《高中数学总复习四十三讲》(下)

第三十四讲

分类计数原理与分步计数原理

最对本部分内容的考查呈现以下特点：

新1.分类计数原理和分步计数原理是排列组合问题的基础和依据，虽然不是每年都单独命题，但是

命其中的思想贯穿于整个排列组合中.

题2.考查内容：两个原理.

特3.考查形式：选择题居多，通常是贯穿于排列组合的其他题目中出现.难度一般不大，属于中低

点档题型.

预计：典型例题仍然要有题目涉及，综合出现在解答题中的可能性较大.

应两个原理看起来简单，但是要真正学会并能理解应用不是很容易的事，特别是两个原理的整合应

试用是高考中丢分的关键因素.

高

分

瓶

颈

命题点1分类计数原理（加法原理）

命题点2分步计数原理（乘法原理）

本类考题解答锦囊

命题点1分类计数原理（加法原理）

解答“分类计算原理”一类试题应注意：

1.分类计数原理是强调完成件事情的几类方法互不干扰，彼此之间的交集是空集，并集是全集.不论

哪类方法中的哪一种方法都能单独完成这件事，办法中的各种方法也是相互独立的.

2.正确区分分步计数原理与分类计数原理.

I高考最新热门题

1（典型例题）从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数学组成没有重复数字的四位

数，其中能被5整除的四位数共有一个.（用数字作答）命题目的与解题技巧：①本题主要考查分步计数

原理与排列的基本知识.②抓住0不能在首位且个位只能是0或5来讨论是正确解题的关键.

［解析］①当个位是0时，0_

CCA=4X3X4X3=144.

②当个位不是。且含0,5_

则个位必为5,先为0选位置.

CCCA=2X3X4X2=48.

③当不含。时，个位必为5,5

CCA=3X6X3X2=108.

二共有144+48+108=300个.

［答案］300

2（2002•广东、河南）［文理］从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有

A.8种B.12种C.16种D.20种

答案：C指导：甲一AfB~CfD~甲

由上表知A,D不为甲.

（1）若B为甲，则不同传法=4种.

（2）若B不为甲，而C为甲，

则不同传法C；XC；XC；=4种.

(3)若9不为甲，C不为甲，则©=2.

综上知，共有传球方法4+4+2=10种.

3(典型例题)从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种.在这些取法中,

以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m,则m等于

答案：A指导：若选择三个不同的数，(且不含0)共有居+A/+4++A］=168种.

若选择三个不同的数(含0)共有8+7+6+5+…+1=36种若选择二个数，共有8+7+6+…+1=36种..,.共

有168+36+36=240种

4(典型例题)在由数学1、2、3、4、5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的

数共有

A.56个B.57个C.58个D.60个

答案：D指导：从01至10中连续选3个，共有8种选法，

从11至20个连续选2个，共有9种选法，

从21至30个选1个，共有10种选法，

从31至36中选1个，共有6种选法.

二共有8X9X10X6种号码

，共有8X9X10X6X2=8640元故选D.

5(典型例题)从0,1,2,3,4,5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的

三位数共有个.(用数字作答)

11题点经典类型题

1(典型例题)等腰三角形的三边均为正数.它们周长不大于10.这样不同形状的三角形的种数为

A.8B.9C.10D.11

命题目的与解题技巧：①考杳分类计数原理；②合理分类，注意条件“周长不大于10”

［解析］设三边为x,y,z,则x+y+zW10,由三边关系共有

(1,1,1),(1,2,2),(1,3,3),(1,4,4),(2,2,2),(2,2,3),

(2,3.3),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4)共10种.

［答案］C

2(典型例题)三人传球，由甲开始发球，并作第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传

球方式共有

A.6种B.8种C10种D.16种

3(典型例题)如果三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数一共有

A.240个B.285个C.231个D.243个

4(典型例题)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元。某人想从01至10

中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至扣中选1个号，从31至36中选1个号组成•

注，则这个人把这种特殊要求的号买全，至少要

A.3360元B.6720元C.4320元D.8640元

m新高考命题探究

1如图34-1-1,花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只

能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案

图34-1-1

A.180种B.240种C.360种D.420种

D指导：⑴当1；2,4；3,5.仅三种花卉时，有混种.

（2）当1；2,4；3,5恰四种时,有娘种.

⑶当1；2,4；3,5恰四种时,有川种.

（4）当栽种五种时，有种.

2在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为1,2,3,4的四个品种的小麦，但1号地不能种1

号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，那么有多少不同的试种方案？

分两类.04号地种4号小麦，1号地有2种试种方法，2、3号

地只有1种试种方法，共有2种种法.②土地编号与小麦

编号都不相同，第1号土地有3种试种方法，若1号地种的

是第1.号小麦，则第1.号土地有3种种法，余下的两块地只有

1种种法，共有3X3=9种试种方法.由分类计数原理试种方

案共有2+9=11种.

命题点2分步计数原理（乘法原理）

本类考题解答锦囊

解答“分类计数原理”一类试题要弄清以下两问题:

1.分步计数原理强调各个步骤缺一不可，需要一次完成所有的步骤才能完成事件，步与步之间互不影

响，即前一步使用什么方法不影响后一步采取什么方法，也就是步与步之间相互依存，只有连续性，但每

步中的不同方法却相互独立，互不干扰.

2.通常把完成题设事件的所有方法分为若干个“互斥类”，又在同一类中将完成事件的方法分成若干

个“独立步”，以保证“不重、不漏”.

I高考最新热门题

1（典型例题）将3种作物种植在如图34—1—2,5块试验田里.，每块一

种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法|||||

共有一种。（以数字作答）图34-1-2

命题目的与解题技巧：①本小题主要考查分类、分步计数原理等基础知识，以及运用所学知识解决实际问

题的能力.②抓住了3种种子都种在试验田中这一特点，是正确解题的关键.

［解析］分别用a,b,c表示3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设先放入a,再安排第

二块田有b或c两种作物，有2种方法，不妨设放入A,卜.面对第三块田种。或c进行分类：

（1）若第三块田种c,则第四、五块田分别有2种方法，共2X2种方法；

（2）若第三块田种a,则第四块田仍有b或c两种作物可放；

①若第四块田放c,则第五块田有2种方法；

②若第四块田放b,则第五块田只能放c,有2种方法.综上，共有3x2x［2x2+（2+l）］=42种方法.

［答案］42

2（典型例题）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节

目插入原节目单中，那么不同插法的种数为

A.42B.30C.20D.12

答案：A指导：第一步，先插入第一个节目，有6种插入法.

第二步，再插入第二个节目，有7种捕人法.

故共有7X6=42种.

3（典型例题、河南）圆周上有2n个等分点（n〉l）,以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为一

答案：2n(n—1)指导：2n(n—1)圆周上有2n个等分点，因此，有n条直径，每条直径为斜边，有2n—2

个直角三角形，故共有n«(2n-2)=2n(n-l)个直角三角形.

4(典型例题)设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过

5次跳动质点落在点(3,0)(允许重复过此点)处，则质点不同的运动方法共有种(用数字作答).

答案：5指导：设每次跳动的值为x(i=l,2,2,3,5),则根据题意得5=3.必有4个1和一个-1,共有

方法

=5(种).

5(典型例题)如图3所示，•个地区分为52个行政区域，现给地图着色，

要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共Q

有种.(以数字作答)

答案：72指导：先排1区，有4种方法；再排2区，有3种方法：接着排3区，

有2种排法.下面对4区涂色情况进行分类；若4区与2区同色，有1种方法，此时5区有2种方法，若

4区与2区不同色，则1、2、3区不同色，故4区也只有1种方法，此时5区只有1种方法，故共有4X3

X2X(1X2+1X1)=72(种).

H题点经典类型题

1(典型例题)甲乙丙三个单位分别需要招聘工作人员2人、1人、1人，现从10名应聘人员中招聘4人到甲

乙丙三个单位，那么不同的招聘方法共有

A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种

命题目的与解题技巧：①考查分步计数原理与组合知识；②合理分步是解决此类问题的关键

［解析］第一步先从10人中选2个有种，再从8人中选1个人有种，再从7人中选1个人有种，故

共有=2520种方法.

［答案］C

2(典型例题)某文艺团体卜基层进行宣传演出，原准备的节目表有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序

不变，在它们之间再插入2个小品节目，并且这2个小品节目在节目表中既不排头，也不排尾，那么不同

的插入方法有

A.20种B.30种C.42种D.56种

答案：B指导：由题意知，将第一个小品节目插人节目单中，有eg

种插法.

将第二个小品节目插入节目单中，有以种插法.

则共有以煤=30种安排方法.

3(典型例题)由0,1,2,•••,9这十个数字组成的、无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的

绝对值等于8的个数为

A.180B.196C,210D.224

答案：C指导：由题意知可能情况有

(1)_08,(2)____8_0,(3)____1_9,(4)___9_1_

对⑴、(2)都有不同数字屑=8X7=56种.

对⑶、(4)都有不同数字=49种.

则共有(56+49)X2=210种不同四位数.

4（典型例题）某电子器件的电路中，在A、B之间有C、D、E、F四个焊点（如图34—卜5）.如果焊点脱落,

则有可能导致电路不通，今发现工A、B间电路不通，则焊点脱落的不同情况有种.

答案：13指导：焊点C是否脱落有12种选法.D、E、F均有2种选法.则有万=16种方案.

而全不脱落电路畅通，有1种方案，恰D、E中一个脱落，

图34-1-5

种方案.故断路方案有16-1-C\=13种.

m新高考命题探究

1.某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字（如

2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0.千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共

有

A.90个B.99个C.100个D.112个

答案：C指导：千位上数字的取法引C；（），百位上数字的取法共设计方案=100种，也即有100个密码.

2.如图34-1-6所示，用不同的五种颜色分别为A、B、C、D、E五部分着色，相邻部分不能用同一种颜色，

但同一种颜色可以重复使用，也可不使用，则符合这种要求的不同着色的方法种数是

A.120B.240C.480D.540

答案：D指导：为A着色有感种，为B着色有种为C着色

种，为E着色有心种.

为D着色有种.故共有=540种

第三十五讲排列与组合

最对本部分内容的考杳呈现以下特点：

新1.排列组合不仅是高中数学的重点问题，同时在实际中有很大的用处，因比在高考中经常有题目涉

命及.

题2.考查内容：排列、组合的概念、排列数与组合数、排列组合的应用.

特3.考查形式：单独命题是通常出现在选择或填空题中，有时候和组合及概率相结合出现在解答题

点中.难度相对较小，属于高考中的中低档题目'

预计：典型例题仍然要有题目涉及，出现在解答题中的可能性较大.

成1.排列中读不清题目中的关键字（如“在”与“不在”、“邻”与“不邻”等）是导致丢分的因素之

试

高2.组合中读不清题目中的关键字（如“恰好”、“至多”、“至少”、“既有…又有…”等）是导致丢分

同的因素之一.

分3.针对于不同类型的题目灵活使用不同的方法是本部分的难点.

瓶

颈

命题点1排列

命题点2组台

命题点1排列

本类考题解答锦囊

解答“排列”一类试题应注意以下几方面:

1.本题考查二次函数的一般式，函数性质和排列组合的应用.

2.关键是对二次函数、偶函数弄清楚.

3.“在”与“不在”的问题应该使用“优先法”.优先考虑特殊位置或者特殊元素，对这些特殊位置或

者特殊元素进行优先排列.

4.“邻”与“不邻”的问题中：“邻”的问题应使用“捆绑法”；“不邻”的问题应使用“插空法

I高考最新热门题

1（典型例题）从一1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax/6x+c的系数，可组成不同的二

次函数共有个，其中不同的偶函数共有个.（用数字作答）

命题目的与解题技巧：①本题考查二次函数的一般式，函数性质和排列组合的应用②关键是对二次函数，

偶函数弄清楚.

［解析］•••aHO,；.a应从除0外的三个数中任取一个有个.b、c应从剩下的三个中任取2个，有

种取法.则组成不同的二次函数共有=18个，组成偶数函数必满足aKO,b=O,则有4；=6个.

［答案］6

2（典型例题）某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排

2名，则不同的安排方案种数为

A.B.c.D.2A：

答案：B指导：分两步：①把4名学生平均分成两组，有方法：丹•一=!需；②把两组学生分到六个

22

班级的两个班中，；居种方法，故共有方案;解C；种，选B

3（典型例题）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不

能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是

A.234B.346C.350D.363

答案：B指导：前排中间的3个座位不能坐，有排法A金，其中左；相邻的分三类，在前排的其中

的4个座位有3A瓢，则符合条，的排法的种数中A*-34”3A”11艰=346,故选B另解：分三类：①

两人坐在前排，按要求有4•6+4•5=44

种坐法.

②两人坐在后排，按要求有：A|2|=110种坐法.

③两人分别坐在前后排，有8X12X2=192种

共有346种排法.

4（2002•京皖）从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两

名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有

A.280种B.240种C.180种D.96种

答案：指导：

翻译III

因为甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，因此，翻译工作从余卜的四名志愿者选一人有种，再从余卜

的5人中选3人从事导游、导购、保洁有4种，因此用A9=240题点经典类型题

n题点经典类型题

1（典型例题）5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多大或不排，但相邻两天不能排同一

人，值日表排法的总数为

A.120B.324C.720D.1280

命题目的与解题技巧：考查排列知识，用“涂色原理”.

［解析］分五步：5X4X4X4X4=1280,故选D

［答案］D

2（典型例题）用1个1,2个2,3个3这样6个数字可以组成多少个不同的6位数

A.20B.60C.120D.90

答案：B指导：由题有单_=60故选B.

A粥

3（典型例题）有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有

A.24种B.36种C.60种D.66种

答案：B指导：先排甲、乙外的3人，有另种排法，再插入甲、乙两人，有屑种方法，又甲排乙的左

边和甲排乙右边各占;故不同方法数有:A八曷=36种.

4（典型例题）用0,3,4,5,6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位

数的个数是

A.36B.32C.24D.20

答案：D指导：按首位数字的奇偶分两类：若首位是奇数，则共有种方法，若首位是偶数，则共有

（君-A^）娘种方法.…这样的五位数共有照A1+（A1-姆）舄=20种.

m新高考命题探究

1百米决赛有6名运动员A、B、C、D、E,F参赛，每个运动员速度不同，则运动员A比运动员9先到终点

的比赛结果共有

A.360B.240C.120I）.48

答案：A指导：由A比F先到终点.又A与F先到终点的机会均等，故只需对六人全排后除以2

即就/2=360.选A

26名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站在第一道也不能站在第二道，乙必须站在第五

或第六道，则不同排法种数共有

A.144B.96C.72D.48

答案：A指导：先为乙选一道C；,再为甲选一道或余下4人排法有m，则共有C；8<=144.

3从6名短跑运动员中选出4人参加4x100米接力赛，如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方

案有

A.180种B.240种C.300种D.360种

答案：指导：分三种情况：⑴甲、乙都不参加，有*=24种；（2）甲、乙仅有1人参加.有2c=144

种：

（3）甲、乙两人都参加，有后照72种.由分类计数原理.•.共有24+144+72=240种.

命题点2组合

本类考题解答锦囊

解答“组合”一类试题应注意以下几点：

1.读清题意，确定是排列还是组合.此时应该注意的地方是：选出的元素是否有各自不同的顺序或者

位置.

2.与排列数不同，组合数有较多的性质（剩余性质和连加性质），与以前或以后的很多知识点都有密切

的联系，就引起特别注意。

3.注意组合中的关键字：“恰好”、“至多”、“至少”、“既有…又有…”.

4.“多面手”问题：分类讨论，分类的依据应该是看多面手分到两边中其中一边的人数.

5.几何问题：考虑（1）所给点的特点；（2）所构成图形的要求.

I高考最新热门题

1（典型例题）直角坐标xOy平面上，平行直线x=n（n=0,1,2,…,5）与平行直线y=n（n=0,1,2,…，5）

组成的图形中，矩形共有

A.25个B.36个C.100个D.225个

命题目的与解题技巧：①考杳排列组合的计算问题，以及分析问题、解决问题的能力.②解决计数问题

的关键是选择计数的出发点，即“完成一个事件”的策略是什么？本题“完成矩形”的构造，考虑的着眼点

是矩形是由四条边构成，这四条边从何而来.

［解析］矩形是从平行直线x=n（n=0,1,2,5）中选择两条，作为一组对边.再从平行直线y=n（n=l,0,

1,2,…，5）中选择两条，作为另一组对边形成的.每•种选择方案确定一个不同的矩形，故矩形共有

Cl-Cl=225个.

［答案］D

2（典型例题）在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是

A.B.

CGoo-C94D,A10O—Ag4

答案：C指导：任取3件产品有C130G种方法，其中无次品有种方法，故至少有1件次品的方法数为

C100一圆.

3（典型例题）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不

同的选法共有

A.140种B.120种C35种D.34利，

答案：D指导：既有女生又有男生，可以分类表示，三男一女有C|・C；种选法，二男二女有C：或种,

一男三女有C1・以种

选法，则总的不同的选法有煜•C；+煽•或+以•Cj=34（种）

4（2002•北京）［理］12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配

方案共有

A.种B.3种C.种D.种

答案：A指导：先分配4个人到第一个路口，再分配4个人到第二个路口，最后分配4个人到第三个路

口.

n题点经典类型题

1（典型例题）从4名男生和5名女生中任意选出3人参加一个会议，其中至少有1名男生和一名女生，则

不同的选派方案有

A.140种B.84种C.70种D.35种

命题目的与解题技巧：①考查组合问题.②合理使用加法原理.

［解析］若选两女•男，则有•种方法，若选两男一女，则有C•种方法，故共有C•+种.

［答案］C

2（典型例题三校）高三年级有文科、理科共9个备课组，每个备课组的人数不少于4个，现从这9个备课组

中抽出12人，每个备课组至少1人，组成“年级核心组”商议年级的有关事宜，则不同的抽调方案共有

A.129种B.148种C.165种D.585种

答案：C指导：本小题可看成将12个人排成一排，插入8块板，分成9部分.有C；|=C4=165种.

3（典型例题）一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的

3个，则考生答题的不同选法的种数是

A.40B.74C.84D.200

答案：B指导：若前5题中包含3个，则共有种，若前5题中包含4个，则共有种，若前5题中包含5

个，则共有可C：

种，,不同的选法种数为C?•或+C?•或+C汴以=74种.

4（典型例题）将1,2,3,9这9个数填在如图35—2—1中的9个空格中，要求每一行从左到右，每一

列从上到下依次增大，当3、4固定在图中位置时，所填写空格的方法有

A.6B.12C.18D.24

答案：A指导：由题意知数字1,2,9的位置也是固定的，如图：5,6,7,8四个数字在A、B、C、D

四个位置上，A、B位置上的填法或，C、D位置上的填法或，共有C：・C>6种，故选A

m新高考命题探究

1将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有

A.252种B.112种C.70种D.56种

答案：B指导：由题知，总分配方法有：C^CI+=112ft.故选B

2圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是

A.1B.短A；c.D.

答案：D指导：圆周上任意四个点的交叉连线交点均在圆内且惟一，故只需确定这样四点的种数.由这

四点选法有，故在圆内交点个数为C*,所以选n

T

3设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为T,由一的值为•

S

答案：々指导：［=-5—转——io=-^

128S或+或+…+瑞128

考场

热身探究性命题综合测试

1一架间谍飞机侵入我领空，空军某部奉命派出三架战机跟踪拦截，作战部要求我战机分别位于敌机的左

右两翼和后方成三角之势夹击敌机，这样，我三架战机的不同排列方式有（）种

A.3B.6C.9D.12

答案：B指导：即三架飞机三种不同占位，故A9=6（种）

2要排出一张6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两舞蹈节目不得相邻，不同的排法共有（）

种

A.A：；B.C.D.•得

答案：D指导：先排6个歌唱节目有种排法，这6个节目有7个空隙（首尾各一个，中间5个），在这七

个空隙中将4个舞蹈节目插入有种插法，由分步计数原理，共有就用种方法.

3现从某校5名学生中选出4人参加数学、物理、化学三个课外活动小组，要求每个小组至少有•人参加，

且每人只参加一个活动小组，则不同的参加方案种数是

A.180B.120C.60D.30

答案：A指导乙从5名学生中选4人有种选法，然后4人分成3组参加数理化三个课外活动小组，有

•鸟种，则共有堞•或•储=180（种）选A

4某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张不同花色的A,有5次出牌的机会，每次只能出

一种点数的牌，但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？

答案：另+屑+溜+宿川+A：+C>Ag=860种指导：出牌的方法可分为以下几类：①5张牌全部分开出，

有另种方法；欧张2—■起出，3张A分开出，有Aj种方法；③2张2--起出，3张A分开出，有川种方

法；④2张2••起出，3张A分两次出，有C色•另种方法：⑤2张2分开出，3张A一起出，有四种方法;

⑥2张2分开出，3张A分两次出，有C色另种方法，因此共有不同的出牌方法

5已知y=f（x）是定义域为A={xllWxW7,x^N},值域为B={0,1}的函数

（D试问这样的函数f（x）共有多少个？

（2）若对于定义域中的4个不同元素，对应的函数值都是1,那么这样的函数共有多少个？

答案：（1）函数是非空数集到非空数集上的一个映射，根据映射的定义，只要对集合A中的7个元素在9

中都有唯一的元素与之对应即可，根据分步计数原理，共有2X2X2X…X2=27=128个，又0或1没有原

象的映射各有一个，故这样的函数f（x）共有1282=126个.

（2）因为定义域中的4个元素对应于值域中的1,那么其余3个元素都对应值域中的0,故这样的函数f（x）

有援=35（个）.

第三十六讲

二项式定理

最对本部分内容的考杳呈现以卜特点：

新1.二项式定理是高中数学中的重点内容，也是高考中每年必考的内容.

命2.考杳内容：（1）二项展开式；（2）：项展开式的通项公式；（3）二项式系数、二项式系数和；（4）

题展开式系数、系数和.

特预计：20%年高考可能有题目涉及，出现在选择填空中的可能性较大.

点

应1.二项展开式的通项公式容易出错.第r十1项的二次式系数为.

试2.二项式系数、系数的区别与使用是本部分的难点内容，也是高考中丢分的关键因素之一.

高

分

瓶

颈

命题点1通项公式

命题点2二项展开式的系数与系数和

命题点1通项公式本类考题解答锦囊

解答“通项公式”一类试题要注意以下几方面：

1.熟悉通项公式

2.在二项式的题目中出现“项”的问题（如常数项、含x的项、含的项、有理项等），通常都要用通项公

式.

3.用通项公式解题，通常是解方程的问题，要注意方程的选取.

I高考最新热门题

1（典型例题）工一十展开式中x'的系数为.

命题目的与解题技巧：①本小题主要考查二项式定理、指定项系数等基本知识.②利用好二项展开式的

通项公式Tr使问题简化.

［解析］=C；x8-r（一十）'=3

3

令8-----r=5得r=2.

2

，展开式中X，的系数为Cl=28.

［答案］28

2（典型例题）若（1-2*）,展开式的第3项为288,则lim（'+—1+•♦•+—L）的值是

“T8Xxxn

12

A.2B.1C.—D.-

25

答案：A指导：（a+b）”展开式中第r+1项为

,+1=C；由此知288=可・（-2*）2解之：x=g则数列｛4｝是公比为,的等比数列

33

aQ

3（典型例题）已知（x-一尸展开式中常数项为1120,其中实数。是常数，则展开式中各项系数的和是

X

A.28B.3sC.1或*D.1或2刊

答案C指导设第r+1项为常数项则有

,+1=禺•x'-r•（-幺）,=C4.（-a）r.88-2「当『=48寸,7；+］为常数项

X

即：C^（-a）4=1120解:a=±2当。=-2时6+工9展开式中各项系数和（1+29

X

当a=2时，（x-$8展开式中各项系数和为（］-令8=।

3」

4（典型例题）已知（X*+X^）”的展开式中各项系数的和是128,则展开式中/的系数是.（以数字

作答）

答案：35指导：各项系数和为

31

2",则2"=128,"=7,7_］=C；・（x5）i・（x野,令生业=5,r=3.C；=、=35.

6

n题点经典类型题

1（典型例题）已知（一!^+56）”的二项展开式的第六项是常数项，那么n的值是

30Vx

A.32B.33C.34D.35

命题目的与解题技巧：①考查二项式定理.②灵活使用通项.

5

［解析］T6=C：•（—^）"-•（我）5=C：—T"'

30y1x

:.--------（H—5）+1—0.n—35.

30

二故选D.

［答案］D

2（典型例题）（（+—I）”的展开式中，第6项系数最大，则不含x的项为

x~

A.210B.10C.462D.252

答案：A指导：第六项系数即为第六项的二项式系统。

n=10.0+1=%•（小严-r•（」），=2r令30_3r-2r=0,r=6,;.C；。==210

X2

3（典型例题）设f（x）=l+x+（l+x）2+…+（l+x）n的展开式中x项的系数和为Tn,则

111

A.-B.-C.-D.1

842

答案：c指导：?;,=1+cl+c1+...c\=oo-^―=

22

4（典型例题）已知（xVx--）6的展开式的第五项等于—,则lim（x'+x2+…+x"）等于

x2“T8

A.0B.1C.2D.3

3

464-1-1-1

答案：B指导：T5=C^-x-'）.（x2）-=15A=x=1=2

1

illi2(1-1)[

Jim/-I,-2-3,,-吟_lim/1,1.1,1\_lim2”」im〃1\_i

•+X+%+.…+X)f(万+齐+了■+…+歹-〃foo-------j-—〃foU一b-1

1----

2

5(典型例题)若(x2+)n的展开式中，只有第四项的系数最大，那么这个展开式中的常数项是一

答案：20指导：由题知n=6,.♦.常数项为出=20

6（典型例题）若（«--，）”的展开式中的第5项为常数项，则n=

n-44

8指导:4=cM(4)1・(2)4=C：•24•JC~•x~2

.•.第5项为常数项.,^+(-i)=0,.-.n=8.

m新高考命题探究

1在(l+x)3+(l+x)4+…+(l+x)典型例题式中x3的系数等于

A・02004B.。2005。2c2004D.2c鼻期

B指导：x的系数等于C热++C?+...+C?Q（）4=cj++C?+....+cgo（）4=C,0（）5故选8

2在（x，3x+2厂展开式中x的系数为

A.160B.240C.360D.800

答案：B零指导：由题知x的系数为Cg（3x）・（4・24=240・x

命题点2二项展开式的系数与系数和

本类考题解答锦囊

解答“：项展开式的系数与系数和”一类试题要注意：

1.区分二项式系数与系数的区别与联系，不要将两者混为一谈.

2.:项式系数和与系数和：：项式系数和式是结论性的，记住结论即可.系数和的求法是“赋值法”,

针对不同的问题赋不同的值，通常是“1,-1,0”.

3.注意系数和与二项式系数和中的“全和”与“半和”.

I高考最新热门题

!，w2,

1（典型例题）若（1—2x）"'*+aix+a2x+"+a（VMH"（XGR）,则（a,十a）+（a,+a2）+（ju+a：,）+…+（a,十a则皿

_.（用数字作答）

命题目的与解题技巧：①本小题主要考杳二项式定理的基本知识，以及赋值法等基本方法.②观察式子

特点，寻找x赋值为多少时使已知所得等式更接近所求，从而使问题迎刃而解.

［解析］令x=0,得ao=l；

令x=l,得l=a«+ai+a2+…+a极.故（ao+a）+（ao+aj+（ao+as）+…+（ao+a眄蛹域OO3+ao+ai+a2+…+a"

里的a04.

c2+c2+C2+---+C2

［答案］典型例题（典型例题）limT————7---------------卜=

11

A.3B.-C.—D.6

36

答案：B指导：原式=|：二8C〃+l_lim3x2

〃(2+3+...+〃)+3

•2

3（2002・上海）在二项式（1+3*）和（2*+5）的展开式中，各项系数之和分别记为an、bn,n是正整数,则

..an-2b

lim-------乙n

〃T83〃“-4b”

答案：g指导：由二项式定理得：%=4"乃=7":.lim%-2瓦_l..im4，〃一42,・/7〃_lrim7__________]1

・"T8=〃T8-7Til4~A=彳

3a“-4%3・4"-4・7”3.(-)"-42

4(典型例题)若(x+2)"=x"+…+ax'++bx2+cx+2"(neN,且n>3),且a:b=3:2,贝"n=.

答案：指导：(x+2)"=C^xn+C\xn+C>n_1x21+...+C^-3x3x2n-3+C^-2x2+C；-1?x2"-1+C；x2n,

故a—a*瑞%o嗤7+―/…u

n题点经典类型题

1（典型例题）若（nWN+）,且（2—x）n=aO+alx+a2x2+***+anXn,则a0-al+a2-…+（T）nan等于

A.81B.27

C.243D.729

命题目的与解题技巧：①考查二次式定理②灵活运用“半和”公式③合理使用“赋值法”

［解析］由题知2n+6=n+2,/.n=-4（舍）或2n十6n+2=20An=4.

此时令x=-1,@厂为+&-&3+・・・（T）"a=3'=81.

［答案］A

2(典型例题)已知=an+axi+…+an(其中m、n£Z,且0Wm<n).若f(x)=

i=m

f(-l)'C；(3-x)i=//则;fai=

1=0»=0/=1

A.0

B.-2

C.(-l)n

D.n为偶数时为0,n为奇数时为-2

答案：D指导：由题知，只需令x=I则

n„ft

Z«,=S(-1),C；,(3-D，=£C；(-2)i=C^(-2)°=C：(-W+.£(-2)”=(1-2)”=(~l)n

i=0，=i=0

=（-l）n-«o=（T）"T二当"为奇数时,Z。,-=当n为偶数时,=°，

1=0i=li=l

3（典型例题）若n是奇数，则7"++C：7"T+G；7"-2+...+。：［7被9除的余数是

A.0B.2C.7D.8

答案：C指导：原式

=C忏+c[•7〃T+•7+Cj-1.=(7+1)W-1=8M-1=(9-1)M-1=C之一1)°9〃+(-1)1+1....+C；；(-l)w-1.

•・・n为奇数，故侨余数为7。

4(典型例题)若(2—x)lo=ao+aix+a2x2+,,,aiox10,

PHI1ogzao+1og2ai+1og45=______.

答案：12指导，；log2«o+log2a8-log245=log22i°+log2GQ22-log245=10+2+log245-log245=12

m新高考命题探究

1在(l+x)”(n为正整数)的二项展开式中，奇数项的和为A,偶数项的和为B,则(1-xT的值为

A.0B.AB

C.A2-B2D.A'+B"

答案：C指导：由题知(l-x)n=A-B(l-x)n=A+B:.(l-x2)n=(l-x)"(l+x)"-(A-B)(A+B)=A2-B2

2多项式(1—2x)12+x)中含x，的系数是

A.120B.—100

C.100D.—120

答案：D指导：因为(l-2x)5(2+x)的展开式4的系数或(-2户2+或(-2)2=-120.

考场

热身探究性命题综合测试

1当ndN“且n22时，1+2+2。+…+2"'=5p+q(其中p、q为非负整数，且0Wq<5),则q的值为

A.0B.1

C.3D.与n有关

答案：A指导：由于1+2+22+...+24"=2而7=24"-1.•.问题转化为求*7被5除的余数。

,/24"-1=16"-1=(1+15)"-1=C,1,*15+C,2•152