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文档简介

矩阵对角化方法数值求解薛定谔方程这里我们只讨论不含时的薛定谔方程，其本质就是求解这样一个本征值问题Hψ=εψ,(其中H是哈密顿算符,波函数ψ是本征矢量，对应的本征值ε是能量。哈密顿算符是动能算符T和势能算符V之和，因此由(1)式可以写为T+Vψ=εψ,动能算符还可以写为T=−为了简化计算，在后面的计算和编程中我们可能会用到自然单位ℏ=（一）哈密顿量的矩阵对角化采用自然单位后，由式(2)可以写为−∇2在这里我们用有限差分法去表示二阶导数算子[5]，首先我们考虑下述方程∂2u∂我们用离散点集对应的值来表示函数u(x,y)xyl=y0其中我们令步长∆x=∆y=∆。然后，我们用uj,l表示u(xj,uj+1,l或者等价地uj+1,l 为了把这个线性方程组写成矩阵形式我们需要把u写成一个向量，我们通过下式将二维格点用一维序列进行编号i≡jL+1+l,j=0,1,…,J,l=0,1,…,L.因此由式(8)可以变为ui+L+1+u这个方程仅适用于内部点j=1,2,…,J−1;l=1,2,…,L−1。 对于边界上的点j=0j=Jl=0l=Li.e.,i=L,L+1+L,…,JL+1+L,u或其导数已经确定。这样如图3所示我们就可以用矩阵来描述这个线性方程组。图3二阶导数算子的矩阵表示[5] 因此对于式(4)，当我们在一个L×L的有限格点中表示各个算符，ψ是一个L×1的矢量，T=−∇2和（二）求解二维谐振子势对于二维谐振子势Vx,y这一势场很容易用矩阵表示，之后可以用python自带的算法求解本征方程，解出的本征值与二维谐振子势的解析解ε=1进行比较（此处代码见附录A），并标注其对应的ωx和ωyωω数值解解析解误差0.1114350.0549080.083160.083170.01009%0.0457820.1166480.081210.081220.00922%0.0362960.0701720.053230.053230.00360%0.1151150.0636870.089390.089400.01489%0.0676970.1180790.092870.092890.01534%0.1569220.0291990.093040.093060.01948%0.0769490.0850480.080990.081000.01238%0.0627390.0850920.073910.073920.01163%表1二维谐振子势的数值解和解析解的误差 上表表明用矩阵对角化方法数值求解的结果具有较高的精度。虽然我们还未涉及利用机器学习理论去数值求解方程，但这一部分是后续生成数据集的基础。因为利用卷积神经网络去求解方程并不是一项独立的工作，在神经网络可以实现求解之前，我们必须经过一定量的训练使得神经网络有能力去求解参数随机的势场。虽然原则上如果我们希望机器学习解方程的结果尽可能准确，我们应该采用不同参数下的解析解和尽可能多的数据点，但考虑到可能并不是所有势场都能写出解析解的形式，因此选用某种数值方法得出的

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