＞0，=600。当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值。（注：，其中为数据的平均数）参考答案：解：（?）由题意可知：。（?）由题意可知：。（?）由题意可知：，因此有当，，时，有．22.(本小题满分13分)如图，AD∥BC且AD=2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG=AD，CD∥FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2.（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；（II）求二面角E–BC-F的正弦值；（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.参考答案：本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．依题意，可以建立以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．（Ⅰ）证明：依题意=（0，2，0），=（2，0，2）．设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量，则即不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又=（1，，1），可得，又因为直线MN平面CD