高等数学公式+知识点

仅含高数公式（不含线性代数和smx.2M_l-2X2du

cosxMdx=

…5,1+zJ

概率统计）1+,1+M'

一些初等函数

高等数学公式［全］两个重要极限：

导数公式：

基本积分表：

1

(tgx)r=sec2x(arcsinx)'=

7i-x2

(ctgx\=-esc2x三角函数公式:

fi_­诱导公式：

(arccosx)=2

(secx)'=secx・fgx-Ti-x数

(cscx)r=-cscx-cZgx角sincostgCtg

xx(arctgxS=------7-a-sinacosa-ctga

(ay-a\na1+x-tga

90°-acosasinactgatga

(log,,X)'=(arcctgx)=-------900+acosa-sina-ctga-tga

xlnal+x180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

三角函数的有理式积分：270°-a-cosa-sinactgatga

^tgxdx=-ln|cosx|+Cdxjsec2xdx=tgx+C

cos2x

^ctgxdx=ln|sinx|+C

dx

jsecxdx=ln|secx+tgx\+Csin2x

Jsecx•tgxdx=secx+C

jcscxdx=ln|cscx-cfgx|+C

jcscx•ctgxdx=-escx+C

［axdx=-^—+C

J\na

shxdx=chx+C

chxdx=shx+C

=-ln(x+-\lx2±a2)+C

a2

nn

22

jsin"xdx=Jcos"xdx

Eln-2

00n

2_________

^x2+a2dx=3J/+〃2+—ln(x+Xx2+〃，)+C

2

__________________2

4x2-a2+C

ex-e~xsinx,

双曲正弦：22加m——L#1万

—x+F=>(arc、in—FC

2a

双曲余弦:Mx=史上

lim(l+-y=e=2.718281828459045...

2XT8X

shxex-e~x

双曲正切：比X

chxex+e~x

arshx=ln(x+Vx2+1)

archx=±ln(x+7x2-1)

,1.1+x

arthx=—In------

2l-x

270°+a-cosasina-ctga-tga

3600-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

•和差角公式：•和

.।.Ao.a+Ba-0

sin(a±J3)=sinacos0±cosasin0sina+sin力=2sin-cos—

cos(a±尸)=cosacos干sinasin0

••oca+夕.a-(3

sina-sin夕=2cos---sin---

tg(a±p)「ga土tgB

mga.tg0cca+/?cc—B

cosa+cosp=2cos-----cos.......-

ctg(a±B)=J22

ctgp+ctgang.a+B.a—(3

cosa-cosp=2sin-sin-

差化积公式：

•倍角公式:

sin2a=2sinacosa

cos2a=2cos2a-1=l-2sin2a=cos26/-sin2asin3a=3sina-4sin3a

1

ctg2^a-\cos3a=4cos3a-3cosa

ctgla-

2ctga3tga-t£a

8l-3fg2a

2tga

tg2a=

Ig2a

…*b-a平面的方程：

•半角公式^________矩形法—催二(”唯族对蚣-x0)+%f)+C(z-z0)=

.a,/1-cosaaa/1+cos6z

sin—=±J-------c°s邛一赤x]2、般方程：Ax+By+Cz+D-0

2V2梯形法:[也340。+以)+x+••才y,加z

a,/1-coscr1-cosasinaa：/1+cosc/214dbs：—+—+—=1

tg—=±J-------=--------==-1-+-0-0---ctg-=±K------=--------=-------ahc

2vl+cos6zsina^抛身线冲A潴叱阴累承褊陵温显嬴花喀

­正弦定理："〃

，=±=-=2R•余弦定理：定积分应用相关公式：

sinAsinBsinC功：卬=八5空间直线的方程:三包=匕滋=三包=小

222

c=a+h-labcosC水压力：F=pAmnp

mm

•反三角函数性质：引力：F=kx1水为引灯案蜥:

2~

717Cr222

arcsinx=---arccosxarctgx----arcctgx出椭球面:=+=+==1

21

函数的平均值3\f（x）dxa-bc

b-aJ22

“2、抛物面:二+”yZ,（p,q同号）

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：2q

均方根:"⑴出3、双曲面：。

（〃»"）=XC"T）产

4=0x2

:―+

=/%+n〃("T)M+Q〃_Daf"+…+cr4-4=1

2!空触点的距离：公|〃妫___品___赢石叵贮些驾温轴前）2

中值定理与导数应用：向量在轴上的投影:Pr/"43=,如co。,述A蚂〃轴的夹角。

拉格朗日中值定理：%,_、_DD'

…—'=于''一(小"VJa'+?先函数微分法及应用,,

柯西中值定理:a^b=\a\-\b\cosO=ab+ab+a力一,是豆个数毒，

F(b)-F⑷-F皤)1111xx全微分「刈=包公+”力du=^dx

当F（x）=工时，柯西中值定理就是拉格朗日懒艇间的夹角:cos”弛叩占dx

全,弹邺甲力算脏帝行用X'>1）Ar+/

曲率：多元算合总数的求导就

弧微分公式:dx,其中V=rga_ijk

Aa:从M点到M，点，切线c斜=率ax的b倾物变.量a膜性；

ba%%

平均曲率:K

△s&_&dudzc

Z加%），蜜,吆

dadxdudxdvc

M点的曲率：K=lim

As->°AsdsJ（l+y，2）向量的混合积:［而口=（立场）数。必），"=叫可耐斗同cosa,a为锐/

,dudaa.,4=包dx+包办

直线：K=0;du=—axA---ydy

代表平行六面体的体积。小办,dxdy

半径为a的圆：K=-.

a隐函数的求导公式:

d2y

dy_=_

定积分的近似计算:隐函数b(x,y)=O,---,

dxF,~dx^'

&_%dz_

隐函数尸(x,y,z)=O,

dx办

J""，%%1"%后JJ/(rco第产^^陶积分(对坐标的曲线积分)：

DD'

F(x,y,w,v)=0a(r,G)立河)

隐函数方程组:dudv«阚L的参数早程发、2,则:

t)

G(x,y,w,v)=03(脚面:强x,锥扇粗4,注,1+勺+

dudv

羽1G/(]曲陷M叱

3V()

一R-aRG

一--

rV\

axj5e(75X5(w,x)

包M平面薄片的重心：元=间的穴:胡

1Ga-v

乃

办13(F,G)

一

一-J-as(\L

F乂,V

7二二一.」量的方向舜2号

平面薄片的转动惯量:打「对于y轴/v=

微分法在几何上的应用：格林公式:JR--------)dxdy=cfPdx+Qdy^力

x=(p(t)平面薄片(位于xoy平面)对z轴上加晨加(翊,。),3>6)的引力：F=

空间曲线，⑴在点，，)处的切线内.蜀席红

y=“M(xoyozoj2时,啰岬

九占八“上;OY右护，(…、小/产》、•歆面上曲线表冢于礴主燕的条件:

在点M处的法平面方程:夕«0)(了一%)+^«0)(>-%)+。&)仁一70)=0八八斗、-—一

柱面带标和涉再浮标方1、G星一个单连通区域；

F(x,y,z)=0，则切向量了={'仔』屋7F.£

若空间曲线方程为:二Feos®

羽诂,〜&，G2、Q(x,y)在G肉M臬I有一阶连续偏导

G(x,y,z)=0柱由G坐标।

'y=r沁siinn0江,'JJj/(x,y,z)dxdydz=^一F{r,0,z)rdrdOdz,

曲面F(x,y,z)=0上一点"(Xo，yo，Zo)，则:z=%减去对此奇点的积分，注意方向相反！

1、过此点的法向量：元={工(x°,,z°),尸,(x呗押fo祐,(aj包/“co6兵兵福粪狮全微分求积:

、

2过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,他马咐万斌在堂坦空毗”瓦以0%才是二元函数”(x,

in。，°”=rd(p-rsing)■d0-dr=r1sin(pdrd<

3、过此点的法线方程:一匚三)F求而坐标:

方向导数与梯声.K(Xo，y()，Zo)4。0，孔，20)(“‘』网族9”(x,y)=jp(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常设餐;

•5，、0)2"Kr(。，。)

函数z=/(x,y)在一点p(x,y)沿任・•方向/的姗爆黝矫通虫驾瞅叫i版sinMd\do\dcp)>(",/

ndldxn曲分：ooo

其中*为X轴到方向/的转角。重心：x=《川加匕对螭卿触分:JJ如,#理

函数Z=/(x,y)在一点p(x,y)的梯度:gr@(蝌忌:+而」JJJ(一

)，+对懈的曲岬分娜同成后2》闲心+。(乂4

它与方向导数的关系是:日Q_eg

其中。

=grad/(x,y)-e,=cos(p-i+sin°・侬弱那=±耶口,乂z(x,y)]dxdy,取

曲线积分：

单位向量。D

.第.一..类..曲..线..积..分..(.对..弧修专的电一曲.线..积..分)：：f

仍Pg一,”二忤'曲

g是grac|/'(x,y)在/上的投影。'[x(y,z),y,z]dydz>取I

设/'(x,y)在L上连续，L的参数为•程虹・

dl,J4土乃：《节,(aVfVp),则:

^Q[x,y,z)dzdx=y(z,x),z]dzdx,取

多元函数的极值及其求法：P

媪辅出白的华君,办收特殊+Q情d况zdx:

设。(%0，为)=/、(%0，%)=0，令：九(x。，%)

A<O,(Xo，y())为极大值

AC—小>0时”

人>0,(/,)，0)为极小值高斯公式:

则乂AC-B2<0时,无极值

AC-B2=0时，不确定

重积分及其应用:

gffr5rP京dQ+”dR.,=(^Pdydz+Qdzdx露感密四可(总般。牛3col%+M??cos夕绿…5"">0)的修法a-

zcosx=-------

z如果交错级皴满足您箍啷玄嚎数收敛且国2

Ds<W]泼氮颠“白

高斯公式的物理意义——通量与散度:

、〃一>8sinx=

2

H+詈+指=即：单位傕翻版骏懿年检靠体质碗吸iv丘<0,则为消失…

散度：div丘

妈)和手电为熊h(“砌+。”)++£(a“cc

通量:JJZ•nds=JA,如=JPcosa+Qc稀解第部s.,.：乙〃=1

领好)收敛，则⑴肯定收'班;L.一」峨懿,，"=a,c°s°

因此，高斯公式又可写成:“div,办=

I口巢⑵发散，而⑴收敛辱!(力;躲祥酱邈籁Xcos2x---sinnx,cos

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:=0o

小加dQ竹dz+(空-空W/X+律-”嬲皙方敛;

不一法dzdxdxdy8

级):〉]与收敛;/(X)/+

Z(。〃cosnx+bnsin〃x),周期=2

dydzdzdxdxdycosacos~pn~cosyn=l

ddddid/p41时率散1K

上式左端又可写成:以P级钻兀

(x)cosnxdx(n=0,1,2-)

办dzz\。〉1时”:儆=*

PQRPQR其中，-71

空间曲线积分与路径无关的条件管噜警.bn=—j/(x)simtxJx("=1,2,3…)

N<1趾"收警于七

\+x+x2+xJ+---+x"+■■■

;;V算时「发标111

»+三+不+“

旋度：rob4=

对于级数(3)劭+/x+a捷士::.•,=螂岩丕建军在原电懒

掠R时■遍\22324?

向量场X沿有向闭曲线r的环流量qPdx+Qd|觥任=7I

则必存福弦图卜同周0发瞰尸知礴沟收敛半4

卜卜R时不定

常数项级数:2万

余弦级数：b„=0,a一［/(x)cosnxJx

等比数歹U：l+q+q2+…+/i=1^1n

1-4

等差数列J+2+3+…+〃=如业求收敛半径的方法：设仲调崛I数?的傅曲系数，则，

2

调和级数：i+L+L…+!是发散的

23n

级数审敛法：函数展开成幕级数：

1、正项级数的审敛法——根植审敛法,柯留&&舜施暴勒级数：〃x)=/(x°)(x-x0)+岩R(x-x0)2+.••+£

0<1时，级数收敛

(”+i)O

设：P=lim疯则P>1时，级数发散

〃一>00余项：R,(x-x0)"Mj(x)可以展开成泰勒级数的充要条件

2=1时,不确定(/?+!)!

2、比值审敛法:%=0时即为麦克劳林公式：/(x)=/(0)+/(0)x+4"f+…

2!)

.<1时,级数收敛

设：夕=!吧》，贝|“夕〉1时,级数发散一些函数展开成幕级数:

n"+蛔”(，"1>-(时〃+1』+...

夕=1时，不确定(1+x)'"22+..

2!n!

3、定义法:

/J/'I

…+"也S”存在，则收敛；否峥松一三+4一+㈠尸而k…S<X<+8)

欧拉公式:

一对版分相

it)Lyv-jLUSJJJv1ujl11

/(X)=(a„cos--+b„sin-周/^=21A八、

2〃=]11(/?--4q<0)公式1.

r}=a+i。,r2=a-i

J7(x)cos竿dx(〃=0,12

JPR弧二

其中-；a=p=-----

22

b„=-f/(x)sin华dx(n=1,2,3--)

二阶常系数非齐次线性微

分方程

微分方程的相关概念：y"+py'+c]y=f(x),为常数

--阶微分方程：y'-f(x,y)或P(x,y)dx+超色第&)型，

可分离变量的微分方程：一阶微分方程可。7V=/(x)dx的葩式，解法品।

八？一[£(xjcos5+?,(x)sin(yx]型

Jg(y)dy=J/(x)dx得：G(y)=7?(x)+C称为隐式通解。_

齐次方程：一阶微分方程可以写成包=/(x,y)=°(x,y),即写成上的函数，解法：

dxx

设〃=?,则生=〃+X也，〃+也=火〃),.•.如=_^—分离变量；1只券后将工代替〃,

XdXdXdXX

即得齐次方程通解。局等数字知

一阶线性微分方程：识点

1、一阶线性微分方程:虫+P(x)y=Q(x)

dx——

/当。(x)=0时,为齐次方程,y=Ce乎""

1当0(x)wO时，为非齐次方程，y=(jQ(x)J*")"dx+C)e-J'(""一一

2、贝努力方程:包+P(x)y=Q(x)y",(〃wO，D「函数的概念

dx1.用变上、下限积分

全微分方程：_表示的函数

如果尸(x,y)dx+Q{x,y)dy=0中左端是某函数的全微分方程,即：

du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,其中:粤=P(x,y),粤=Q(x,y)

：.u(x,y)=C应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程:

d2y+P(x)半/(x)三0时为齐次

+Q(x)y=/(x%

dx2axy(x)xo时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)y"+py'+qy=0,其中p,q为常数;

求解步骤：

1、写出特征方程：。)产+〃厂+夕=0,其中厂的系数及常数项恰好是(*)式中的系数;

2、求出(△)式的两个根外,4

3、根据KG的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

Tr2的形式(*)式的通解

两个不相等实根riXriX

y=c{e-\-c2e

(p2-4<7>0)

两个相等实根rx

y=(q+c2x)e'

(p2-4q=0)

s，n

Xlim=1

A0x

⑴y=J0K皿，其中/()连续，则力=/()u

+1

叩()dx

公式2.lim1〃e■,lim1u

8“—8

y=)()

1

2fdt,其中(p,(),q);()可导，/()

(+i)=e

lim1

连续，D

则?=/◎()]<P/()4.用无穷小重要性质和等价无穷小代换

dx,5.用泰勒公式(比用等价无穷小更深刻)(数学一和

2.两个无穷小的比较数学二)

f()

设lim/()=0,limg()=0,且，xN)

lim

当时，+0

g”x—>0e*=1+x++A+

2!n\

(1)/=0,称/()是比g()高阶的无穷小，记以35

()()x~”+i+()()〃+i

2〃+l!

()o[g(,称g()是比/()低阶的无穷sinx=x-'++A+

/=)]5；()()x，"+0()"

小。COSX1XXIn!

(2)/#0，称/()与g()是同阶无穷小。=一+-A+

2!4!3““()

2

()XxA(yx

(3)1=1,称/•()与g()是等价无穷小，记以mi+x=X—+-+11H+0

23

/(…()35

X

3.常见的等价无穷小arctanx=x-+

3

当x一0时

()xaaa()1Aa()lA[az()

=1+x+一()1]

〜冗〜〜

sinx-x,tanxx,arcsinx,arctanxx2!X2++!+0

n

*e'—l〜xln(l+x)~冗,

1-cosx~x,6.洛必达法则

2

lim/()=0,limg()=0

(1+X)a-1~

ax

法则1.(0型)设(1)

二.求极限的方法

若为正整数)又(〃为

1.利用极限的四则运算和基指数运算法则(1)xn+\<xn(nx>m

2.两个准则正

准则1.单调有界数列极限一定存在

整数），贝ijlimx„=A存在，且A>m（2）x变化过程中，尸（），g'（）皆存在

广（）

（3）lim/（YA（或oo）

/（）

则limg（）A（或oo）

（n为止（注：如果lim'S,不存在且不是无穷大量情形，则

（2）若x,.+i>x„（n为正整数）又x<M

整数），lim=A<M

则

存在，且

不能得出不存在且不是无穷大量情形）

lim

准则2.(夹逼定理)设g()W/()()xgQ

若limg()=A,lim/z()=A,贝ijlim/()=Alim/（）=oo,limg（）=oo

法则2.（g型）设（1）

3.两个重要公式

（2）x变化过程中，尸（），g'（）皆存在

1Editedby杨凯钧2005年10月

考研数学知识点-高等数学

尸()值，如果对于区间"b上的任一点x，总有/()<

(3)limj()A(或oo)M,

/()

则称M为函数/()在1%上的最大值。同样可以定义最

则lim])A(或oo)

小值mo

7.利用导数定义求极限

定理3.(介值定理)如果函数/()在闭区间"b上