第4题双曲线中满足一定条件的直线问题 2024年高中数学三轮复习之一题多解

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第4题双曲线中满足一定条件的直线问题【南昌市第二中学2024届高三新改革适应性模拟】若双曲线右焦点为，直线与的右支交于两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为（）A．

B．C．

D．先根据重心坐标公式可以计算出弦的中点坐标，再运用点差法，可以得到中点坐标与直线斜率的关系，用离心率表示出斜率，再根据弦中点与双曲线的位置关系以及点不共线列出不等式，求出离心率的取值范围，再结合二次函数即可求斜率的取值范围．由题意可知，设的斜率为的中点．设，代入双曲线方程得，①②得：，．为的重心，，，，．根据与双曲线的位置关系，得，即，整理得，即．因为不共线，即，即，即，且．直线的斜率的取值范围为．（2023·四川成都·模拟预测）1．已知圆锥曲线统一定义为“平面内到定点F的距离与到定直线l的距离（F不在l上）的比值e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线”．过双曲线的左焦点的直线l（斜率为正）交双曲线于A，B两点，满足．设M为AB的中点，则直线OM斜率的最小值是（

）A． B． C． D．（23-24高二上·上海·期末）2．已知双曲线中，离心率为，且经过点．(1)求双曲线方程；(2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围；(3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．利用重心坐标公式计算出弦中点的坐标，再设出含斜率与截距的直线方程与双曲线方程联立，计算得到弦中点的坐标，根据中点坐标建立方程后，分别求出直线的斜率和截距的表达式，再根据直线与双曲线的位置关系，通过判别式以及点不共线列出不等式，得到离心率的取值范围，再结合斜率的表达式，利用二次函数求出斜率的取值范围．由题意可知，设的中点直线方程，与双曲线联立，得，消去，得，所以，即①又②③由②、③得，代入①得：，整理得，所以，所以．因为不共线，即，即，且，直线的斜率的取值范围为．【题后反思】：本题是一道双曲线小题，主要考查重心坐标公式，弦中点问题的以及范围问题的处理方法．主要难点的用含离心率的式子表示斜率和求出离心率的取值范围．对于弦中点问题，常用的处理方法主要有两种，一是利用点差法，得到弦中点坐标与直线斜率的关系；二是利用直线与曲线方程联立后，利用根系关系求出弦中点坐标与直线斜率的关系．对于变量的范围问题，主要有两种策略，一是利用函数的方法解决，二是利用不等式的方法解决．本题利用以离心率为变量的函数来求斜率的范围，在求解离心率的范围时，使用了两种方法，一是利用中点与双曲线的位置关系建立不等式求出，二是利用直线与双曲线的位置关系列不等式求出，同时也需要考虑去掉点共线的情况，得到离心率的范围．最后利用二次函数的知识求出斜率的取值范围．相对来说利用点差法和中点与双曲线的位置关系求离心率的范围的操作方法计算量相对较小，解题时可以考虑多使用．（2023·湖北武汉·一模）3．设F为双曲线的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则的最大值为.（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）4．已知双曲线C：的右顶点为M，过点的直线l交双曲线C于A，B两点，设直线MA的斜率为，直线MB的斜率为.(1)求直线l斜率的取值范围；(2)证明：为定值，并求出该定值；(3)求的最大值.5．设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线分别与双曲线左右两支交于两点，以为直径的圆过，且，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．6．已知是双曲线的右焦点，直线经过点且与双曲线相交于两点，记该双曲线的离心率为，直线的斜率为，若，则（

）A． B． C． D．（2023·内蒙古包头·一模）7．已知点在双曲线：（）上，斜率为的直线过点且不过点．若直线交于，两点，且以线段为直径的圆过点，则（

）A． B． C． D．（2023·四川成都·模拟预测）8．已知圆锥曲线统一定义为“平面内到定点F的距离与到定直线l的距离（F不在l上）的比值e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线”．过双曲线的左焦点的直线l（斜率为正）交双曲线于A，B两点，满足．设M为AB的中点，则直线OM斜率的最小值是（

）A． B． C． D．9．已知,是离心率为的双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，且直线的斜率分别为，，，则的取值范围为A． B．C． D．)（2023·湖北襄阳·模拟预测）10．已知焦点在轴上的椭圆的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点（如图所示），当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则的取值范围是（

）

A． B． C． D．11．已知双曲线上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线上，则实数m的值为．12．已知抛物线：，其焦点为，的准线交轴于点，，为抛物线上动点，且直线过点，过，分别作，的平行线，（为坐标原点），直线，相交于点，记点的运动轨迹为曲线，直线与曲线无交点，则的取值范围是.（2023·山东·模拟预测）13．已知直线与曲线．(1)若与交于，两点，点，直线与的斜率之积为1，证明：直线过定点；(2)若与相切于点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点，求的最小值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【分析】根据条件画出图形结合圆锥曲线的定义及条件可得，然后利用点差法可得，进而可得，然后利用基本不等式即得.【详解】由题可知在左支上在右支上，如图，设，在左准线上的射影为，因为，则，所以，设，则，所以，，即，所以，所以，当且仅当即时，等号成立，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据圆锥曲线的定义结合条件表示出，然后利用点差法得，根据基本不等式即得.2．(1)(2)(3)不存在，理由见解析【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的值，即可得出双曲线的方程；（2）将直线的方程与双曲线的方程联立，根据已知条件结合韦达定理、判别式可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围；（3）利用点差法求出直线的方程，再将直线的方程与双曲线的方程联立，计算，即可得出结论.【详解】（1）解：因为双曲线中，离心率为，且经过点，则，解得，所以，双曲线的方程为.（2）解：设直线交双曲线于点、，联立可得，因为直线与双曲线左支有两个交点，则，解得，故实数的取值范围是.（3）解：若直线轴，则直线与双曲线相切，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，设点、，因为为线段的中点，则，将点、的坐标代入双曲线的方程可得，作差可得，即，即，所以，直线的斜率为，所以，直线的方程为，即，联立可得，则，因此，不存在满足题设条件的直线.3．##1.25【分析】设出直线方程，与双曲线的方程联立，韦达定理表示出A与P的关系，根据三点B，P，Q共线，求得Q点坐标的横坐标表示出t,然后运用设参数m法化简,最后根据二次函数的性质求出最大值.【详解】设，，联立整理得:;所以，得到，所以；过F作直线PA的垂线与直线交于Q，因为B,Q,P三点共线，所以Q是直线与BP的交点，Q是与的交点所以得，所以设则所以当时，即m=2即时，取得最大值.故答案为：【点睛】方法点睛：（1）联立方程，根据韦达定理表示出坐标关系式；按照题目中给出的关系，构建关系式，表示出所求变量；（2）在计算推理的过程中运用整体转化，化简函数式，从而得到二次函数或者不等式，求得最值；本题的解题的关键是，表示出Q点的交点坐标，找到与t有关的解析式.4．(1)(2)(3)【分析】（1）设出直线方程，与双曲线方程联立，利用判别式求出斜率的取值范围即可；（2）设，，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理代入求解即可；（3）按在轴同侧和两侧分类讨论，利用弦长公式和韦达定理得到关于的方程，再利用导数求最大值即可.【详解】（1）由双曲线方程可知，过点的直线交双曲线于两点，则直线斜率存在，设直线，联立得，因为直线交双曲线有两个交点，所以，即，令解得，综上直线斜率的取值范围为.（2）设，，则，，所以，由（1）得，，代入得.（3）设，，且，则，同理，所以，当时，，此时，将，，代入得，令，，则，令解得或（舍去），所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，此时取得最大值；当时，，此时，将，，代入得，令，，则恒成立，所以单调递增，不存在最大值，综上的最大值为.【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为,；（2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为，形式；（5）代入韦达定理求解.5．B【解析】根据圆的性质得到，根据得到.设为的中点.根据双曲线的定义和等腰直角三角形的性质，结合勾股定理列方程，求得，以及，进而求得直线的斜率.【详解】由为直径的圆过，所以，由，得，即，即，即，所以，所以.设，则，由，，两式相加可得，即有，设为的中点，在直角三角形中可得，化为，即，而，所以，所以直线的斜率为.故选：B【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查圆的几何性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.6．C【分析】设直线的方程为，联立方程组求得，根据，得到，代入上式，可得，求得，即可求解.【详解】由题意，设直线的方程为，联立方程组，整理得，设，可得，因为，即，可得，代入上式，可得，可得，整理得，即，又由，可得，即，所以，可得，即.故选：C.【点睛】设出直线的方程为，与椭圆的方程联立方程组，利用根与系数的关系，求得，结合，转化为，列出关于的方程是解答的关键.7．A【分析】根据点在双曲线上求出双曲线方程，根据线段为直径的圆过点可得，利用韦达定理代入即可求解.【详解】因为点在双曲线：（）上，所以由解得，所以双曲线，设，，，联立整理得，因为直线交于，两点，所以，，所以，，，，因为线段为直径的圆过点，所以，所以，即，所以，整理得，解得或，当时，直线过点，不满足题意；当时，满足且；所以，故选：A8．C【分析】根据条件画出图形结合圆锥曲线的定义及条件可得，然后利用点差法可得，进而可得，然后利用基本不等式即得.【详解】由题可知在左支上在右支上，如图，设，在左准线上的射影为，因为，则，所以，设，则，所以，，即，所以，所以，当且仅当即时，等号成立，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据圆锥曲线的定义结合条件表示出，然后利用点差法得，根据基本不等式即得.9．B【分析】因为M,N关于原点对称，所以设其坐标，然后再设P坐标，将表示出来.做差得，即有，最后得到关于的函数，求得值域.【详解】因为双曲线的离心率，所以有，故双曲线方程即为.设M,N,P的坐标分别是,则，并且做差得，即有，于是有因为的取值范围是全体实数集，所以或，即的取值范围是，故选B.【点睛】本题考查双曲线的性质，有一定的综合性和难度.10．C【分析】解法1、设直线为，联立方程组，利用弦长公式求得，求得直线与的距离为，得到的面积为，设，得到，转化为的值最小即可，结合函数的单调性和椭圆的性质，即可求解.解法2、设直线的倾斜角为，求得，原点的距离为，得到矩形面积，设，得到，结合基本不等式的成立的条件，得到，进而求得实数的取值范围.【详解】解法1：设所在直线方程为且联立方程组，整理得，可得，所以，由直线方程为，所以直线与垂线的距离为，矩形的面积为，设，则，所以，要使最大，则只需的值最大，即的值最小即可，当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，即当时，有最大值，即时，的值最小，由双勾函数性质在上单调递减，在区间为单调递增，又由，当时，有最小值，所以，所以，可得，即，解得，所以，又因为，解得，所以实数的取值范围是.解法2：设所在直线方程为且联立方程组，整理得，可得，所以，设直线的倾斜角为，可得，即，代入上式，化简得，又由原点的距离为，所以矩形的面积：，设，则，且，可得，则，要使最大，则只需的值最大，即的值最小即可，当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，即当时，有最大值，即时，的值最小，因为，当且仅当时，即，所以，即，所以，可得，即，解得，所以，又因为，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.11．0或－8【解析】设，MN的中点，代入双曲线相减得到，得到，代入抛物线计算得到答案.【详解】设，MN的中点，则故，即，∵M，N关于直线y＝x＋m对称，∴，∴，又∵，∴，代入抛物线方程得＝18·解得m＝0或－8，经检验都符合．故答案为：m＝0或－8【点睛】本题考查了圆锥曲线的对称问题，意在考查学生的转化能力和计算能力.12．【分析】根据题意得，设，直线的方程为：，与抛物线联立得，，再设，根据题意得曲线的方程为：，再根据双曲线的性质即可得答案.【详解】解：根据题意得，直线的斜率存在且不取零，记为，设，直线的方程为：联立直线与抛