2021-2022学年浙江省绍兴市柯桥区九年级（上）期末数学试卷

2021-2022学年浙江省绍兴市柯桥区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.（4分）若三/，则也的值为（）

y2y

A.AB.-Ac.AD.A

3322

2.（4分）下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（）

A.黄河入海流B.大漠孤烟直C.手可摘星辰D.红豆生南国

3.（4分）已知与点尸在同一平面内，如果的直径为6,线段。尸的长为4,则下

列说法正确的是（）

A.点P在。。上

B.点尸在。0内

C.点P在。。外

D.无法判断点P与。。的位置关系

4.（4分）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点。旋转到A'B'的位置，已知

AO的长为4米.若栏杆的旋转角/AOA，=a,则栏杆A端升高的高度为（）

sinCI.cos。

5.（4分）九个相同的等边三角形如图所示，已知点。是一个三角形的外心，则这个三角形

是（）

.4*"<--»...•B

cz\/\/

♦......■•/.

•一••.

DEO

A.丛ABCB.AABEC.△A80D.AACE

6.（4分）若二次函数y=-f+6x+c的图象经过点A（-1,yi）,B（2,竺），C（5,”），

则yi，”，”的大小关系正确的为（)

A.yi>y3>y2B.y2>y3>yiC.yi>y2>y3D.y3>yi>y2

7.（4分）图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上

如图2所示，此时液面42=（）

D.\cm

8.（4分）如图是利用图形的位似绘制的一幅“小鱼”图案，其中。为位似中心，且。4=

2OD,若图案中鱼身（△ABC）的周长为16,则鱼尾（.△DEF）的周长为（）

C.4我D.4

9.（4分）如果将抛物线-2平移，使平移后的抛物线与抛物线-8x+9重合，那

么它平移的过程可以是1）

A.向右平移4个单位,向上平移11个单位

B.向左平移4个单位,向上平移11个单位

C.向左平移4个单位,向上平移5个单位

D.向右平移4个单位,向下平移5个单位

10.（4分）RtZ\ABC中，ZACB=90°,/ABC的平分线交AC于。，M在AC延长线上,

N在BD上,经过BC中点E,MD=MN,若siii4=2,则毁的值为（）

7DN

D

AB

A.3B.Ac.3D.A

4577

二、填空题（每小题5分，共30分）

11.（5分）如图，在△ABC中，ZBAC=20°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°得

到△ABC,则/C4B的度数为.

12.（5分）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表:

每批粒数501003004006001000

发芽的频数4596283380571948

这种油菜籽发芽的概率的估计值是.（结果精确到0.01）

13.（5分）如图，点4,8,。在。0上，448。=32°，/AC。=36°，则NBOC等于

15.（5分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2ox+3（cz>0）与y轴交于点A,

过点A作x轴的平行线交抛物线于点M,P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于

点B,且M为线段AB的中点，则a的值为

16.（5分）如图，边长为5。"的正方形ABC。，E,尸分别从A,B两点同时出发，以lc//s

速度沿射线AS射线2C运动，连结AR交于点尸，G为中点，连结尸G,PB,

则运动时间t的值为

三、解答题（本大题共8小题，共80分）

17.（8分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4.随

机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球.采用树状图或列表法求两次摸出的小

球的标号不相同的概率.

18.（8分）已知：如图，△A2C中，AB=4,BC=8,D为BC边上一点,BD=2.

求证：/BDA=/BAC.

19.（8分）已知抛物线y=x2+4x-5；

（1）求出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）求该抛物线与x轴、y轴的交点坐标.

20.（8分）如图，。。的直径垂直于弦CD,垂足为点£,连接。C、AC.BD.

（1）求证：ZACO=ZCDB-,

（2）若CO=6,BE=M，求弧AD的长.

21.（10分）如图，建筑物AB后有一座小山，ZDCF=3Q°,测得小山坡脚C点与建筑物

水平距离BC=25米，若山坡上E点处有一凉亭，且凉亭与坡脚距离CE=20米，某人从

建筑物顶端A点测得E点处的俯角为48°.

（1）求凉亭到地面的距离；

（2）求建筑物AB的高.（精确到0.1M

（参考数据：73^1-73,sin48°七0.74,cos48°20.67,tan48°^1.11,sin42°七0.67,

cos42°-0.74,tan42°-0.90）

22.（12分）如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔

离区进行留观.我校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5

米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需

材料），共用防疫隔离材料8米.

（1）若面积为10平方米，隔离区的长和宽分别是多少米？

（2）隔离区的面积有最大值吗？最大为多少平方米？

4.5米

I一

DC

进出通道临时隔离区

A\-------------------------1B

23.（12分）如图，ZkABC是等腰直角三角形，ZACB=90a,CA=CB=4,。是射线AB

上的一动点，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE,连接BE,DE.

(2)如图2,猜想BC,BD,BE之间的数量关系，并证明你的结论.

(3)在点D移动过程中.当/DEB=30°时，求20的长.

24.(14分)圆内接四边形ABCDAB为的直径.

(1)如图1,若。为弧中点，AB=4.

①求/DCB的度数；

②求四边形ABC。面积的最大值.

(2)如图2,对角线AC,BD交于点、E,连结OE并延长交CD于点凡若OE=3EF=3,

求A8的长.

2021-2022学年浙江省绍兴市柯桥区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.【考点】比例的性质.

【分析】把要求的式子化成三+1,再把三=旦代入进行计算，即可得出答案.

yy2

【解答】解：•••工=3,

y2

.•.也=三+1=旦+1=9.

yy22

故选：D.

【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键.

2.【考点】随机事件.

【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体问题情境进行判断即可.

【解答】解：A.“黄河入海流”是必然事件，因此选项A不符合题意；

民“大漠孤烟直”是随机事件，因此选项2不符合题意；

C.“手可摘星辰”是不可能事件，因此选项C符合题意；

D.“红豆生南国”是必然事件，因此选项。不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查必然事件、随机事件、不可能事件，理解必然事件、随机事件、不可

能事件的意义是正确判断的前提.

3.【考点】点与圆的位置关系.

【分析】直接根据点与圆的位置关系进行判断.

【解答】解：：。。的半径是3,线段。尸的长为4,

即点尸到圆心的距离大于圆的半径，

.•.点尸在。。外.

故选：C.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设。。的半径为r,点尸到圆心的距离OP=d,

则有：点尸在圆外点尸在圆上od=r；点P在圆内

4.【考点】解直角三角形的应用.

【分析】过点A'作A'于点C,根据锐角三角函数的定义即可求出答案.

【解答】解：过点A'作A'于点C,

由题意可知：A'O=AO=4,

sina=__—,

A'0

.".A'C=4sina,

故选：B.

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属

于基础题型.

5.【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质.

【分析】根据三角形的外心和等边三角形的性质解答即可.

【解答】解：••,钝角三角形的外心在三角形的外部，

...点。是△ABO的外心，

故选：C.

【点评】本题考查的是三角形的外心，即三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心,

锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角

三角形的外心在三角形的外部.

6.【考点】二次函数图象上点的坐标特征.

【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征，分别计算出自变量为2、-2和-5所对

应的函数值，然后比较函数的大小即可.

【解答】解：当x=-1时，yi=-X2+6X+C=-1-6+c=-7+c；

当x=2时，y2=-X2+6X+C=-4+12+c=8+c；

当x=5时，>3=-X2+6X+C=-25+30+c=5+c,

所以yi>yi>y\-

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解

析式.

7.【考点】相似三角形的应用.

【分析】高脚杯前后的两个三角形相似，根据相似三角形的判定和性质即可得出结果.

【解答】解：如图：•.•CD〃A3,

.".ACDO^ABO,

：CD=OC；

"ABOA"

VOC=Scm,OA=4cm,CD=6cm,

•

"AB『

.".AB=3(cm),

【点评】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质.

8.【考点】位似变换.

【分析】根据位似图形的概念得到。尸〃AC,求出更=」，根据相似三角形的性质计算

AC2

即可.

【解答】解：:△ABC和△£)£尸是位似图形，

：.DF//AC,

•・•DF=0D,=1-I.,

AC0A2

AABC与4DEF的位似比为2：1,

,?AABC的周长为16,

...△DEF的周长为8,

故选：B.

【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，正确求出△A2C与

△DEF的位似比是解题的关键.

9.【考点】二次函数图象与几何变换.

【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解.

【解答】解：；抛物线y=/-8x+9=（x-4）2-7的顶点坐标为（4,-7）,抛物线y

=7-2的顶点坐标为（0,-2）,

顶点由（0,-2）到（4,-7）需要向右平移4个单位再向下平移5个单位.

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线

解析式更简便.

10.【考点】解直角三角形.

（分析］过。作DH1AB于H,延长MN交AB于■F,由sinA=旦，设BC=6x,则AB

7

=1x,而E为BC中点，得BE=aBC=3x,根据平分/ABC,可得ABCD咨ABHD

2

（AAS）,即有BH=BC=6x,ZCDB=ZHDB,而MO=MN,可得DH〃MN,即知NF

±AB,根据sin/BEFusinAub,得8尸=坦―从而可得目1=旦_=±.

77DNHF4

【解答】解：过D作于X,延长交AB于R如图：

在RtA4BC中，sinA=旦,

7

•BC=A

"ABT

设2C=6尤，则AB=7x,

为BC中点,

：.BE^lBC=3x,

2

「瓦）平分NA3C,

：.ZCBD=ZDBH,

•；/DHB=NDCB=90°,BD=BD,

・••△BCD会^BHD（AAS）,

:・BH=BC=6x,ZCDB=ZHDB,

*：MD=MN,

：.ZCDB=ZMND,

：./MND=/HDB,

：.DH//MN,

*：DH±AB,

：.MN±AB,BPNFLAB,

：.ZBEF=90°-ZEBF=NA,

sinZBEF—sinA=

7

・BF_6pnBF_6

BE73x7

7

'CNFLAB,DH±AB,

：.NF//DH,

18

•BN_BF_7X-2

.面市6x号了

故选：A.

【点评】本题考查锐角三角函数的应用，涉及全等三角形，等腰三角形等知识，解题的

关键是证明NF±AB.

二、填空题（每小题5分，共30分）

11.【考点】旋转的性质.

【分析】根据旋转可得/CAC'=50°,再根据角之间的和差关系可得答案.

【解答】解：：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°,

/.ZCAC'=50°,

VZBAC=2Q°,

AB=50°+20°=70°,

故答案为：70。.

【点评】本题考查了旋转的性质，关键是掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋

转角.

12.【考点】利用频率估计概率.

【分析】利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可.

【解答】解：观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在0.95附近，

则这种油菜籽发芽的概率的估计值是0.95,

故答案为：0.95.

【点评】此题考查了利用频率估计概率，从表格中的数据确定出这种油菜籽发芽的频率

是解本题的关键.

13.【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系.

【分析】连接AO,得到两个等腰三角形，从而/CAO=/C=36°,ZBAO=ZB=32°,

得到圆周角的度数，从而得到圆心角NBOC=2NCAB的度数.

【解答】解：如图，连接40,

：.ZCAO=ZC=36°,ZBAO=ZB=32°,

：.ZCAB=ZCAO+ZBAO=36°+32°=68°,

/.ZBOC=2ZCAB=2X68°=136°.

故答案为：136°.

【点评】本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,

都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键.

14.【考点】解直角三角形.

【分析】把/ABC放在Rt/XABO中，利用锐角三角函数的定义即可解答.

【解答】解：设点。在格点上，如图:

在RtAABD中，tan/ABC=£5L=_l=2,

BD2

故答案为：2.

【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

15.【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；两条直线相交或平行问题.

【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，

利用点M为线段AB中点，得出点B坐标；用含。的式子表示出点尸坐标，写出直线OP

的解析式，再将点B坐标代入即可求解出a的值.

【解答】解：：抛物线y=a?-2or+3(a>0)与y轴交于点A,

AA(0,3),抛物线的对称轴为x=l,

顶点尸坐标为(1,3-a),点M坐标为(2,3),

•.•点M为线段的中点，

...点2坐标为(4,3),

设直线OP解析式为晨为常数，且左W0),

将点P(l,3-a)代入得3-a=左，

・•)=(3-〃)Xf

将点8(4,3)代入得3=(3-Q)X4,

解得a=a，

4

故答案为：2.

4

【点评】本题综合考查了如何求抛物线与y轴的交点坐标，如何求抛物线的对称轴，以

及利用对称性求抛物线上点的坐标，同时还考查了正比例函数解析式的求法，难度中等.

16.【考点】相似三角形的性质；正方形的性质.

【分析】分两种情况：①E点在A3上；②E点在A3延长线上；根据相似三角形的性质

得到比例式求出运动时间/即可.

【解答】解：如图1中，

：.AD=ABfZDAE=ZABF=90°,

U：AE^BF,

：.^xDAE^AABF(SAS),

ZADE=ZBAF,

VZADE+ZAED=90°,

ZBAF+ZAED=90°,

AZAPE=90°,

•・,DE=752+t2=725+t2'

jx5X/=卷X也5+t2XAP，

•3=/5］，DP=R

425+/V25+t2

ZPGD,NAPB都是钝角,△PZJG与△A2P相似,

，八DGPs丛APB,

.•DG=DP；

"APAB"

25

.2.5

,•5t5

7^7

解得，f=5,

经检验，f=5的方程的解.

DG=DP^DG=DP；

APABABAP

2525

•2.5____V25+t2或2.5—丘+干

.5t——5-5t

V25+t2725+t2

解得f=5（不合题意舍去）或f=10,

综上所述，满足条件的r的值为5或10.

【点评】考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，本题关键是根据相似三角形

的性质列出比例式，注意分类思想的运用.

三、解答题（本大题共8小题，共80分）

17.【考点】列表法与树状图法.

【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号不相同的结

果占12种，然后根据概率公式计算即可.

【解答】解：画树状图如下:

开始

1234

//V/Ax//Vx

1234123412341234

共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号不相同的结果有12种,

两次摸出的小球标号不相同的概率为n2=3.

164

【点评】此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能

的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试

验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

18.【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】利用已知的条件可证得再利用相似三角形的性质即可求解.

【解答】证明：在△ABC中，A2=4,BC=8,BD=2.

•AB41BD21

,•前•节W'而'WT

•ABBD

,•而京，

又：ZABD=ZCBA,

AABD^/\CBA,

：.ZBDA=ZBAC.

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性，熟记两边对应成比例且夹角相等的两

个三角形相似是解决问题的关键.

19.【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征.

【分析】(1)将抛物线化为顶点式，即可得到该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(2)令x=0求出相应的y的值，再令y=0求出相应的尤的值，即可得到该抛物线与x

轴、y轴的交点坐标.

【解答】解：⑴•••抛物线y=7+4x-5=(x+2)2-9,

，该抛物线的开口向上，对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,-9)；

(2),抛物线>=7+4尤-5=(x+5)(x-1),

当x=0时，y=-5,

当y=0时，x=-5x=l,

•••抛物线与x轴的交点坐标为(-5,0),(1,0),与y轴的交点坐标为(0,-5).

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是

明确题意，利用二次函数的性质解答.

20.【考点】弧长的计算；勾股定理；垂径定理；圆周角定理.

【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到NA=NAC。，根据圆周角定理证明结论；

(2)连接O。，根据垂径定理、勾股定理求出。。的半径，根据弧长公式计算，得到答

案.

【解答】(1)证明：：OC=OA,

ZA=ZACO,

ZA=ZCDB,

：./ACO=/CDB；

(2)解：连接OD,

设O。的半径为r,

,/Q)O的直径AB垂直于弦CD,CD=6,

：.DE=1.CD=?>,ABLCD,

2

在RtZXOE。中，OD2=O^+DE2,即/=(r-迎)2+32,

解得，r=2\[3,

•.•sinNOOE=IH=—返，

OD2V32

：.ZDOE=6Q°,

/.ZAOD=120°,

弧AD的长=120兀X2愿=生31T.

1803

【点评】本题考查的是垂径定理、弧长的计算，掌握弧长公式、垂径定理是解题的关键.

21.【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【分析】（1）过石作£加，2尸于根据三角函数得出即可;

（2）过E作ENLAB,交AB于点、N,根据三角函数得出CM,NE,AN,进而解答即可.

【解答】解：（1）过E作尸于M,

VZDCF=30°,CE=20米，

；.EM=CE・sin30°=10米；，

答：凉亭到地面的距离为10米；

（2）过£作EN_L4S交.AB于点N,2N=EM=10米，NE=BM,ZBNE=90°,

在RtZXCME中，CAf=C£«cos30°=10«米，

:.NE=BM=BC+CM=（25+10A/3）米，

Va=48°,

/EAN=90°-a=42°,

在Rt△⑷VE中，AN=—迎—J5+10近0（米），

tan420.9

：.AB=AN+BN=51.0米，

答：建筑物的高约为57.0米

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟

记锐角三角函数的定义是解题的关键.

22.【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用.

【分析】（1）设这个隔离区一边长为x米，则另一边3c长为上（8-x+l）米，根据

2

隔离区面积为10平方米，列出方程并解答.

（2）由（1）可知隔离区的面积表达式，配方后再根据二次函数的性质求解即可.

【解答】解：（1）设这个隔离区一边A3长为x米，则另一边3c长为2（8-x+l）米.

2

依题意，得（8-x+l）=10,

2

解得xi=5,初=4.

当x=5时，5>4.5（舍去），

当x=4时，—（8-x+l）=2.5（米）<4.5米.

2

...若面积为10平方米，隔离区的长为4米，宽为2.5米.

（2）隔离区有最大面积，理由如下：

由（1）知，隔离区的面积为x•工（8-x+1）=-l^+^c=-1（x-2）2+且1,

222228

：-1<0,

2

.•.当x=a时，隔离区有最大面积，最大面积为奥•平方米.

28

【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的

意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程及二次函数表达式.

23.【考点】几何变换综合题.

【分析】(1)由旋转的性质可判断；

(2)证明△ACOgABCE可得

(3)分。在2左右两种情况讨论，由(2)的结论可得3。的长为2A任巧或△后+入历-

【解答】解：(1)•••将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE,

：.CD=CE,ZDCE=90°,

是等腰直角三角形，

故答案为等腰直角；

(2)近BC+BD=BE,

VZACB=ZDCE=90°,

在△ACQ和△BCE中，

，AC=AB

-ZACD=ZBCE-

CD=CE

AACO^ABCE,

:.AD=BE=AB+BD=MBC+BD；

(3)当。在B的左边时，如图1,当/DEB=30°时，

：.BE=43BD,

由(2)可知△ACZ)之△2CE,

：.AD=BE=AB-BD=巧BC-BD-,

:.MBDi&C-BD,

解得276-2&；

当。在8的右边时，如图2,当/DEB=30°时，

;.BE=MBD,

由(2)可得：MBD=历BC+8D；

解得

故BD的长为276或276+272.

【点评】本题考查了旋转的性质和全等三角形的性质和判定，准确找出全等三角形和线

段的关系式解题的关键.

24.【考点】圆的综合题.

【分析】（1）①根据圆周角定理知NA=45°,再利用圆内接四边形的性质可得答案；

②连接B。，OC交于点E,则△BC。面积最大时，四边形ABC。面积最大，当

时，CE最大，从而求出答案.

（2）直线OP交。。于点M,N,过F作尸。〃AB交直线B。，AC于点P,Q,根据△

PFDsMFQ,得PF-FQ=FD'FC,再由得MF'FN=FD'FC,从而

得出PF・FQ=MF・FN,再利用平行线分线段成比例证明尸尸=尸。=!（）勺设半径为八

3

2

则（厂-4）（什4）=lr,从而解决问题.

9

【解答】解：（1）①为直径，。为第的中点，

AZA=45°,

：.ZDCB=18Q°-ZA=180°-45°=135°,

②连接BD,AC交于点E,

图1

当四边形A3C£>面积最大时，即△BCD面积最大,

当时，CE最大,

：A8=4,

:.BD=AD=2五,

：.0E=42<

."△BCD最大值为2近-2,

;

SK-^ABCD的最大值为：5AABD+SABCD=242+2

（2）直线。尸交O。于点M,N,过尸作尸。〃交直线BD,AC于点P,Q,

•・・NQ=NA=NC0E,

△PFDs'FQ,

:・PF・FQ=FD・FC,

■:/N=/MDF,ZMFD=ZCFN,

：.AMFDSACFN,

:・MF・FN=FD*FC,

:・PF・FQ=MF・FN,

U：PQ//AB,

・PFEFFQEF

**0B"EO*OA

,•.FP=Fe=l0A,

o

设半径为r,

：.(r-4)(什4)=[/，

9r

Vr>0,

.33我，

：.AB=65

【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角

形的判定与性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键，属于中考压轴题.

考点卡片

1.一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，检验和作答.

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

(1)数字问题：个位数为。，十位数是b,则这个两位数表示为10b+a.

(2)增长率问题：增长率=增长数量/原数量X100%.如：若原数是a,每次增长的百分率

为x,则第一次增长后为a(1+x)；第二次增长后为a(1+x)2,即原数X(1+增长百分率)

2=后来数.

(3)形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用相

似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程.

(4)运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会

构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解.

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1.审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系.

2.设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数.

3.歹小根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程.

4.解：准确求出方程的解.

5.验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.

6.答：写出答案.

2.两条直线相交或平行问题

直线y=fcv+b,(%W0,且左，b为常数)，当上相同，且6不相等，图象平行；当人不同，且

6相等，图象相交；当上b都相同时，两条线段重合.

(1)两条直线的交点问题

两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组

的解.

(2)两条直线的平行问题

若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即左值相同.

例如：若直线yi=笈ix+6i与直线”=也计62平行，那么所=也.

3.二次函数的性质

2

二次函数（。#0）的顶点坐标是（-上，4dbb）,对称轴直线

2a4a2a

二次函数y=a/+bx+c（〃WO）的图象具有如下性质：

①当〃>0时，抛物线y=o?+bx+c（〃W0）的开口向上，xV-_L时，y随x的增大而减小；

2a

2

x>-a时，>随X的增大而增大；x=-旦时，y取得最小值4ac-b,即顶点是抛物线

2a2a4a

的最低点.

②当a<0时，抛物线yn/+bx+cQW0）的开口向下，x<-也时，y随x的增大而增大;

2a

2

x>-a时，y随尤的增大而减小；x=-互时，y取得最大值4a0,即顶点是抛物线

2a2a4a

的最高点.

③抛物线（aWO）的图象可由抛物线y=/的图象向右或向左平移|-也|个单

2a

位，再向上或向下平移eac-b2।个单位得到的.

4a

4.二次函数图象上点的坐标特征

2

二次函数y=a?+bx+c（aWO）的图象是抛物线，顶点坐标是（-2，4ac-b）.

2a4a

①抛物线是关于对称轴X=-巨成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足

2a

函数函数关系式.顶点是抛物线的最高点或最低点.

②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值.

③抛物线与X轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（XI，0）,（X2,0）,则其

对称轴为x=—~.

2

5.二次函数图象与几何变换

由于抛物线平移后的形状不变，故。不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方

法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑

平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

6.二次函数的应用

（1）利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意，

确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量X的取值要使实际问题有

意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量X的取值范围.

（2）几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几

何中的最值的讨论.

（3）构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中

的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决

一些测量问题或其他问题.

7.等边三角形的性质

（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等

腰三角形.

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系:等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形中，

腰和底、顶角和底角是相对而言的.

（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边

的垂直平分线是对称轴.

8.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平

方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是。，b,斜边长为C,那么/+/=02.

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式/+廿=°2的变形有：a=^j^2_^2,b=NC2_22及。=力2+1）2,

（4）由于a2+b1=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形

中的每一条直角边.

9.正方形的性质

（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

(2)正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有

四条对称轴.

10.垂径定理

(1)垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

(2)垂径定理的推论

推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

11.圆心角、弧、弦的关系

(1)定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

(2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它

们所对应的其余各组量都分别相等.

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”

是指同为优弧或劣弧.

(3)正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，

三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等.这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心

旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合.

(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分.

12.圆周角定理

(1)圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上.②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可.

(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.

推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

(3)在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能

技巧一定要掌握.

(4)注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形

的顶点和底角的关系进行转化.②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”——圆心角转

化.③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，

把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.

13.点与圆的位置关系

(1)点与圆的位置关系有3种.设。。的半径为r,点尸到圆心的距离。尸=d,则有：

①点尸在圆外04＞厂

②点尸在圆上Od=r

①点P在圆内01＜厂

(2)点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的

关系可以确定该点与圆的位置关系.

(3)符号“o”读作“等价于”，它表示从符号“o”的左端可以得到右端，从右端也可

以得到左端.

14.三角形的外接圆与外心

(1)外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.

(2)外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.

(3)概念说明：

①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三

角形的外心在三角形的外部.

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆

只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个.

15.弧长的计算

(1)圆周长公式：C=2nR

(2)弧长公式：/=匚2里(弧长为/,圆心角度数为“，圆的半径为R)

180

①在弧长的计算公式中，”是表示1。的圆心角的倍数，〃和180都不要带单位.

②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长.

③题设未标明精确度的，可以将弧长用TT表示.

④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧

不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一.

16.圆的综合题

圆的综合题.

17.旋转的性质

（1）旋转的性质：

—①对应点到旋转中心的距离相等.—②对应点与旋转中心所连线段的夹角等

于旋转角.—③旋转前、后的图形全等.—（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋

转方向；③旋转角度.—注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样.

18.几何变换综合题

几何变换综合题.

19.比例的性质

（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项，

中间的两项叫做比例的内项.

（2）常用的性质有：

①内项之积等于外项之积.若旦=0，则〃/=6c.

bd

②合比性质.若包=■£,则空灯=£旭.

bdbd

③分比性质.若包=£,则三”=£二包.

bdbd

④合分比性质.若2=q,则空曳=£也.

bda-bc-d

⑤等比性质.若至=义=-=叫（6+d+…+〃#0）,则a+c+……里=四.

bdnb+d+...+nn

20.相似三角形的性质

相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相

似.

（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.

（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；

相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比.

（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方.

由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比

等于相似比的平方.

21.相似三角形的判定与性质

（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等

和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等.