专题04基本不等式及其运用（考点归纳与八大题型方法总结）

专题04基本不等式及其运用【题型归纳目录】题型一：基本不等式的理解题型二：直接法求最值题型三：常规凑配法求最值题型四：换元求最值题型五：“1”的代换求最值题型六：利用基本不等式求参数题型七：利用基本不等式证明不等式题型八：利用基本不等式解决实际问题【【考点归纳】考点1：基本不等式1．重要不等式：∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2．基本不等式（1）有关概念：当a，b均为正数时，把eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，把eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．（2）不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即，当且仅当a＝b时，等号成立．【注意】①基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件；②连续使用不等式要注意取得一致。（3）其他变形：①(沟通两和与两平方和的不等关系式)②(沟通两积与两平方和的不等关系式)③(沟通两积与两和的不等关系式)④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).3．已知x、y都是正数，（1）若(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值eq\f(S2,4).（3）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．考点2：常见求最值模型模型一：，当且仅当时等号成立；模型二：，当且仅当时等号成立；模型三：，当且仅当时等号成立；模型四：，当且仅当时等号成立.【【题型归纳】题型一：基本不等式的理解【例1】【例1】下列不等式的推导过程正确的是________．①若x＞1，则x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2.②若x＜0，则x＋eq\f(4,x)＝③若a，b∈R，则eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.【答案】②【详解】①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝eq\f(1,x)时即x＝1时，x＋eq\f(1,x)≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋eq\f(1,x)＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．【例2】下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误；对于B选项，成立的条件为，故错误；对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误；对于D选项，由于，故，正确.故选：D【【方法技巧归纳】1．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)的等号成立，即a＝b⇒eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；仅当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)⇒a＝b.【【变式演练】1．下列不等式中正确的是()A．a＋eq\f(4,a)≥4 B．a2＋b2≥4abC.eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2) D．x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)【答案】D【详解】a＜0，则a＋eq\f(4,a)≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；a＝4，b＝16，则eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2)，故C错；由基本不等式可知D项正确．2．（多选）已知、、．若，则（）A． B． C． D．【答案】AC【详解】对于A选项，，，，A选项正确；对于B选项，，，，即，B选项错误；对于C选项，因为，由基本不等式可得，，C选项正确；对于D选项，，，可得，D选项错误.故选：AC.3．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，得到，，在直角中，利用勾股定理，求得，结合，即可求解.【详解】设，可得圆的半径为，又由，在直角中，可得，因为，所以，当且仅当时取等号．故选：D.题型二：直接法求最值【例3】若实数a，b满足，则ab的最大值为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式求解积的最大值.【详解】∵，，∴，即，当且仅当时等号成立，∴．故选：D．【例4】若，则有（）A．最小值 B．最小值C．最大值 D．最大值【答案】B【分析】利用基本不等式可得结论.【详解】因为，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，当时，则有最小值.故选：B.【例5】已知正数、满足，则的最小值是___________.【答案】【分析】利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为、为正数，由基本不等式可得，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.【【方法技巧归纳】利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数的基本性质中学习.【【变式演练】1．已知，，且，则的最大值是（）A．1 B． C．3 D．5【答案】D【分析】结合基本不等式求得的最大值.【详解】依题意，所以，当且仅当时等号成立.故选：D2．已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形面积的最大值是（）A．4 B． C．2 D．【答案】C【分析】由基本不等式可求得结果.【详解】设直角三角形两直角边长分别为，则，所以，直角三角形的面积（当且仅当时取等号）.故直角三角形面积的最大值是2.故选：C.3．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy（）A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为【答案】C【详解】，，且，（1），当且仅当，即，时，取等号，故的最大值是：，故选：．4．已知，，且，则ab的最大值为（）A． B．4 C． D．2【答案】D【详解】，（当且仅当时取等号），解得：，即的最大值为故选5．若，则（）A．有最小值，且最小值为 B．有最大值，且最大值为2C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为【答案】D【解析】,当且仅当取“=”所以故选：D题型三：常规凑配法求最值【例5】函数的最小值是【答案】【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值是.选：D.【例6】已知，则的最大值是【答案】1【详解】，，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为【例7】若，则有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.【详解】因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以当时，有最大值.故选：A【【方法技巧归纳】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．（见常考模型）2．注意验证取得条件．【【变式演练】1．当时，取得最小值时x的值为（）A．0 B． C．3 D．2【答案】D【解析】因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以取得最小值时x的值为2.故选：D.2．若，则函数的最小值为___________.【答案】3【分析】由，及，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，，因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值为3.故答案为：3.3．若，且，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】利用给定条件确定，变形并借助均值不等式求解即得.【详解】因，且，则，即有，同理，由得：，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为.故选：D题型四：换元求最值【例8】已知实数，则的最小值是（）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】用换元法，设，化简后用基本不等式得最小值．【详解】因为，设，则，．当且仅当且即，，时等号成立，故选：D．【例9】函数的最小值是___________.【答案】4【解析】令，则，当且仅当，即时，.所以函数的最小值是4.故答案为：4【【方法技巧归纳】若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是换元，分布运用两个分式的分母为参数，转化为参数的不等关系．1．代换变量，统一变量再处理．2．注意验证取得条件．【【变式演练】1．设，，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，进而将问题转化为已知，求的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；【详解】设，则，条件，所以，即.故选：D.2．若，且，则的最小值为_________【答案】【分析】令，可得，化简可得，再结合基本不等式可求解.【详解】令，则，则，即，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：.题型五：“1”的代换求最值【例10】已知，且，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化简，由，结合基本不等式，求得，进而求得的最大值.【详解】由，可得，又由，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以，即的最大值为.故选：D.【例11】正实数，满足：，则当取最小值时，____.【答案】【解析】，，当且仅当，即时，等号成立．故答案为：．【例12】已知，则的最小值为（

）A．13 B．19 C．21 D．27【答案】D【分析】由基本不等式“1”的妙用求解【详解】由题意得，当且仅当即时等号成立．故选：D【【方法技巧归纳】1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．1．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．2．注意验证取得条件．【【变式演练】1．已知，，且，则的最小值为（）A．4 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】将展开利用基本不等式即可求解.【详解】由，，且得，当且仅当即，时等号成立，的最小值为，故选：B.2．已知，，，则的最小值是______．【答案】16【分析】利用基本不等式求得的最小值.【详解】依题意.当且仅当时等号成立.故答案为：163．已知正数a，b满足，则的最小值为___________.【答案】9【分析】由得，则，展开利用基本不等式可求得最值.【详解】由得，所以，当且仅当，即，时取等号，故的最小值为9.故答案为：94．设，，，则的最小值为______．【答案】#.【分析】两次运用“1”进行整体代换，结合基本不等式，即可得结果.【详解】因为，所以当且仅当时，等号成立，即的最小值为，故答案为：.题型六：利用基本不等式求参数【例13】已知，且，若恒成立，则正实数的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【详解】因为，恒成立，即所以，即，又，所以所以，所以，所以正实数的最小值为2．故选：A．【例14】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，，，当且仅当，即时等号成立，.故选：D.【例15】已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（）A．10 B．12 C．16 D．9【答案】D【分析】利用参变分离的方法将不等式变形为恒成立，再由基本不等式得出代数式的最值，可得选项.【详解】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，转化成求的最小值，，当且仅当时取等所以．故选：D．【【变式演练】1．已知，且，若不等式恒成立，．则m的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】利用基本不等式求的最小值，由此可得m的范围.【详解】∵不等式恒成立∴又，，∴，当且仅当时等号成立，∴，∴，又，∴，故选：A.2．若对有恒成立，则的取值范围是_________【答案】【详解】因为，而恒成立，则，当且仅当x=2y时取得等号那么可知只要小于等于表达式的最小值8即可，故答案为3．若对任意，不等式恒成立，则的最小值是______.【答案】【分析】分离参数，再利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以恒成立.又因为，当且仅当时，等号成立.所以，故答案为：题型七：利用基本不等式证明不等式【例16】已知，，，求证：（1）；（2）.【答案】证明见解析.【解析】证明：（1）因为且，（当且仅当时取等号），即，所以，又，所以；（2）因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以.【例17】（2022·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））已知，．（1）若，证明：；（2）若，证明：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）把所求式转化为，再利用二次函数去求其值域即可；（2）利用均值定理“1”的代换去求的最小值即可.【详解】(1)因为，所以，又，，所以，所以，当时，取得最小值，即取得最小值；当时，，即，所以．(2)由得，

所以，

．

当且仅当，时等号成立．所以【【方法技巧归纳】1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．【【变式演练】1．设，求证：.【答案】证明见解析；【解析】证明：因为，所以，所以.当且仅当，即时，等号成立.故不等式得证.2．已知：、是正实数，求证：.【答案】见解析.【解析】由基本不等式得出，，上述两个不等式当且仅当时，等号成立，由同向不等式的可加性得，即3．（2021·湖南）已知，.（1）求证：；（2）若，，，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1），当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立；（2）由条件有，且，，又，当且仅当，即时等号成立，此时由得，，即证．题型八：利用基本不等式解决实际问题【例18】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是（）A．20 B．25 C．28 D．30【答案】D【分析】根据题意得到总运费与总存储费用之和的表达式，利用基本不等式进行求解即可.【详解】设一年的总运费与总存储费用之和为，显然，则，当且仅当时取等号，即时取等号，故选：D【例19】新冠病毒疫情期间，武汉物资紧缺，一批口罩、食物等救灾物资随辆汽车从某市以km/h的速度匀速直达武汉灾区．已知两地公路线长360km，为安全起见，两辆汽车的间距不得小于km（车长忽略不计），要使这批物资尽快全部到达灾区，则（）A．70km/h B．80km/h C．90km/h D．100km/h【答案】C【分析】由题意可得第一辆汽车到达用，最后一辆汽车到达的时间为，所以要用时最少，只要最小即可，然后利用基本不等式求解即可【详解】第一辆汽车到达用，由题意，每隔到达一辆，则最后一辆汽车到达的时间为，要使这批物资尽快全部到达灾区，即就是最后一辆汽车到达的时间最短，即求最小时汽车的速度，因为，当且仅当，即时等号成立，故选：C．【例20】（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.【分析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.（1）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论；（2）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形面积的最大值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论.【详解】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.（1）由已知得，由，可得，所以，当且仅当时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.由，可得，当且仅当时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.【【方法技巧归纳】1．在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：（1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4）正确写出答案．2．对于函数y＝x＋eq\f(k,x)(k>0)，可以证明0＜x≤eq\r(k)及－eq\r(k)≤x＜0上均为减函数，在x≥eq\r(k)及x≤－eq\r(k)上都是增函数．求此函数的最值时，若所给的范围含±eq\r(k)时，可用基本不等式，不包含±eq\r(k)时，可用函数的单调性求解(第三章函数的基本性质中学习)．【【变式演练】1．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里要购买20g黄金，售货员先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是（）A．大于20g B．小于20g C．等于20g D．无法判断【答案】A【分析】设天平左右臂长分别为，两次放黄金分别为g、g，即有，根据基本不等式即可判断各选项的正误.【详解】令天平左右臂长分别为，第一次放黄金g，第二次放黄金g，∴，即有g，故选：A2．某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为万元，求得关于的表达式，利用基本不等式求出的最小值及其对应的值，即可得出结论.【详解】设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为万元，则年后的设备维护费用为，所以年的平均费用为（万元），当且仅当时，等号成立，因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为.故选：B.3．如果一个直角三角形的斜边长等于，那么这个直角三角形的面积的最大值等于______.【答案】【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为、，利用勾股定理可得出，然后利用重要不等式可求出该直角三角形面积的最大值.【详解】设直角三角形的两条直角边长分别为、，由勾股定理可得，由重要不等式可知，因此，该直角三角形的面积为.当且仅当时取等号，即这个直角三角形面积的最大值等于.故答案为：.4．如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.（1）现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大面积为多少？（2）若使每间虎笼面积为24，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？【答案】（1）当长为，宽为时，面积最大，最大面积为；（2）当长为，宽为时，钢筋网总长最小，最小值为.【分析】（1）求得每间虎笼面积的表达式，结合基本不等式求得最大值.（2）求得钢筋网总长的表达式，结合基本不等式求得最小值.【详解】（1）设长为，宽为，都为正数，每间虎笼面积为，则，则，所以每间虎笼面积的最大值为，当且仅当即时等号成立.（2）设长为，宽为，都为正数，每间虎笼面积为，则钢筋网总长为，所以钢筋网总长最小为，当且仅当等号成立.【【过关检测】一、单选题1．若0<a<b，则下列不等式一定成立的是（）A．b>>a> B．b>>>aC．b>>>a D．b>a>>【答案】C【分析】利用不等式的性质结合基本不等式进行判断【详解】∵0<a<b，∴2b>a+b，∴b>>.∵b>a>0，∴ab>a2，∴>.故b>>>.故选：C2．已知，则的最大值为（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【分析】把所求代数式变形，转化成，再对其中部分以基本不等式求最值即可解决.【详解】时，（当且仅当时等号成立）则，即的最大值为0.故选：C3．若a，b都为正实数且，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由基本不等式，结合题中条件，直接求解，即可得出结果.【详解】因为，都为正实数，，所以，当且仅当，即时，取最大值.故选：D4．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy（

）A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为【答案】C【分析】利用基本不等式的性质进行求解即可．【详解】，，且，（1），当且仅当，即，时，取等号，故的最大值是：，故选：．5．若，则有（

）A．最小值为3 B．最大值为3 C．最小值为 D．最大值为【答案】A【分析】利用基本不等式即得,【详解】∵，∴，∴，当且仅当即时取等号，∴有最小值为3.故选：A.6．已知实数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由恒成立可知，，利用基本不等式求最值即可.【详解】∵不等式恒成立，∴，又，∴当且仅当即时取等号，令，则，，∴当且仅当即时取等号，∴当且仅当时取等号，∴.故选：C.7．若，则的最小值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】利用“乘1法”即得.【详解】因为，所以，∴，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为1.故选：D.8．已知，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】由可得，将整理为，再利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：A二、多选题9．设正实数，满足，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为4C．的最大值为 D．的最小值为【答案】BD【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．【详解】对于选项，正实数，满足，由基本不等式得，当且仅当时取等号，则错误；对于选项，，当且仅当时取等号，则正确；对于选项，，当且仅当时取等号，即，则错误；对于选项，，即，当且仅当时取等号，则正确．故选：．10．（2022·河北张家口·三模）已知，（m是常数），则下列结论正确的是（

）A．若的最小值为，则B．若的最大值为4，则C．若的最大值为m，则D．若，则的最小值为2【答案】BC【分析】根据已知等式，利用基本不等式逐一判断即可.【详解】由已知得，，解得，当时取等号，故A错误；，，当时取等号，故B正确；，，当时取等号，故C正确；对于D，，当时取等号，又，且，所以等号取不到，故D错误，故选：BC.11．已知正数，，则下列不等式中恒成立的是（）A． B．C． D．【答案】AB【详解】对A，，，当且仅当时等号成立，故A正确；对B，，，当且仅当时等号成立，故B正确；对C，，即，故C错误；对D，，，，即，当且仅当时等号成立，故D错误.故选：AB.12．已知，则以下不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】直接利用基本不等式即可判断ACD，由，可得，整理即可判断B.【详解】解：对于A，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，故A错误；对于B，，当且仅当时取等号，所以，即，故B正确；对于C，，当且仅当，即时取等号，故C正确；对于D，，当且仅当且，即时取等号，故D正确.故选：BCD.三、填空题13．若，则的最大值为________【答案】【分析】化简，根据题意结合基本不等式，取得，即可求解.【详解】由题意，实数，且，又由，当且仅当时，即时，等号成立，所以，即的最大值为.故答案为：.14．若，，，则的最小值为___________.【答案】3【分析】利用基本不等式常值代换即可求解.【详解】因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为3，故答案为：315．已知，，且，则的最小值为______．【答案】6【分析】由可知，要使取最小值，只需最小即可，故结合，求出的最小值即可求解.【详解】由，，得（当且仅当时，等号成立），又因，得，即，由，，解得，即，故.因此当时，取最小值6.故答案为：6.16．（2022·重庆·三模）已知，，且，则的最小值为___________.【答案】4【分析】由题得，再利用基本不等式求出的最小值即得解.【详解】解：由题得，所以.(当且仅当时取等)因为，所以的最小值为4.故答案为：4四、简答题17．已知，求的最