浙江省台州市路桥实验中学高一数学理期末试题含解析

浙江省台州市路桥实验中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合中的三个元素是某一个三角形的三条边长，则此三角形一定不是

(）（A）直角三角形

（B）等腰三角形

（C）锐角三角形

（D）钝角三角形参考答案：略2.已知，，且，则m=（）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：D【分析】根据向量的平行可得4m＝3m+4，解得即可．【详解】，，且，则，解得，故选：D．【点睛】本题考查了向量平行的充要条件，考查了运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题．3.179°是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角参考答案：B【分析】利用象限角的定义直接求解，即可得到答案．【详解】由题意，，所以179°表示第二象限角，故选B．【点睛】本题主要考查了角所在象限的判断，考查象限角的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．4.已知，则（

）（为自然对数的底数）

A．

B.

1

C.

D.

0参考答案：A5.设偶函数的定义域为R，且在上是增函数，则的大小关系是

A、

B、C、

D、参考答案：A6.（5分）已知集合A={x∈Z|﹣1＜x＜3}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B中的元素个数是（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4参考答案：C考点： 交集及其运算．专题： 集合．分析： 由A与B，找出两集合的交集，确定出交集中元素个数即可．解答： ∵A={x∈Z|﹣1＜x＜3}={0，1，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}，元素个数为3．故选：C．点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7.设m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围是(

)A.0＜m＜3

B.1＜m＜3

C.3＜m＜4

D.4＜m＜6

参考答案：B略8.已知lgx﹣lg2y=1，则的值为(

)A．2 B．5 C．10 D．20参考答案：D【考点】对数的运算性质．【专题】方程思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数方程化简求解即可．【解答】解：lgx﹣lg2y=1，可得lg=1，可得=20．故选：D．【点评】本题考查对数运算法则的应用，对数方程的求法，是基础题．9.函数的定义域为（）ks5uA．

B．

C．D．参考答案：D10.若c=acosB，b=asinC，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．直角三角形 D．等边三角形参考答案：B【考点】HP：正弦定理．【分析】由余弦定理化简c=acosB得：a2=b2+c2，判断出A=90°，再由正弦定理化简b=asinC，判断出B、C的关系．【解答】解：因为：在△ABC中，c=acosB，所以：由余弦定理得，c=a×，化简得，a2=b2+c2，则：△ABC是直角三角形，且A=90°，所以：sinA=1，又因为：b=asinC，由正弦定理得，sinB=sinAsinC，即sinC=sinB，又因为：C＜90°，B＜90°，则C=B，所以：△ABC是等腰直角三角形，故选：B．【点评】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查了边角互化，即根据式子的特点把式子化为边或角，再判断出三角形的形状，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知f（x）=log2x，x∈[，4]，则函数y=×f（2x）的值域是

．参考答案：[]【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据复合函数定义域之间的关系求出函数的定义域，然后结合对数函数和一元二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=log2x，x∈[，4]，∴由，解得．∴函数y=×f（2x）的定义域为[]．则y=×f（2x）===．∵，∴﹣1≤log2x≤1，∴当时，；当log2x=1时，ymax=2．∴函数y=×f（2x）的值域是[]．故答案为：[]．12.设，，则

参考答案：13.已知f（x）是定义在D={x|x≠0}上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣x，则当x＜0时，f（x）=．参考答案：﹣x2﹣x【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】首先，根据当x＞0时，f（x）=x2﹣x，令x＜0，则﹣x＞0，然后，结合函数为奇函数，求解相对应的解析式．【解答】解：令x＜0，则﹣x＞0，∴f（x）=（﹣x）2﹣（﹣x）=x2+x，∵函数f（x）是定义在D上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=x2+x，∴f（x）=﹣x2﹣x，故答案为：﹣x2﹣x．【点评】本题重点考查了函数为奇函数的概念和性质等知识，属于中档题．14.设x1，x2为函数f（x）=x2+（a2﹣1）x+（a﹣2）的两个零点，且x1＜1＜x2，则实数a的取值范围是

．参考答案：（﹣2，1）【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=x2+（a2﹣1）x+（a﹣2）的两个零点，且x1＜1＜x2，可得f（1）＜0，从而可求实数a的取值范围【解答】解：∵函数f（x）=x2+（a2﹣1）x+（a﹣2）的两个零点，且x1＜1＜x2，函数f（x）=x2+（a2﹣1）x+（a﹣2）的两个零点一个大于1，一个小于1，∴f（1）＜0，∴12+（a2﹣1）+（a﹣2）＜0∴﹣2＜a＜1∴实数a的取值范围是（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．15.在区间内随机取两个数a、b，

则使得函数有零点的概率为

.参考答案：略16.满足的的取值集合是

．参考答案：17.已知角α的终边上一点P（1，﹣2），则=．参考答案：﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用；任意角的三角函数的定义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【解答】解：∵角α的终边上一点P（1，﹣2），∴tanα==﹣2，则===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0，有．（1）判断函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数还是减函数，并用定义证明你的结论．（2）解不等式（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]、a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）根据函数单调性的定义进行判断和证明．（2）根据函数的单调性将不等式进行转化即可得不等式的解集．（3）将不等式恒成立转化求函数的最值，即可得到结论．【解答】解：（1）函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数．下用定义证明：设﹣1≤x1＜x2≤1，则：，可知f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数．（2）由f（x）在[﹣1，1]上是增函数知：不等式等价为：解得，故不等式的解集[]．（3）∵f（x）在[﹣1，1]上是增函数，∴f（x）≤f（1）=1，即f（x）max=1依题意有m2﹣2am+1≥1，对a∈[﹣1，1]恒成立，即m2﹣2am≥0恒成立．令g（a）=﹣2ma+m2，它的图象是一条线段，则，即∴m∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．19.已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1），若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求a的取值范围．参考答案：【考点】二次函数的性质．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由条件利用二次函数的性质可得a≥2．故只要f（1）﹣f（a）≤4即可，即（a﹣1）2≤4，求得a的范围．【解答】解：由于函数f（x）=x2﹣2ax+5的图象的对称轴为x=a，函数f（x）=x2﹣2ax+5在区间（﹣∞，2]上单调递减，∴a≥2．故在区间∈上，1离对称轴x=a最远，故要使对任意的x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，只要f（1）﹣f（a）≤4即可，即（a﹣1）2≤4，求得﹣1≤a≤3．再结合a≥2，可得2≤a≤3，故a的取值范围为：．【点评】本题主要二次函数的性质，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．20.已知．（1）请通过降幂化简f(x)；（2）求函数f(x)在上的最小值并求当f(x)取最小值时x的值．参考答案：解：（1）…………2分

……………4分

…………………8分（2）由，得∴当，即时，的最小值为……………12分21.（本题满分12分）设数列的前n项和为，若对任意都有。①求数列的首项；②求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；③若数列满足，且，求证：.参考答案：解：⑴∵

∴

⑵∵

∴

(≥2)∴

∴∴(为常数)(≥2)∴数列是以为公比的等比数列∴

⑶∵，，则

①

②用错位相减法①-②得得，所以略22.在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，，求△ABC的面积.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1