第五节极限的运算法则

微积分讲义设计制作5/11/2024§2.5极限的运算法则变量极限的四则运算法则5/11/2024【定理2.8】在某一变化过程中，则

证总有那么一个时刻，刻以后，也总有那么一个时刻，第二章极限与连续在那个时恒有在那个时刻以后，恒有中较晚的那个时刻以后，在两时刻两式同时成立，即若5/11/2024所以证毕。

推论两个无穷小量的代数和仍为无穷第二章极限与连续小量。到有限个，说明定理和推论中的“两个”都可以推广但不能推广到无穷个。5/11/2024【定理2.9】在某一变化过程中，则

证利用变量极限与无穷小量的关系其中其中均为无穷小量，第二章极限与连续若小量（为什么？），则和仍为无穷证毕。所以5/11/2024

推论1两个无穷小量的乘积仍为无穷

推论2（为常数）

推论3若是正整数，则说明定理和推论中的“两个”都可以推广第二章极限与连续小量。到有限个，但不能推广到无穷个。5/11/2024【定理2.10】在某一变化过程中，则（证明略）

说明在应用极限运算法则时，第二章极限与连续若个变量的极限必须存在。要求每一5/11/2024设为多项式，则多项式的极限例1计算

解第二章极限与连续5/11/2024例2计算

解因为所以

有理分式的极限设，且，则第二章极限与连续5/11/2024例3计算

解因为，利用无穷小量与无穷大量之间的关系先求则设，且则第二章极限与连续的运算法则。不能直接用极限5/11/2024

解由于分子和分母的极限不存在，将分子和分母同除以未知数的最高次幂例4计算第二章极限与连续直接应用极限的运算法则。不能5/11/2024例5计算

解方法同例4。例6计算

解方法同例4。第二章极限与连续5/11/2024

当时，有理分式的极限

说明以后计算极限时可直接应用。第二章极限与连续5/11/2024例7计算

解因为分子和分母的极限都为0，由极限的定义，约去极限为0的公因子第二章极限与连续直接应用极限的运算法则。不能消去的因子。时，，分解因式5/11/2024例8计算

解因为分子和分母的极限都为０，将分子有理化将分子或分母有理化，再约去公因子第二章极限与连续直接应用极限的运算法则。不能5/11/2024例9计算

解因为两个分式的极限都不存在，先通分先通分，再约去公因子第二章极限与连续不能直接应用极限的运算法则。5/11/2024例10已知计算

解即第二章极限与连续分段函数分点处的极限利用充要条件计算5/11/2024内容小结1.极限的运算法则2.利用运算法则求极限作业P9111---21------几种特殊形式函数的极限第二章极限与连续5/11/2024备用题

1.若存在，不存在，是否存在，为什么？

解不存在。若存在，由极限的运算法则知，

思考本题条件改成和都不存在，第二章极限与连续问存在，矛盾。结论又如何？5/11/2024

2.计算

解所以

思考下列做法是否正确，为什么？第二章极限与连续5/11/2024

3.若求的值。

解由于分式的极限存在，即将其代入已知极限中得第二章极限与连续为0，而分母的极限则分子的极限必为0。5/11/2024

4.计算

解这是无穷个无穷小量的和，第二章极限与连续运算法则。不能用5/11/2024

5.设，（1979）

解第二章极限与连续求5/11/2024

6.设函数，（1999）

解第