黑龙江省哈尔滨市龙江中学高三数学文上学期期末试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市龙江中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数满足，当时，，则在上零点的个数为()A．1005

B．1006

C．2011

D．2012参考答案：Ｂ2.设随机变量的分布列为（=0，1），则，的值分别是（

）A．0和1

B．和

C．和

D．和·参考答案：D3.以下是某样本数据，则该样本的中位数、极差分别是（）数据31，12，22，15，20，45，47，32，34，23，28A．23、32 B．34、35 C．28、32 D．28、35参考答案：D【考点】BC：极差、方差与标准差；BB：众数、中位数、平均数．【分析】将数据从小到大按顺序排成一列，结合中位线和极差的定义进行求解即可．【解答】解：将数据从小到大按顺序排成一列为12，15，20，22，23，28，31，32，34，45，47，共11个数据，则中位数为第6个数28，最大值为47，最小值为12，则极差47﹣12=35，故选：D．4.若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式正确的个数是（）①＜

②a2＞b2

③ac4＞bc4

④＞．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】不等式的基本性质．【分析】利用不等式的性质，对4个结论分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①a=1，b=﹣1，＜不成立；②a=1，b=﹣1，a2＞b2不成立；③c=0，ac4＞bc4不成立；④由于c2+1＞0，a＞b，所以＞成立．故选：A．5.如图1，设P为△ABC内一点，且，则△ABP的面积与△ABC的面积之比为(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A6.集合,,则(

)A.{1,2}

B.{0,1,2}

C.{x|0≤x＜3}

D.{x|0≤x≤3}参考答案：B7.已知全集U=R，集合M={x│x2-4≤0}，则CuM=（

）A.{x│-2<x<2}

B.{x│-2≤x≤2}

C.{x│x＜-2或x>2}

D.{x│x≤-2或x≥2}

参考答案：C8.设函数的定义域为，，对于任意的，，则不等式的解集为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B9.已知数列，则是它的第(

)项．A．19 B．20 C．21 D．22参考答案：C【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】计算题．【分析】根据数列的前几项找规律，归纳出数列的通项公式，再令an=，解方程即可【解答】解：数列，中的各项可变形为：，，，，，…，∴通项公式为an==，令=，得，n=21故选C【点评】本题考察了观察法求数列的通项公式，以及利用通项公式计算数列的项的方法．10.若平面向量与向量的夹角是，且，则(

)A

B

C

D

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知幂函数在上是增函数，则

。参考答案：-1试题分析：根据幂函数的定义和性质，得；，解得m=-1．故答案为：-1．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．12.已知x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为

．参考答案：﹣4考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解答： 解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A（0，2）时，直线y=的截距最大，此时z最小，∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．13.已知四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD垂直于平面ABCD，在△PAD中，PA=PD=2，∠APD=120°，AB=4，则球O的表面积等于．参考答案：32π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】求出△PAD所在圆的半径，利用勾股定理求出球O的半径R，即可求出球O的表面积．【解答】解：令△PAD所在圆的圆心为O1，则因为PA=PD=2，∠APD=120°，所以AD=2，所以圆O1的半径r==2，因为平面PAD⊥底面ABCD，所以OO1=AB=2，所以球O的半径R=2，所以球O的表面积=4πR2=32π．故答案为32π．【点评】本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，求出球O的半径是关键，比较基础．14.方程的解

．参考答案：15.给出下列命题：①若函数的一个对称中心是，则的值等;②函数；③若函数的图象向左平移个单位后得到的图象与原图像关于直线对称，则的最小值是；④已知函数，若

对任意恒成立，则：其中正确结论的序号是

参考答案：①③④16.若复数满足为虚数单位，则在复平面内所对应的图形的面积为＿参考答案：17.设等差数列的前项和为，若，则的值为

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，a为实数.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）设是函数f(x)的导函数，若对任意恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：（1）答案不唯一，见解析（2）【分析】（1）函数求导后，分三种情况讨论，结合导函数的正负可求出函数的单调区间（2）根据不等式恒成立，分离参数可得，时恒成立，分别求出左边的最大值与右边的最小值即可.【详解】（1）函数的定义域是..（i）当时，令，得；令，得或，所以函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增；（ii）当时，对任意恒成立，且不恒为0，所以函数在上单调递增；（iii）当时，令，得；令，得或，所以函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增.（2）等价于，得，得，因为，所以.所以不等式两边同时除以，得，即，得.所以.即对任意恒成立.设，，，则，.所以函数在区间上是增函数，在区间上是增函数.所以，.所以.所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，分类讨论的思想，属于难题.19.已知函数f（x）=ax﹣lnx，g（x）=ex+ax．（1）若a＜0．（i）试探讨函数f（x）的单调性；（ii）若函数f（x）和g（x）在区间（0，ln3）上具有相同的单调性，求实数a的取值范围；（2）设函数h（x）=x2﹣f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，），求证：h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）（i）求出函数f（x）的导数，判断导函数的符号，求出f（x）的单调区间即可；（ii）根据f（x）的单调性求出g（x）的单调性，问题转化为a＜﹣ex在（0，ln3）恒成立，求出a的范围即可；（2）由h（x）=x2﹣ax+lnx，求出h（x）的导数（x＞0），故x1x2=，由x1∈（0，），知x2∈（1，+∞），且ax1=2x12+1，由此能够证明h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2【解答】解：（1）（i）a＜0时，f′（x）=a﹣＜0，故f（x）在（0，+∞）递减；（ii）由（i）f（x）在（0，ln3）递减，故g（x）在（0，ln3）递减，故g′（x）=ex+a＜0在（0，ln3）恒成立，故a＜﹣ex在（0，ln3）恒成立，故a＜﹣3；（2）h（x）=x2﹣ax+lnx，∴h′（x）=，（x＞0）∴x1x2=，∵x1∈（0，），∴x2∈（1，+∞），且ax1=2x12+1，（i=1，2），∴h（x1）﹣h（x2）=（x12﹣ax1+lnx1）﹣（x22﹣ax2+lnx2）=（﹣x12﹣1+lnx1）﹣（﹣x22﹣1+lnx2）=x22﹣x12+ln=x22﹣﹣ln2x22，（x2＞1），设u（x）=x2﹣﹣ln2x2，x≥1，则u′（x）=≥0，∴u（x）＞u（1）=﹣ln2．即h（x1）﹣h（x2）＞﹣ln2．20.已知函数f（x）=x3﹣6x2+3x+t，（t∈R）．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若函数g（x）=exf（x）只有一个极值点，求t的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）令f′（x）=3x2﹣12x+3＜0，可求函数f（x）的单调递减区间；（2）求导函数，f′（x）=（3x2﹣12x+3）ex+（x3﹣6x2+3x+t）ex=（x3﹣3x2﹣9x+t+3）ex，函数g（x）=exf（x）有一个极值点，所以x3﹣3x2﹣9x+t+3=0有一个穿过x轴的根，即在其两边g'（x）异号，故可求t的取值范围．【解答】解：（1）令f'（x）=3x2﹣12x+3＜0，∴2﹣＜x＜2+，∴函数f（x）的单调递减区间是（2﹣，2+）；（2）g'（x）=（3x2﹣12x+3）ex+（x3﹣6x2+3x+t）ex=（x3﹣3x2﹣9x+t+3）ex∵g（x）有一个极值点，∴x3﹣3x2﹣9x+t+3=0有一个穿过x轴的根，即在其两边g'（x）异号﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令h（x）=x3﹣3x2﹣9x+t+3，则h'（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3）由h'（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3）＞0得x＜﹣1或x＞3…h（x）在区间（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）上递增，在区间（﹣1，3）上递减．∴h（﹣1）h（3）≥0∴t≤﹣8或t≥24．…21.如图，在平面直角坐标系中，点，直线,设圆的半径为，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.

参考答案：解：（1）由得圆心C为（3,2），∵圆的半径为∴圆的方程为：（1分）显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为，即∴∴∴∴或者∴所求圆C的切线方程为：或者即或者（3分）（2）解：∵圆的圆心在在直线上，所以，设圆心C为（a,2a-4）则圆的方程为：（2分）又∵∴设M为（x,y）则整理得：设为圆D（3分）∴点M应该既在圆C上又在圆D上

即圆C和圆D有交点∴（2分）解得，的取值范围为：（1分）略22.（本小题满分14分）椭圆的两个焦点为、，M是椭圆上一点，且满足（Ⅰ）求离心率e的取值范围；（Ⅱ）当离心率e取得最小值时，点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为．

①求此时椭圆G的方程；

②设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，

问：A、B两点能否关于过点、Q的直线对称？若能，求出k的取值

范围；若不能，请说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）设点M的坐标为(x,y)，则，由得，即

①又由点M在椭圆上，得，代入①得，即，即，，解得又，

（Ⅱ）①当离心率e取最小值时，椭圆方程可表示为设点H(x,y)是椭圆上的一点，则

若0<b<3，则当时，有最大值由题意知：，或，这与0<b<3矛盾.若，则当时，有最大值由题意知：，，符合题意∴所求椭圆方程为②设直线l的方程为y=kx+m代入中，得由直线l与椭圆G相交于不同的两点知