河北省石家庄市扎兰屯第三中学高三数学理摸底试卷含解析

河北省石家庄市扎兰屯第三中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在R上的函数f（x），满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣3）=f（x），当x∈（0，）时，f（x）=ln（x2﹣x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（） A．3 B． 5 C． 7 D． 9参考答案：考点： 根的存在性及根的个数判断．专题： 函数的性质及应用．分析： 由f（x）=ln（x2﹣x+1）=0，先求出当x∈（0，）时的零点个数，然后利用周期性和奇偶性判断f（x）在区间[0，6]上的零点个数即可．解答： 解：∵f（﹣x）=﹣f（x），∴函数为奇函数，∴在[0，6]上必有f（0）=0．当x∈（0，）时，由f（x）=ln（x2﹣x+1）=0得x2﹣x+1=1，即x2﹣x=0．解得x=1．∵f（x﹣3）=f（x），∴函数是周期为3的奇函数，∴f（0）=f（3）=f（6）=0，此时有3个零点0，3，6．又f（1）=f（4）=f（﹣1）=f（2）=f（5）=0，此时有1，2，4，5四个零点．当x=时，f（）=f（﹣3）=f（﹣）=﹣f（），∴f（）=0，即f（）=f（+3）=f（）=0，此时有两个零点，．∴共有9个零点．故选D．点评： 本题主要考查函数零点的判断，利用函数的周期性和奇偶性，分别判断零点个数即可，综合性较强．2.已知等边△ABC内接于圆：x2+y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（

）A. B.1 C. D.2参考答案：D【分析】如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则，，，设，则.当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.3.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

（

）

A．2

B．1

C．

D．参考答案：B略4.设，则使成立的一个充分不必要条件是（

）

A．

B.

C．

D．参考答案：D5.曲线在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是（

）A.-9

B.-3

C.9

D.15参考答案：C略6.已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（

）A. B.1 C.2 D.4参考答案：C【分析】由可得，利用可得结果.【详解】当时，，因为函数在区间上单调递增，正弦函数在上递增，所以可得，解得，即的最大值为2，故选C．【点睛】本题主要考查正弦函数单调性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7.千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：

年份（届）2014201520162017学科竞赛获省级一等奖及以上学生人数x51495557被清华、北大等世界名校录取的学生人数y10396108107

根据上表可得回归方程中的为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为（

）A．111

B．115

C．117

D．123参考答案：C8.在△ABC中，若a2﹣b2=bc，且=2，则角A=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知及正弦定理可得c=2b，结合a2﹣b2=bc，可得a2=7b2，由余弦定理可求cosA=，结合范围A∈（0，π），即可求得A的值．【解答】解：∵在△ABC中，==2，由正弦定理可得：=2，即：c=2b，∵a2﹣b2=bc，∴a2﹣b2=b×2，解得：a2=7b2，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．9.若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且当x∈（﹣1，1]时，f（x）=|x|，则函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点的个数是（）A．2 B．4 C．6 D．多于6参考答案：B【考点】对数函数的图象与性质．【分析】先根据题意确定f（x）的周期和奇偶性，进而在同一坐标系中画出两函数大于0时的图象，可判断出x＞0时的两函数的交点，最后根据对称性可确定最后答案．【解答】解：∵f（x+2）=f（x），x∈（﹣1，1）时f（x）=|x|，∴f（x）是以2为周期的偶函数∵y=log3|x|也是偶函数，∴y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数只要考虑x＞0时的情况即可当x＞0时图象如图：故当x＞0时y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有2个交点∴y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数为4故选：B．10.若对任意实数都有.且,则实数的值等于(

)

A.

B.

C.或1

D.或3参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：①若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β，②若α∥β，m∥α，n∥β，则m||n，③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．其中是真命题的是．（填写所有真命题的序号）．参考答案：③④考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解答．解答：解：对于①，若m∥α，n∥β，m⊥n，则α与β可能平行，故①错误；对于②，若α∥β，m∥α，n∥β，则m与n的位置关系有：平行、相交或者异面，故②错误；对于③，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，利用线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可以判断α⊥β，故③正确；对于④，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，利用面面垂直、线面垂直的性质定理可以得到m⊥n；故④正确；故答案为：③④点评：本题考查了线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理的运用；关键是熟练掌握定理．12.已知函数f(x)=sin(的图象经过点[0,]上的单调递增区间为________参考答案：13.若函数f（x）=ex﹣2x﹣a在R上有两个零点，则实数a的取值范围是

．参考答案：（2﹣2ln2，+∞）略14.随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是________。参考答案：15.已知曲线，曲线（t为参数），则与的位置关系为________.参考答案：相离16.命题：的否定是

．参考答案：,略17.下列说法：①“，使>3”的否定是“，使3”；②

函数的最小正周期是；③“在中，若，则”的逆命题是真命题；④“”是“直线和直线垂直”的充要条件；其中正确的说法是 （只填序号）.参考答案：①②略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）（2013秋?威海期中）求值化简：（Ⅰ）（×）6+（）+lg500﹣lg0.5（Ⅱ）．参考答案：【考点】运用诱导公式化简求值；有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．

【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）原式前两项利用有理数指数幂变形，再利用积的乘方运算法则计算，后两项利用对数的运算性质计算，即可得到结果；（Ⅱ）原式利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：（Ⅰ）原式=4×27+2+3=113；（Ⅱ）原式===﹣sinα．【点评】此题考查了诱导公式的化简求值，有理数的指数幂的化简求值，以及对数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19.（8分）计算：—+参考答案：解：原式=…………4分

=

…………6分

=5

…………8分略20.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，，点，M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图．（1）求∠OCM的余弦值；（2）是否存在实数λ，使，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

参考答案：解答： 解：（1）由题意可得，，故cos∠OCM=cos＜，＞==．（2）设，其中1≤t≤5，，．若，则，即12﹣2λt+3λ=0，可得（2t﹣3）λ=12．若，则λ不存在，若，则，∵t∈[1，）∪（，5]，故．

略21.（本题满分13分）在如图的多面体中，⊥平面，,，，，是的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值；（Ⅲ）求证：．参考答案：解：（Ⅰ）证明：∵，∴．

………………1分又∵,是的中点，∴，

………………2分∴四边形是平行四边形，∴．

………………3分∵平面，平面，∴平面．

………4分（Ⅱ）证明：∵平面，平面，

∴，

……5分又，平面，∴平面．

…………6分过作交于，连接，则平面，是在平面内的射影，故直线与平面所成的角.

…………7分∵，∴四边形平行四边形，∴，在中，，在中，

所以，直线与平面所成的角的正切值是．……………9分（Ⅲ）解法1∵平面，平面，∴．…………10分，∴四边形为正方形，∴，

…11分又平面，平面，∴⊥平面．