行列式的性质行列式展开

行列式的性质行列式展开一、行列式的性质2、性质1

行列式与它的转置行列式相等.行列式称为行列式的转置行列式.1、记第2页,共58页，2024年2月25日，星期天例如：对这个行列式进行转置第3页,共58页，2024年2月25日，星期天3、性质2

互换行列式的两行(列),行列式变号.互换行列式的二、三行例4、推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有第4页,共58页，2024年2月25日，星期天5、性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.即行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．第5页,共58页，2024年2月25日，星期天6、性质4

行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式为零．证明第6页,共58页，2024年2月25日，星期天7、性质5

若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如第7页,共58页，2024年2月25日，星期天8、性质6

把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如第8页,共58页，2024年2月25日，星期天例2.1二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为三角形行列式，从而算得行列式的值．

方法二：三角形法第9页,共58页，2024年2月25日，星期天解第10页,共58页，2024年2月25日，星期天第11页,共58页，2024年2月25日，星期天第12页,共58页，2024年2月25日，星期天第13页,共58页，2024年2月25日，星期天第14页,共58页，2024年2月25日，星期天例2.2

计算n阶行列式解:将第都加到第一列得技巧1：行和相同，全部加到某一列第15页,共58页，2024年2月25日，星期天技巧2:相同元素很多，化0（或者化为三角形）.第16页,共58页，2024年2月25日，星期天例2.3计算第17页,共58页，2024年2月25日，星期天解第18页,共58页，2024年2月25日，星期天提取第一列的公因子，得第19页,共58页，2024年2月25日，星期天第20页,共58页，2024年2月25日，星期天

评注本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式．化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的．第21页,共58页，2024年2月25日，星期天(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).

计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．三、小结行列式的6个性质第22页,共58页，2024年2月25日，星期天§1.4行列式按行(列)展开一、余子式与代数余子式二、行列式按行(列)展开法则三、关于代数余子式的重要性质四、行列式的计算方法小结五、思考与练习题第23页,共58页，2024年2月25日，星期天例如一、余子式与代数余子式第24页,共58页，2024年2月25日，星期天在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如第25页,共58页，2024年2月25日，星期天第26页,共58页，2024年2月25日，星期天引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如第27页,共58页，2024年2月25日，星期天性质３行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即证二、行列式按行（列）展开法则第28页,共58页，2024年2月25日，星期天第29页,共58页，2024年2月25日，星期天例3.1方法三：用降阶法第30页,共58页，2024年2月25日，星期天第31页,共58页，2024年2月25日，星期天例3.2计算解第32页,共58页，2024年2月25日，星期天第33页,共58页，2024年2月25日，星期天第34页,共58页，2024年2月25日，星期天第35页,共58页，2024年2月25日，星期天

评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用．第36页,共58页，2024年2月25日，星期天方法四:用数学归纳法例4.1证明第37页,共58页，2024年2月25日，星期天证对阶数n用数学归纳法第38页,共58页，2024年2月25日，星期天第39页,共58页，2024年2月25日，星期天评注第40页,共58页，2024年2月25日，星期天

证用数学归纳法例4.2证明范德蒙(Vandermonde)行列式数学归纳法第41页,共58页，2024年2月25日，星期天第42页,共58页，2024年2月25日，星期天n-1阶范德蒙行列式第43页,共58页，2024年2月25日，星期天推论

行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即第44页,共58页，2024年2月25日，星期天三、关于代数余子式的重要性质第45页,共58页，2024年2月25日，星期天方法五:利用范德蒙行列式计算例5计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。第46页,共58页，2024年2月25日，星期天解第47页,共58页，2024年2月25日，星期天上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知第48页,共58页，2024年2月25日，星期天

评注本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式．第49页,共58页，2024年2月25日，星期天例6

计算

阶行列式解：先将

添上一行一列，变成下面的

阶行列式方法六：加边法第50页,共58页，2024年2月25日，星期天显然,将的第一行乘以

后加到其余各行，得注意：此为爪形行列式，记住解此行列式的方法。因,将第列的倍加到第一列,得第51页,共58页，2024年2月25日，星期天注：此题也可不加边，直接利用倍加及爪形行列式方法第52页,共58页，2024年2月25日，星期天例7证明:第53页,共58页，2024年2月25日，星期天证明:第54页,共58页，2024年2月25日，星期天第55页,共58页，2024年2月25日，星期天

四、行列式的计算方法小结(3)降阶法(参见例3.1，例3.2)(最常用)(2)三角形法(参见例2.1，例2.2)

利用行列式的运算性质运算把行列式化为上（下）三角形行列式，从而算得行列式的值．(4)数学归纳法(参见例4.1,例4.2)(5)利用范德蒙行列式(参见例5)(6)加边法(参见例6)(7)递推法(参见课本例1.17)(1)用行列式的逆序数定义计算（证明）