概率论与数理统计复习题答案-第四版-盛骤

概率论与数理统计复习题答案第四版盛骤(浙江大学)浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率论的基本概念P25第三题：3.（1）设A，B，C是三事件，且，.求A，B，C至少有一个发生的概率。解：P(A，B，C至少有一个发生)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+P(ABC)=已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P（AC）=1/15，P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30，求的概率。已知P（A）=1/2，（i）若A，B互不相容，求,（ii）若P（AB）=1/8，求。例五：某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记又有以下的数据:元件制造厂次品率提供原件的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.（1）在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率;（2）在仓库中随机地取一只元件,若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少。试求这些概率。解：设A表示“取到的是一只次品”,Bi(i=1,2,3)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”.易知,B1,B2,B3:是样本空间S的一个划分，且有P(B1)=0.15,P(B2)=0.80,P(B3)=0.05，P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.03.(1)由全概率公式P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.0125.(2)由贝叶斯公式.以上结果表明，这只次品来自第2家工厂的可能性最大.P26第六题6.病树的主人外出.委托邻居浇水，设已知如果不浇水，树死去的概率为0.8.若浇水则树死去的概率为0.15.有0.9的把握确定邻居会记得浇水.(1)求主人回来树还活着的概率.(2)若主人回来树已死去,求邻居忘记浇水的概率.例2一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性，如图1-8.设有4个独立工作的元件1,2,3,4按先串联再并联的方式连接(称为串并联系统).设第i个元件的可Ⅰ12ⅡⅠ12Ⅱ34图1一8解：以Ai(i=1,2,3,4)表示事件“第i个元件正常工作”，以A表示事件“系统正常工作”.系统由两条线路I和II组成(如图1-8).当且仅当至少有一条线路中的两个元件均正常工作时这一系统正常工作,故有A=A1A2UA3A4.由事件的独立性，得系统的可靠性P(A)=P(A1A2)+P(A3A4)-P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=P1P2+P3P4-P1P2P3P4例2按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品。已知某一大批产品的一级品率为0.2.现在从中随机地抽查20只。问20只元件2o中恰有k只(k=0,1...20)为一级品的概率是多少?解：这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大，且抽查的元件的数量相对于元件的总数来说又很小，因而可以当作放回抽样来处理,这样做会有一些误差，但误差不大.我们将检查一只元件看它是否为一级品看成是一次试验，检查20只元件相当于做20重伯努利试验.以X记20只元件中一级品的只数，那么，X是一个随机变量，且有X~b(20,0.2).由(2.6)式即得所求概率为P{X=k}=(0.2)k(0.8)20-k，k=0,1，...，20将计算结果列表如下:P{X=0}=0.012P{X=4}=0.218P{X=8}=0.022P{X=1}=0.058P{X=5}=0.175P{X=9}=0.007P{X=2}=0.137P{X=6}=0.109P{X=10}=0.007P{X=3}=0.205P{X=7}=0.055当k≥11时，P{X=k}<0.001为了对本题的结果有一个直观了解，我们作出上表的图形，如图2-3所示，从图2-3中看到，当k增加时，概率P(X=k}先是随之增加,直至达到最大值(本例中当k=4时取到最大值)，随后单调减少.我们指出，一般，对于固定的n及p，二项分布b(n,p)都具有这一性质.O123456789kP{X=k}O123456789k例3某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。解：将一次射击看成是一次试验，设击中的次数为X.则X~b（400,0.02）X的分布律为于是所求概率为P{X≥2}=1-P{X=0}-P{X=1}=1-(0.98)400-400(0.02)(0.98)399=0.9972.例5计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片，次品率达0.1%，各芯片成为次品相互独立.求在1000只产品中至少有2只次品的概率.以X记产品中的次品数,X~b(1000,0.001).解：所求概率为P{X≥2}=1-P{X=0}-P{X=1}=1-(0.999)1000-(0.999)999(0.001)≈1-0.3676954-0.3680635≈0.2642411.利用(2.7)式来计算得,λ=1000*0.001=1P(X>2)=1-P(X=0)-P{X=1)≈1-e-1-e-1≈0.2642411.显然利用(27)式的计算来得方便.一般，当n≥20,p≤0.05时用的近似值效果颇佳。例1设随机变量X的分布律为X-123Pk1/41/21/4求X的分布函数,并求.解X仅在x=-1,2,3三点处其概率≠0,而F(x)的值是X≤x的累积概率值，由概率的有限可加性，知它即为小于或等于x的那些xk处的概率Pk之和，有即：1F(x)的图形如图2-5所示，它是一条阶梯形的曲线，在x=-1.2.3处有跳跃点,跳跃值分别为1/4,1/2,1/4.又1-1O123-1O123这里和式是对于所有满足xk≤x的k求和的.分布函数F(x)在x=xk(k=1,2，...)处有跳跃,其跳跃值为pk=P{X=xk).P43例1设随机变量X具有概率密度确定常数k;(2)求x的分布函数F(x);(3)求P{1<X≤7/2}.解：（1）X的分布函数为（3）P49例3将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内.调节器整定在℃，液体的温度X(以℃计)是一个随机变量,且X~N(d,0.52).(1)若d=90℃,求X小于89℃的概率.(2)若要求保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99,问d至少为多少?解：（1）所求概率为（2）按题意需求d满足P58第二十六题26.设X~N(3,22)(1)求P{2<X≤5},P{-4<X≤10},P{|X|>2},P{X>3}.(2)确定c,使得P{X>c}=P{X≤c}.(3)设d满足P{X>d}≥0.9,问d至多为多少?P50例1设随机变量X具有以下的分布律，试求Y=(X-1)2的分布律，X-1012Pk0.20.30.10.4解:Y所有可能取的值为0,1.4.由P(Y=0}=P{(X-1)2=0}=P(X=1}=0.1.P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7，P{Y=4}=P{X=-1}=0.2。既得Y的分布律为Y014Pk0.10.70.2例2设随机变量X具有概率密度求随机变量Y=2X+8的概率密度.解：分别记X,Y的分布函数为FX（x），FY（y）.下面先来求FY（y）.将FY（y）关于y求导数，得Y=2X+8的概率密度为例3：设随机变量X具有概率密度求Y=X2的概率密度.解：分别记X，Y的分布函数为FX（x），FY（y）.先来求