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清华大学微积分(高等数学)课件第18讲定积分(三)一、定积分的换元积分法定理1:(定积分的换元积分法)5/11/20243[证](1)5/11/20244为什麽?定积分与积分变量所用字母无关！［例如］:从而由换元公式，得5/11/20245[例2][例3][解][解]5/11/20246[证]（1）（2）（3）证(1)+(3)=05/11/20247所以例如5/11/20248二、定积分的分部积分法定理2:(定积分的分部积分法)5/11/20249[证]利用牛顿—莱布尼兹公式5/11/202410即5/11/202411[解]5/11/202412[解]5/11/202413[解]5/11/2024145/11/2024155/11/202416三、综合例题[证明]两边积分[例1]5/11/202417几何解释：即5/11/202418柯西-许瓦兹不等式[证]两边积分关于t的二次三项式的判别式即5/11/202419分析：右边是一次积分，左边是两次积分，左边算出一次。5/11/202420可以应用定积分计算的量有如下特点:1、微元分析法四、定积分应用5/11/202421关键是部分量的近似5/11/202422微分近似微元分析法5/11/2024232、几何应用（一）平面图形的面积1.直角坐标系下平面图形面积的计算根据定积分的定义和几何意义知5/11/202424面积微元5/11/202425[解]5/11/2024265/11/202427[解]5/11/202428面积微元2.极坐标系下平面图形面积的计算5/11/202429[解]5/11/202430

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