湖南省郴州市万华园中学高三数学理下学期期末试卷含解析

湖南省郴州市万华园中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知条件p：关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣3|＜m有解；条件q：f（x）=（7﹣3m）x为减函数，则p成立是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】条件p：由于|x﹣1|+|x﹣3|≥2，即可得出m的取值范围；条件q：f（x）=（7﹣3m）x为减函数，可得0＜7﹣3m＜1，解得m范围即可得出．【解答】解：条件p：∵|x﹣1|+|x﹣3|≥|3﹣1|=2，而关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣3|＜m有解，∴m＞2；条件q：f（x）=（7﹣3m）x为减函数，∴0＜7﹣3m＜1，解得．则p成立是q成立的必要不充分条件．故选：B．2.在封闭直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=15，BC=8，AA1=5，则V的最大值是（）A． B． C． D．36π参考答案：B【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．因为△ABC内切圆的半径为2，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值，求出三棱柱ABC﹣A1B1C1内切球半径即可【解答】解：要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=15，BC=8，∴AC=12，△ABC内切圆的半径为r=3，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值为．此时球的体积为πR3=，故选：B．3.将函数f（x）=cos2ωx的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在上为减函数，则正实数ω的最大值为（）A． B．1 C． D．3参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用诱导公式，正弦函数的单调性，求得实数ω的最大值．【解答】解：将函数f（x）=cos2ωx的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）=cos2ω（x﹣）=cos（2ωx﹣）=﹣sin2ωx的图象，若y=g（x）在上为减函数，则sin2ωx在上为增函数，∴2ω?（﹣）≥﹣，且2ω?≤，求得ω≤1，故正实数ω的最大值为1，故选：B4.若椭圆上一点到焦点的距离为６，则点Ｐ到另一个焦点的距离为（）Ａ．２

Ｂ．４Ｃ．６

Ｄ．８参考答案：B5.如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于，．设，，则函数的图象大致是（

）参考答案：B6.已知a，b∈R，则“”是“”的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A7.如图，在△ABC中，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为，则的最小值为（

）A. B. C.3 D.参考答案：B【分析】设，，由三角形ABC的面积为，可得，由C，P，D三点共线可知，以AB所在直线为轴，以A点为坐标原点，过A点作AB的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，可以表示出的坐标，从而得到的表达式，进而求出最小值。【详解】设，，则三角形ABC的面积为，解得，由，且C，P，D三点共线，可知，即，故.以AB所在直线为轴，以A点为坐标原点，过A点作AB的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，则，，，，则，，，则（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.

【点睛】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且.

8.若全集U={1，2，3，4，5}，M={1，4}，N={2，3}，则（?UM）∩N=（）A．{3，5} B．{2，3，5} C．{2，5} D．{2，3}参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U及M，求出M的补集，找出M补集与N的交集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，M={1，4}，N={2，3}，∴?UM={2，3，5}，则（?UM）∩N={2，3}，故选：D．9.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，则公差d等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出公差d．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，∴，解得a1=7，d=﹣2，∴公差d等于﹣2．故选：B．10.设m为实数，若，则m的最大值是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.求值：___________．参考答案：略12.设a＞0，b＞0．若是3a与32b的等比中项，则的最小值为

．参考答案：8【考点】基本不等式．【分析】根据题意，由等比数列的性质可得3a×32b=（）2，变形化简可得a+2b=1，进而有+=（a+2b）（+）=4+（+），结合基本不等式可得+的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，若是3a与32b的等比中项，则有3a×32b=（）2，即3a+2b=3，则有a+2b=1；则+=（a+2b）（+）=4+（+）≥4+2=8；即+的最小值为8；故答案为：8．【点评】本题考查基本不等式的运用，涉及等比数列的性质，关键是求出a+2b=1．13.若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，代入点（3，﹣4），可得b=a，再由c=，e=，即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，由渐近线过点（3，﹣4），可得﹣4=﹣，即b=a，c===a，可得e==．故答案为：．14.已知正实数，且，则的最小值为

参考答案：15.数列满足，且，是数列的前n项和。则=______参考答案：略16.已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），若对任意实数x有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1的图象过原点，则不等式的解集为

．参考答案：（0，+∞）【考点】导数的运算．【分析】构造函数g（x）=，研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=（x∈R），则g′（x）=，∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜ex∴g（x）＜1∵y=f（x）﹣1的图象过原点，∴f（0）=1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故答案为（0，+∞）【点评】本题考查函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．17.函数的图象与的图象（且）交于两点（2,5），（8,3），则的值等于

；参考答案：10三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数.

（Ⅰ）当时，求函数的定义域；

（Ⅱ）若函数的值域为，求实数的取值范围.参考答案：解：（1）；

(2).略19.（本小题满分12分）在直角坐标系中，已知，，为坐标原点，，．（Ⅰ）求的对称中心的坐标及其在区间上的单调递减区间；（Ⅱ）若，，求的值。参考答案：解：，，则…………2分………………4分（Ⅰ）由，即对称中心是当时单调递减，即的单调递减是……6分在区间上的单调递减区间为.………8分(Ⅱ)……10分。…………………12分20.设数列的各项均为正数，前项和为，已知(1)证明数列是等差数列，并求其通项公式；(2)是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在请说明理由；(3)证明：对任意，都有．参考答案：理）(1)∵，∴当时，．两式相减得，

∴

…………2分∵，∴，

又，∴∴是以为首项，为公差的等差数列．

………1分∴

………1分(2)由(1)知，

∴

…………2分于是，

…………2分

∴

…………2分(3)结论成立，证明如下：

…………1分[来设等差数列的首项为，公差为，则于是

………2分将代入得，，

∴

…………2分又

…………2分∴．

…………1分（文）(1)∵，∴当时，．

两式相减得，

∴

…………2分

∵，∴，又，∴

∴是以为首项，为公差的等差数列．……2分

∴

…………1分

(2)由(1)知，

…………2分假设正整数满足条件，

则

∴，

解得；

…………3分

(3)

…………2分

于是

…………2分

…………3分

∴

………………略21.已知函数f（x）=x﹣alnx+b，a，b为实数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+3，求a，b的值；（Ⅱ）若|f′（x）|＜对x∈[2，3]恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）根据导数的几何意义可得f′（1）=2，f（1）=5，列方程组解出a，b即可；（II）分离参数得出x﹣＜a＜x+，分别求出左侧函数的最大值和右侧函数的最小值即可得出a的范围．【解答】解：（I）f′（x）=1﹣，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+3，∴f′（1）=2，f（1）=5，∴，解得a=﹣1，b=4．（II）∵|f′（x）|＜对x∈[2，3]恒成立，即|1﹣|＜对x∈[2，3]恒成立，∴|x﹣a|＜对x∈[2，3]恒成立，∴x﹣＜a＜x+对x∈[2，3]恒成立，设g（x）=x﹣，h（x）=x+，x∈[2，3]，则g′（x）=1+＞0，h′（x）=1﹣＞0，∴g（x）在[2，3]上是增函数，h（x）在[2，3]上是增函数，∴gmax（x）=g（3）=2，hmin（x）=h（2）=．∴a的取值范围是[2，]．22.如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面上的射影恰好落在边上.（1）求证：平面平面；（2）当时，求二面角的余弦值.参考答案：（I）设点在平面上的射影为点，连接则平面，所以.因为四边形是矩形，所以，所以平面，所以.又，所以平面，而平面，所以平面平面.………………5分（II）方法1：在矩形中，过点作的垂线，垂足为，连结.因为平面，又DM∩DE=D所以平面，所以为二面角的平面角.