专题12(5.2-函数的基本性质)(解析版)

专题12（5.2函数的基本性质）一、单选题1．（2020·上海高一课时练习）对于定义域是的任意奇函数，都有（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据为奇函数，可得，再对四个选项逐一判断即可得正确答案.【详解】∵为奇函数，∴，∴，又，∴，故选：C【点睛】本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于基础题.2．（2020·上海高一课时练习）下列函数中在区间单调递增的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合基本初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】根据二次函数的图象与性质，可得函数在单调递增，不符合题意；由函数，可得函数在上单调递增，不符合题意；由函数，可得函数在上单调递增，所以在区间单调递增，符合题意；由函数，则满足，解得，即函数的定义域为，结合幂函数的性质，可得函数在上单调递减，不符合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性的判定，其中解答中熟记基本初等函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．（2017·上海徐汇·南洋中学高一月考）已知定义在上的偶函数，对任意不相等的，有，当时，有（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知不等式得函数在上的单调性，再由偶函数性质得在上的单调性，结合偶函数性质得距离轴越远的自变量的函数值越小，从而可得结论．【详解】由题意，函数在区间上单调递增，函数图象关于轴对称，所以函数在上单调递减；又，，距离轴越远的自变量的函数值越小，则，故选：C.【点睛】本题考查的奇偶性与单调性，利用奇偶性性质得函数在关于轴对称区间上的单调性，从而可比较函数值大小．4．（2019·宝山·上海交大附中高一期中）已知函数为偶函数，则下列关系一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】函数为偶函数，可得函数的图像关于对称，在四个选项中选择能表示函数的图像关于对称的，得到答案.【详解】函数为偶函数，可得的图像向左平移个单位后关于轴对称，所以的图像关于对称，在所给四个选项中，只有选项B.也表示的图像关于对称，故选B.【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性，属于简单题.5．（2018·上海杨浦·复旦附中高一期末）函数在闭区间上有最大值3，最小值为2，的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【分析】本题利用数形结合法解决，作出函数的图象，如图所示，当时，最小，最小值是2，当时，，欲使函数在闭区间，上的上有最大值3，最小值2，则实数的取值范围要大于等于1而小于等于2即可．【详解】解：作出函数的图象，如图所示，当时，最小，最小值是2，当时，，函数在闭区间，上上有最大值3，最小值2，则实数的取值范围是，．故选：．【点睛】本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．6．（2018·上海市敬业中学高一期末）关于函数的下列判断，其中正确的是（）A．函数的图像是轴对称图形 B．函数的图像是中心对称图形C．函数有最大值 D．当时，是减函数【答案】A【分析】判断函数为偶函数得到A正确，B错误，取特殊值，排除C和D得到答案.【详解】定义域为：，函数为偶函数，故A正确，B错误当且时，，C错误，不满足是减函数，D错误故选A【点睛】本题考查了函数的性质，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.7．（2019·上海宝山·高一期末）设函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分析可得函数的解析式，作出函数图象，结合不等式和二次函数的性质以及函数图象中的递减区间，分析可得答案.【详解】根据题意，设，则，所以，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，即时，当时，，则的图象如图：在区间上为减函数，若，即，又由，且，必有时，，解得，因此不等式的解集是，故选C.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性求出函数的解析式，根据图象解不等式是本题的关键，属于难题.8．（2019·上海虹口·高一期末）一次函数，在[﹣2，3]上的最大值是，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的最值和函数单调性的关系即可求出a的范围.【详解】因为一次函数，在[﹣2，3]上的最大值是，则函数f（x）在[﹣2，3]上为减函数，则3a﹣2＜0，解得，故选D．【点睛】本题考查了一次函数的单调性和最值的关系，考查了转化与化归思想，属于基础题.9．（2019·上海外国语大学附属大境中学高一期末）下列函数在上是增函数的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知的函数模型，得到AB的正误，再由，当x值变大时，y值变小，得到D的单调性；C选项通过换元得到熟悉的对勾函数的模型，根据内外层函数的单调性得到结果.【详解】函数在上是减函数，在上是减函数，，设t=x+1,故得到在上单调增，内层也是增函数，故函数在上是增函数；在上是减函数.故答案为C.【点睛】这个题目考查了函数单调性的判断，判断函数的单调性，方法一：可以由定义证明单调性，方法二，可根据熟悉的函数模型得到函数的单调性；方法三，可根据函数的性质，例如增函数加增函数还是增函数，减函数加减函数还是减函数来判断．二、填空题10．（2020·上海高一课时练习）如图所示，已知奇函数在y轴右边部分的图像，则的解集为_________．【答案】【分析】根据奇函数的图象关于原点对称，画出在y轴左边部分的图像，即得的解集.【详解】由是奇函数，其图象关于原点对称，根据在y轴右边部分的图像，画出在y轴左边部分的图像，如图所示则的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于基础题.11．（2020·上海高一课时练习）已知下列各命题：①若在定义域内存在使得成立，则函数是增函数；②函数在其定义域内是减函数；③函数在其定义域内是增函数.其中是真命题的是___________（填写序号）.【答案】②【分析】由函数单调性的定义可判断①，由一次函数的单调性可判断②，由反比例函数的性质可判断③，即可得解.【详解】对于①，由函数单调性的定义可知，若在定义域内任意的，均有成立，则函数是增函数，故①错误；对于②，由一次函数的单调性可知函数在其定义域内是减函数，故②正确；对于③，函数的单调递减区间为，，故③错误.故答案为：②.【点睛】本题考查了函数单调性定义的应用，考查了常见函数单调性的判断，属于基础题.12．（2020·上海市大同中学）已知函数的定义域为，则下列命题中：①若是偶函数，则函数的图象关于直线对称；②若，则函数的图象关于原点对称；③函数与函数的图象关于直线对称；④函数与函数的图象关于直线对称.其中正确的命题序号是________.【答案】④【分析】结合函数图象的平移变换规律，及函数图象的对称性，对四个命题逐个分析，可得出答案.【详解】对于①，函数的图象向左平移2个单位，得到函数的图象，因为是偶函数，其图象关于对称，所以的图象关于对称，故①错误；对于②，由，可得，则，所以，即函数是周期函数，周期为8，不能得出的图象关于原点对称，故②错误；对于③，的图象向左平移2个单位，得到的图象，的图象向右平移2个单位，得到的图象.因为函数和的图象关于对称，所以函数与函数的图象关于对称，故③错误；对于④，的图象向右平移2个单位，得到的图象，的图象向右平移2个单位，得到的图象.因为函数和的图象关于对称，所以函数与函数的图象关于对称，故④正确.故答案为：④.【点睛】本题考查函数图象的平移变换规律，及函数图象的对称性，考查学生的推理能力，属于中档题.13．（2020·上海市大同中学）已知是奇函数，且，若，则___.【答案】-1【分析】由题意，可先由函数是奇函数求出，再将其代入求值即可得到答案【详解】由题意，是奇函数，且（1），所以（1）解得所以故答案为：．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的方程，基本题型．14．（2019·上海浦东新·华师大二附中高一月考）已知，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】通过分类讨论分析得到恒成立，再求函数，的最值得解.【详解】（1）当时，，；当时，，所以在R上，，因为在R上，函数单调递增，恒成立，（2）记，，.故答案为【点睛】本题主要考查函数的单调性和应用，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．（2018·上海市第八中学高一月考）函数的单调递增区间为________．【答案】【分析】求出函数的定义域，然后利用复合函数法可求出函数的单调递增区间.【详解】令，解得或，函数的定义域为.内层函数的减区间为，增区间为.外层函数在上为增函数，由复合函数法可知，函数的单调递增区间为.故答案为.【点睛】本题考查函数单调区间的求解，常用的方法有复合函数法、图象法，另外在求单调区间时，首先应求函数的定义域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16．（2018·上海市七宝中学高一月考）若幂函数是奇函数，则实数的最小值是__________【答案】1【分析】由幂函数是奇函数，得到是奇数，再由，能求出实数的最小值．【详解】幂函数是奇函数，是奇数，，实数的最小值是1．故答案为1．【点睛】本题考查幂函数的定义、奇偶性，考查运算求解能力，是基础题．17．（上海普陀·曹杨二中高一期中）定义在上的奇函数在上的图像如图所示，则不等式的解集是______.【答案】【分析】解不等式组得解.【详解】因为函数f(x)是奇函数，所以函数的图像为因为，所以函数的第二、四象限的图像满足题意，所以x＞2或x＜-2.所以不等式的解集为.故答案为【点睛】本题主要考查奇函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．（2020·徐汇·上海中学高一期末）已知函数，，对任意的，存在，使得恒成立，则的取值范围为__________.【答案】【分析】对任意的，存在，使得恒成立，等价于在区间上恒成立，对的取值进行分类讨论，利用单调性求出和，列出关于的不等式组求得答案.【详解】当时，在区间上单调递减，，在区间上单调递增，，所以，解得，因为，所以无解；当时，可知，当时，在区间上单调递增，其最小值为，所以有，无解，当时，在区间上单调减，在上单调增，其最小值为，所以有，解得，所以的取值范围是，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有根据题意将恒成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目.19．（2019·徐汇·上海中学高一期末）若函数（且）满足：对任意，，当时，，则a的取值范围为______．【答案】【分析】确定函数为单调减函数，利用复合函数的单调性：知道且真数恒大于0，求得的取值范围．【详解】解：令在对称轴左边递减，当时，对任意的，当时，，即故应有又因为在真数位置上所以须有综上得故答案为【点睛】本题考查了复合函数的单调性．复合函数的单调性的遵循原则是单调性相同复合函数为增函数，单调性相反复合函数为减函数．20．（2019·上海市高桥中学高一期末）设，若函数是偶函数，则的单调递增区间是_________.【答案】【分析】由，化简得所以，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数是偶函数，所以，即，所以，可得，所以函数的解析式为，根据幂函数的性质，可得函数的单调递增区间为．故答案为.【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，根据多项式相等求得的值，再根据幂函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、解答题21．（2019·上海市曹杨中学高一期末）已知函数在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值．【答案】或．【分析】将f（x）转化为顶点式，求得对称轴，讨论区间和对称轴的关系，结合函数单调性，得最小值所对应方程，解方程可得a的值【详解】函数的表达式可化为．①当，即时，有最小值，依题意应有，解得，这个值与相矛盾．②当，即时，是最小值，依题意应有，解得，又∵，∴．③当，即时，是最小值，依题意应有，解得，又∵，∴综上所述，或．【点睛】本题考查了二次函数求最值，解题中要注意对称轴和区间的关系，考查分类讨论的思想方法和运算能力.22．（2017·上海徐汇·南洋中学高一月考）已知函数对于任意的都有，当时，则且（1）判断的奇偶性；（2）求在上的最大值；（3）解关于的不等式.【答案】(1)函数f(x)为奇函数．(2)6.(3)见解析.分析：（1）取x=y=0可得f（0）=0；再取y=﹣x代入即可；（2）先判断函数的单调性，再求函数的最值；（3）由于f（x）为奇函数，整理原式得f（ax2）+f（﹣2x）＜f（ax）+f（﹣2）；即f（ax2﹣2x）＜f（ax﹣2）；再由函数的单调性可得ax2﹣2x＞ax﹣2，从而求解．详解：（1）取x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）；则f（0）=0；取y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），∴f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R恒成立∴f（x）为奇函数；（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则x2﹣x1＞0；∴f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0；∴f（x2）＜﹣f（﹣x1），又∵f（x）为奇函数∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数；∴对任意x∈[﹣3，3]，恒有f（x）≤f（﹣3）而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=﹣2×3=﹣6；∴f（﹣3）=﹣f（3）=6；∴f（x）在[﹣3，3]上的最大值为6；（3）∵f（x）为奇函数，∴整理原式得f（ax2）+f（﹣2x）＜f（ax）+f（﹣2）；即f（ax2﹣2x）＜f（ax﹣2）；而f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴ax2﹣2x＞ax﹣2；∴（ax﹣2）（x﹣1）＞0．∴当a=0时，x∈（﹣∞，1）；当a=2时，x∈{x|x≠1且x∈R}；当a＜0时，；当0＜a＜2时，当a＞2时，．点睛：根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成后再利用单调性和定义域列不等式组.23．（2020·浦东新·上海师大附中高一期中）已知函数.(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)若对于任意的恒成立，求满足条件的实数m的最小值M.(3)对于(2)中的M，正数a，b满足，证明:.【答案】(1)当时，为偶函数,当时，既不是奇函数也不是偶函数，理由见解析；(2)2；(3)证明见解析.【分析】(1)对分类讨论,结合奇偶性的定义进行判断可得;(2)将不等式转化为对任意的都成立,再构造函数,利用单调性求出最大值即可得到答案;(3)由(2)知,所以,再根据变形可证.【详解】(1)(i)当m=1时，，,因为,所以为偶函数；(ii)当时,,,,,所以既不是奇函数也不是偶函数.(2)对于任意的,即恒成立，所以对任意的都成立,设,则为上的递减函数,所以时,取得最大值1,所以,即.所以.(3)证明:由(2)知,，所以,,，当且仅当时取等号，①又，当且仅当时取等号，②由①②得，,所以,【点睛】本题考查了函数奇偶性的讨论,不等式恒成立问题,不等式的证明问题,属于中档题.24．（2017·上海市七宝中学高一期中）已知函数.（1）若函数是上的偶函数，求实数的值；（2）若，求函数的零点．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意得，即，根据函数解析式整理可得，故得．（2）当时得到函数的解析式，然后根据指数与对数的关系可得，整理得，求得，于是可得．【详解】（1）∵是上的偶函数，∴，即，∴，整理得，∴，∴．（2）当时，令，可得，∴整理得，解得或（舍去）∴．【点睛】本题考查函数的性质及函数与方程的关系，考查计算能力和转化能力，解题的关键是根据相关概念及所求将问题进行转化，逐步达到求解的目的．另外，由于题目中涉及到大量的计算，所以在求解过程中要注意运算的准确性，合理进行指数和对数间的转化．25．（2019·上海市建平中学高一期末）已知是定义在上的奇函数.（1）求实数的值；（2）求证：在上是单调递减函数；（3）若，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）根据奇函数性质得，代入求实数的值；（2）根据单调性定义证明；（3）根据单调性与奇偶性化简不等式，再解一元二次不等式得结果.【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以当时所以；（2）设为上任意两数，且所以因为，所以即在上是单调递减函数；（3）因为是定义在上的奇函数，且在上是单调递减函数；所以，【点睛】本题考查奇偶性、单调性证明、利用单调性解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.26．（2019·上海市第八中学高一期末）已知函数f（x）＝，x∈[1，＋∞)．（1）当a＝时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，＋∞)，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）(－3，＋∞).【分析】（1），利用作差法判断[1，＋∞)上的单调性，即可求得；（2）f（x）＞0恒成立，等价于f（x）的最小值大于零，令y＝x2＋2x＋a，求y的最小值即可.【详解】（1）当a＝时，，设1≤x1＜x2，则，∵1≤x1＜x2，∴2x1x2＞2，2x1x2-1>0，>0，∴，∴f（x）在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f（x）在区间[1，＋∞)上的最小值为f（1）＝，（2）在区间[1，＋∞)上f（x）＞0恒成立⇔x2＋2x＋a＞0恒成立，设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数，∴当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，函数f（x）＞0恒成立，故a＞－3，实数a的取值范围为(－3，＋∞)．【点晴】（1）判断函数单调性的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）四则运算法；（4）复合函数法；（5）导数法；此题也可以利用对勾函数的图像解决；（2）恒成立等价于.27．（2020·上海市控江中学高一期末）已知函数，的定义域分别为，若存在常数，满足：①对任意，恒有，且.②对任意，关于的不等式组恒有解，则称为的一个“型函数”.(1)设函数和，求证：为的一个“型函数”；(2)设常数，函数，.若为的一个“型函数”，求的取值范围；(3)设函数.问：是否存在常数，使得函数为的一个“型函数”？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）由，恒成立，①成立，根据解析式，为不等式组的一个解，得②成立，即可证明结论；（2）为的一个“型函数”，满足①对任意，求出的范围，②对任意，关于的不等式组恒有解，转化为求函数的最值，可求出的范围，即可求解；（3）由为的一个“型函数”，与（2）同理，将同时满足①②条件的参数求出，即可求解.【详解】（1）①，当，任意，且，②，，因为，为不等式的一个解，所以为的一个“型函数”；（2）①对任意，，；②对任意，关于的不等式组恒有解，，即，因为关于的不等式组恒有解，所以，恒成立，；综上，；（3）①对任意对任意，，；②对任意，关于的不等式组恒有解，，考虑，令，则，由于在时，单调递增，或（舍去），由，记方程的根为，若，则，即为不等式组的一个解，若，取且，，综上，.【点睛】本题考查函数新定义问题，要充分理解题意，考查不等式恒成立和能成立问题，熟练利用二次函数求最值是解题的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解决问题的能力，属于难题.28．（2019·上海宝山·高一期末）对于三个实数、、，若成立，则称、具有“性质”.（1）试问：①，0是否具有“性质2”；②（），0是否具有“性质4”；（2）若存在及，使得成立，且，1具有“性质2”，求实数的取值范围；（3）设，，，为2019个互不相同的实数，点（）均不在函数的图象上，是否存在，且，使得、具有“性质2018”，请说明理由.【答案】（1）①具有“性质2”，②不具有“性质4”；（2）；（3）存在.【分析】（1）①根据题意需要判断的真假即可②根据题意判断是否成立即可得出结论；（2）根据具有性质2可求出的范围，由存在性问题成立转化为，根据函数的性质求最值即可