【数学】直线与平面平行课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.5.2直线与平面平行第八章立体几何初步1、判断直线与直线平行的方法有哪些？2、直线与平面的位置关系有哪些？直线在平面内直线在平面外直线与平面平行：直线与平面相交：有且只有一个公共点；没有公共点；：有无数个公共点①内错角相等/同位角相等/同旁内角互补.②平行四边形的对边、梯形的上下底、三角形的中位线、棱柱的侧棱平行…③相似线段成比例④平行线的传递性一.直线与平面平行的判定定理思考：怎样判定直线与平面平行呢？探究1：门扇的两边是平行的.当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点.但是，直线和平面是无限延伸的，如何保证直线与平面没有公共点呢？无论门扇转动到什么位置，因为转动的一边与固定的一边总是平行的，所以它与墙面是平行的；1.文字语言：

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。2.图形语言：3.符号语言：abα三者缺一不可！直线与平面平行的判定定理判断下列命题是否正确。（1）（2）×××（3）.Aaab(2)

结论：证明直线与平面平行，三个条件必须具备，才能得到线面平行的结论．αab(3)直线与平面平行的判定定理练习1A.若//平面，则平行于内的任何直线；C.若与平面内的无数条直线平行，则//平面；B.若直线在平面外，则//平面；D.若直线∥b，b⊂，那么直线就平行于平面内的无数条直线下列说法正确的是(

)D练习2练习3例1求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.已知：空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点.求证：EF//平面BCD.BCADEF证明：今后要证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条与此直线平行的直线就可以了.(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则下列说法中正确的是A.OM∥PD

B.OM∥平面PCDC.OM∥平面PDA

D.OM∥平面PBA所以O为BD的中点.在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又PD⊂平面PCD，且PD⊂平面PDA，OM⊄平面PCD，且OM⊄平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA相交.√因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，√√练习4

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由.解：BD1//平面AEC.理由如下：连接BD，交AC于点O，连接EO.∵点E是DD1的中点，∴BD1//EO，∴BD1//平面AEC.又BD1

平面AEC，BD1⊂平面AEC，o练习5∵四边形ABCD是正方形∴O是DB的中点

例2如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN∥平面PADG证明：

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.证明:

连接BC1，在△BCC1中，∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，∴EF∥平面AD1G.练习6

将棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥D1－ACD后得到如图所示的几何体，O为A1C1的中点.求证：OB∥平面ACD1.如图，取AC的中点M，连接MO，BM，D1M，B1D1.已知O为A1C1的中点，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，O分别为所在平面的中心，则BM=OD1，∴四边形MBOD1为平行四边形，∴OB∥MD1.∵MD1⊂平面ACD1，OB⊄平面ACD1，∴OB∥平面ACD1.练习7G

★练习：三棱柱ABC-A1B1C1中，M,N分别是BC和A1B1的中点，求证：MN//平面AA1C1C.追问2什么条件下，α内的直线与a平行呢？问题根据前述判定定理，我们已经研究了直线与平面平行的充分条件．下面我们将研究已知直线与平面平行，可以得到什么结论．追问1

若直线a与平面α平行，则a与α内的任意一条直线是什么位置关系？abαabαa与b平行a与b异面二.直线与平面平行的性质定理

假设a与α内的直线b平行，那么由基本事实的推论3,过直线a、b有唯一的平面β.这样，我们可以把直线b看成是过直线a的平面β与平面α的交线.于是可得如下结论：

过直线a的平面β与平面α相交于b，则a//b.直线和平面平行的性质定理

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.符号语言图形语言简述为：线面平行→线线平行若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则 A.α内的所有直线与l异面 B.α内不存在与l平行的直线 C.α内存在唯一的直线与l平行 D.α内的直线与l都相交若在平面α内存在与直线l平行的直线，因为l⊄α，所以l∥α，这与题意矛盾.√练习1.

判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.(1)如果直线a//b，那么a平行于经过b的任何平面.()

(2)如果直线a和平面α满足a//α，那么a与α内的任何直线平行.()

(3)如果直线a，b和平面α满足a//α，b//α，那么a//b.()

(4)如果直线a，b和平面α满足a//b，a//α，b

α，那么b//α.()√×××练习2

如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，E在线段PD上且异于P，D两点，则四边形EFBC是A.空间四边形 B.矩形 C.梯形 D.平行四边形所以BC∥平面PAD.因为BC⊂平面EFBC，平面EFBC∩平面PAD＝EF，所以BC∥EF.因为BC＝AD，EF<AD，所以EF<BC，所以四边形EFBC为梯形.√因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，练习3例1.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点.如图，连接BD，交AC于点H，连接EH，若PB∥平面AEC，求证：E是PD的中点.因为PB∥平面ACE，PB⊂平面PBD，且平面PBD∩平面ACE＝EH，所以PB∥EH，在△PBD中，H为BD的中点，所以E为PD的中点.练习4例2.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.直线l∥平面PAC.证明如下：因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以l∥平面PAC.O典例解析

如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证