考研数学三(微积分)模拟试卷10(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）模拟试卷10(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．已知y=x/lnx是微分方程y’=y/x+φ(x/y)的解，则φ(x/y)的表达式为A．-y2/x2B．y2/x2C．-x2/y2D．x2/y2正确答案：A涉及知识点：微积分2．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y.+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2B．λ=-1/2,μ=-1/2C．λ=2/3,μ=1/3D．λ=2/3,μ=2/3正确答案：A涉及知识点：微积分3．若f(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内A．有极值点，无零点．B．无极值点，有零点．C．有极值点，有零点．D．无极值点，无零点．正确答案：B涉及知识点：微积分4．设u=e-xsinx/y,则э2u/эxэy在点（2,1/π）处的值________。正确答案：π2/э2涉及知识点：微积分5．设an＞0(n=l，2，…)，Sn=a1+a2+…+an，则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分也非必要条件正确答案：B解析：解决数列极限问题的基本方法是：求数列极限转化为求函数极限;利用适当放大缩小法(夹逼定理);利用定积分定义求某些和式的极限.知识模块：微积分6．“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n>N时，恒有｜xn-a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的A．充分条件但非必要条件B．必要条件但非充分条件C．充分必要条件D．既非充分条件又非必要条件正确答案：C解析：函数与极限的几个基本性质：有界与无界，无穷小与无穷大，有极限与无极限(数列的收敛与发散)，以及它们之间的关系，例如，有极限→(局部)有界，无穷大→无界，还有极限的不等式性质及极限的运算性质等．知识模块：微积分7．设函数f(x)在(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是A．若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛B．若{xn}单调，则{f(xn)}收敛C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛D．若{f(xn)}单调，则{xn}收敛正确答案：B涉及知识点：微积分8．函数f(x)=[丨x丨sin(x-2)]/[x(x-1)(x-2)2]存下列哪个区间内有界．A．(-1，0)B．(1，0)C．(1，2)D．（2,3）正确答案：A涉及知识点：微积分9．设f(x)=ln10x，g(x)=x，h(x)=ex/10，则当x充分大时有A．g(x)<h(x)<f(x)．B．f(x)<g(x)<h(x)．C．h(x)<g(x)<f(x)D．g(x)<f(x)<h(x)．正确答案：C涉及知识点：微积分10．设函数f(x)任(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是A．若{xn}收敛，则{f（xn）}收敛．B．若{xn}单调，则{f（xn）}收敛．C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛.D．符{f(xn)}单调，则{xn}收敛．正确答案：B涉及知识点：微积分11．设可微函数f(x，y)在点(xo，yo)取得极小值，则下列结论正确的是A．f(xo，y)在y=yo处的导数等于零．B．f(xo，y)存y=yo处的导数大于零．C．f(xo，y)在y=yo处的导数小于零．D．f(xo，y)在y=yo处的导数不存在．正确答案：D涉及知识点：微积分12．设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是A．C[y1(x)-y2(x)]．B．y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]．C．C[y1(x)+y2(x)]．D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]．正确答案：B涉及知识点：微积分13．y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+y2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2.B．λ=-1/2,μ=-1/2.C．λ=2/3,μ=1/3.D．λ=2/3,μ=2/3.正确答案：A涉及知识点：微积分14．微分方程y”+y=x2+1+sinx的特解形式可设为A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y*=ax2+bx+c+Acosx．正确答案：A涉及知识点：微积分填空题15．当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则a=______,b=______.正确答案：1,-1/6涉及知识点：微积分16．已知当x→0时，函数f(x)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则k=_______,c=______.正确答案：3,4涉及知识点：微积分17．设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz丨(1，0)=___________.正确答案：2edx+(e+2)dy涉及知识点：微积分18．设z=(x+ey)x，则θz/θx丨(1，0)=___________.正确答案：2ln2+1涉及知识点：微积分19．设函数z=(1+x/y)x/y,则dz丨(1，1)=___________.正确答案：-(2ln2+1)涉及知识点：微积分20．设z=f(xy,x/y)+g(y/x)，其中f,g均可微，则θz/θx=________.正确答案：yf1’+(1/y)f2’-(y/x2)g’涉及知识点：微积分21．设函数f(u)可微，且f(0)=1/2，则z=f(4x2-y2)在点(1，2)处的全微分dz丨(1，2)=_________.正确答案：4dx-2dy涉及知识点：微积分22．微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为__________.正确答案：2/x涉及知识点：微积分23．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=________.正确答案：1/x涉及知识点：微积分24．微分方程y”-2y’+2y=ex的通解为________.正确答案：ex(C1cosx+C2sinx+1)涉及知识点：微积分25．微分方程y”-4y=e2x的通解为________.正确答案：C1e2x+C2e-2x+x/4e2x涉及知识点：微积分26．二阶常系数非齐次线性微分方程y”-4y’+3y=2e2x的通解为y=_______.正确答案：C1ex+C2e3x+2e2x涉及知识点：微积分27．差分方程yt+1-yt=t2t的通解为_______.正确答案：C+(t-2)2t涉及知识点：微积分28．差分方程2yt+1+10yt-5t=0的通解为_______.正确答案：C(-5)t+5/12(t-1/6)涉及知识点：微积分29．某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元．若以W1表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则Wt满足的差分方程是__________．正确答案：Wt=1．2t-1+2解析：第t年的工资总额W1(百万元)是两部分之和，其中一部分是同定追加额2(百万元)，另一部分比前一年的工资总额Wt-1多20％，即是Wt-1的1：2倍．于是可得Wt满足的差分方程是Wt=1.2t-1+2．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。设F(x)=F(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(-∞，+∞)内满足以下条件：f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)且f(0)=0，f(x)+g(x)=2ex．30．求F(x)所满足的一阶微分方程；正确答案：F’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)=g2(x)+f2(x)=[f(x)+g(x)]2-2f(x)g(x)=(2ex)2-2F(x)，可知F(x)所满足的一阶微分方程为F’(x)+2F(x)=4e2x．涉及知识点：微积分31．求F(x)的表达式．正确答案：e2x同乘方程两边，可得[e2xF(x)]’=4e4x，积分即得e2xF(x)=e4x+C，于是方程的通解是F(x)=e2x+Ce-2x．将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，可确定常数C=-1．故所求函数的表达式为F(x)=e2x-e2x.涉及知识点：微积分32．求微分方程y”-2y’-e2x=0满足条件y(0)=1，y’(0)=1的解．正确答案：齐次方程y”-2y’=0的特征方程为λ2-2λ=0．由此求得特征根λ1=0，λ2=2.对应齐次方程的