2022年北京二中初二（下）期中数学试卷及答案

1/12022北京二中初二（下）期中数学一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）1．下列根式是最简二次根式的是A． B． C． D．2．如图，矩形的对角线与相交于点，，，则A．12 B． C．6 D．33．以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是A．1，1，1 B．2，3，4 C．1，，2 D．，3，54．如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，若，，则A．5 B．8 C．14 D．165．如图，已知三个顶点坐标是、、，那么第四个顶点的坐标是A． B． C． D．6．如图，四边形的对角线和相交于点，下列不能判定四边形为平行四边形的条件是)A．， B．， C．， D．，7．如图，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线的长为)A． B． C． D．8．如图，矩形的顶点的坐标为，则长为A． B． C．5 D．49．如图，点、、、分别是四边形的边、、、的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若与互相垂直且相等，则四边形是正方形；④若四边形是平行四边形，则与互相平分．其中正确的个数是A．1 B．2 C．3 D．410．七巧板是一种古老的汉族传统智力游戏，由七块板组成，可拼成许多图形种以上）．现在用边长为4的正方形制作的七巧板拼成一幅土家摆手舞图案，其中舞者头部正方形的面积是A．1 B．2 C．4 D．6二、填空题（每题2分，共16分）11．（2分）如果代数式有意义，那么的取值范围是．12．（2分）已知三角形三边之长你能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦秦九韶公式”．已知在中，，，，的面积是．13．（2分）如图，在正方形内部作等边，连接．则的度数为．14．（2分）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索的长为尺，根据题意，可列方程为．15．（2分）如图，数学课上老师给出了以下四个条件：两组对边分别相等；一组对边平行且相等；一组邻边相等；一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式：①，，；②，，；③，，．你认为能得到正方形的是．（填写你认为正确的序号）16．（2分）把图1中边长为10的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为16，将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形，则图2中的阴影的面积为．17．（2分）如图，点在上，点在上，矩形的边长分别是4和6，则正方形的边长为．18．（2分）在正方形中，，点、分别为、上一点，且，连接、，则的最小值是．三、解答题（共54分）19．（4分）计算：20．（4分）计算：．21．（4分）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形是平行四边形．求作：菱形（点在上，点在上）．作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点；②以为圆心，长为半径作弧，交于点；③连接．所以四边形为所求的菱形．（1）根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（要求使用0.5黑色签字笔保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：，，．在中，，即．四边形为平行四边形．（填推理的依据），四边形为菱形．（填推理的依据）22．（5分）在中，，，，求的长．23．（6分）如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．（1）在图①中，画一个面积为6的平行四边形；（2）在图②中，画一个面积为5的正方形；（3）在图③中，画一个三边长分别为，4，的三角形．24．（5分）如图，在四边形中，，，、分别为、的中点，连接，，．，平分．判断的形状并证明．25．（6分）如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接，．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，，求的长．26．（6分）把根式进行化简，若能找到两个数、，使且，则把变成，然后开方，从而使得化简．例如：化简．解：，．利用上述方法完成下列各题（结果要化为最简形式）（1）；（2）；（3）中，，，，的长为．27．（7分）在正方形中，是边上一点，，交于点．（1）如图1，过点作，交边于点．求证：；（2）的垂直平分线分别与，，交于点，，，连接．①依题意在图2中补全图形；②用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系中，若，为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“相关矩形”．图1为点，的“相关矩形”的示意图．已知点的坐标为．（1）如图2，点的坐标为．①若，则点，的“相关矩形”的面积是；②若点，的“相关矩形”的面积是5，则的值为．（2）如图3，等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为．点的坐标为．若在的边上存在一点，使得点，的“相关矩形”为正方形，请直接写出的取值范围．

参考答案一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）1．【分析】根据最简二次根式的定义，即可判断．【解答】解：、，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故不符合题意；、是最简二次根式，故符合题意；故选：．【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．2．【分析】利用矩形的对角线平分且相等来进行计算即可．【解答】解：四边形是矩形，，，在中，，，，，．故选：．【点评】本题考查的是矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质．3．【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．4．【分析】根据题意和题目中的图形，可以发现，，，再根据，，即可得到的值．【解答】解：，，，，分别表示三个正方形的面积，，，，，，，故选：．【点评】本题考查勾股定理、正方形的性质，解答本题的关键是发现，，．5．【分析】过作轴于，过作轴于，过作于，和交于，求出，根据全等三角形的性质得出，，根据、、的作求出和即可．【解答】解：过作轴于，过作轴于，过作于，和交于，则四边形是矩形，所以，，，，四边形是平行四边形，，，，，在和中，，，，、、，，，，，的坐标为，故选：．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，点的坐标与图形性质等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．6．【分析】利用选项中的条件依次证明，即可求解．【解答】解：，，在和中，，，，又，四边形为平行四边形，故选项不合题意；，，，，，又，四边形为平行四边形，故选项不合题意；，，四边形为平行四边形，故选项不合题意；故选：．【点评】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．7．【分析】利用菱形的性质以及勾股定理，求得的长，继而可求得的长，然后由菱形的面积公式可求得线段的长．【解答】解：如图，设与的交点为，四边形是菱形，，，，，，，故选．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积公式是解题的关键．8．【分析】由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可得，即可求即解．【解答】解：如图，连接，点的坐标为，，四边形是矩形，，故选：．【点评】本题考查了矩形的性质，两点距离公式，掌握矩形的性质是解题的关键．9．【分析】根据“一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形”进行判断即可．【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，故④错误；当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，故①②错误，若与互相垂直且相等，则四边形是正方形，故③正确．所以正确的有1个，故选：．【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．10．【分析】连接，根据正方形与三角形的面积公式可得答案．【解答】解：连接，四边形的边长为4，，正方形对角线把面积分成4等份，，，，故选：．【点评】此题考查的是七巧板的知识，解答本题时要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要注意数形结合．二、填空题（每题2分，共16分）11．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，，解得，，故答案为：．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．12．【分析】直接利用已知计算公式得出的值，进而利用面积公式计算得出答案．【解答】解：，，分别表示三边之长，表示周长的一半，即，，的面积为：．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确运用运算公式是解题关键．13．【分析】根据等边三角形的性质可得，根据正方形的性质可得，从而得到，再根据等边对等角可得，然后求出，再求出的度数即可．【解答】解：是等边三角形，，四边形是正方形，，，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．14．【分析】设绳索的长为尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程．【解答】解：设绳索的长为尺，则木柱的长为尺，在中，由勾股定理得，，，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．15．【分析】①由条件可得到四边形是平行四边形，添加得到平行四边形是菱形，再添加得到菱形是正方形，①正确；②由条件得到四边形是平行四边形，添加得到平行四边形是菱形，再添加得到矩形是正方形，②正确；③由和都可得到四边形是平行四边形，再添加得到平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，③不正确．【解答】解：①由得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；②由得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；③由得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；故答案为：①②．【点评】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键．16．【分析】根据菱形的性质对角线互相垂直，利用勾股定理可得另一条对角线长的一半为6，所以图2所示的阴影的正方形边长为，进而可得结论．【解答】解：因为菱形的一条对角线长为16，所以它的一半是8，菱形的边长为10，因为菱形对角线互相垂直，根据勾股定理，得所以另一条对角线长的一半为6，所以图2所示的阴影的正方形边长为，所以图2中的阴影的面积为4．故答案为：4．【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等图形，解决本题的关键是求出图2中小正方形的边长．17．【分析】根据相似三角形的性质得到，便可求得正方形的边长．【解答】解：四边形是正方形，四边形是矩形，，，，，，，由已知，，，．故答案为：．【点评】本题考查了正方形和矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形判定和性质．18．【分析】连接，根据正方形的性质证明，可得，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则，可得，所以当点与点重合时，最小，最小值为的长，然后根据勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，连接，四边形是正方形，，，在和中，，，，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则，，当点与点重合时，最小，最小值为的长，在中，根据勾股定理得：，的最小值是．故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握正方形的性质．三、解答题（共54分）19．【分析】先将各项化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【解答】解：原式．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．20．【分析】先化简，再算除法，最后算加法即可．【解答】解：．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．21．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可．【解答】解：（1）四边形为所求作的菱形．（2），，，在中，．即．四边形为平行四边形（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）．，四边形为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形．故答案为：，，邻一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，边相等的平行四边形是菱形．【点评】本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．【分析】过点作，垂足为，如图，在中，由已知条件，，根据含角的直角三角形性质可得，由余弦函数可得，即可算出的长，在中，由勾股定理可得的长度，由即可得出答案．【解答】解：过点作，垂足为，如图，在中，，，，，，；在中，，，，．【点评】本题主要考查了解直角三角形及勾股定理，根据题意添加辅助线构造直角三角形，应用三角函数及勾股定理进行求解是解决本题的关键．23．【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可；（2）作一个边长为的正方形即可；（3）利用数形结合的思想画出图形即可．【解答】解：（1）如图①中，平行四边形即为所求；（2）如图②中，正方形即为所求；（3）如图③中，即为所求．【点评】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．24．【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，求出，根据三角形中位线定理得到，，根据等腰直角三角形的概念判断即可．【解答】解：是等腰直角三角形，理由如下：平分，，，在中，，为的中点，则，，，、分别为、的中点，，，，，，，是等腰直角三角形．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．25．【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再由，得，，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；（2）由勾股定理的逆定理证是直角三角形，，再由面积法求出，然后由矩形的性质得，，最后由勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，，四边形是平行四边形，又，，平行四边形是矩形；（2）解：四边形是平行四边形，，，，，是直角三角形，，的面积，，由（1）得：，四边形是矩形，，，，．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．26．【分析】（1）根据完全平方公式变形后化简即可；（2）根据完全平方公式变形后化简即可；（3）先根据勾股定理求出，再根据完全平方公式变形后化简即可．【解答】解：（1），故答案为：；（2），故答案为：；（3）由勾股定理得，故答案为：．【点评】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．27．【分析】（1）在上取一点，使，过点作交于，利用证明，得，，再根据四边形内角和定理可得，则，从而证明结论；（2）①根据线段垂直平分线的定义画出图形即可；②连接并延长交于点，由（1）同理可证，，再根据勾股定理可得结论．【解答】（1）证明：如图，在上取一点，使，过点作交于，，，，四边形是正方形，，，，，，在与中，，，，，，，，；（2）①解：补全图形如下：②解：，理由如下：连接，，并延长交于点，四边形