湖南省衡阳市衡东县中学2022年高二数学文测试题含解析

湖南省衡阳市衡东县中学2022年高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.不等式

对于恒成立，那么的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B2.执行如图所示的程序框图，若输入x的值为4，则输出的结果是(

)A．1 B． C． D．参考答案：C【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分类讨论；分析法；算法和程序框图．【分析】根据程序框图依次计算框图运行的x、y值，直到满足条件|y﹣x|＜1终止运行，输出y值．【解答】解：由程序框图得第一次运行y=×4﹣1=1，第二次运行x=1，y=×1﹣1=﹣，第三次运行x=﹣，y=×（﹣）﹣1=﹣，此时|y﹣x|=，满足条件|y﹣x|＜1终止运行，输出﹣．故选：C．【点评】本题是直到型循环结构的程序框图，解答的关键是读懂框图的运行流程，属于基础题．3.直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是（

）A．3

B．

C.2

D．参考答案：C圆心为，半径为，由于所截弦长为，故直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程得，即，的几何意义是原点到直线的距离的最小值的平方，故最小值为.所以选.

4.某产品计划每年成本降低q%，若四年后成本为a元，则现在的成本是……(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D5.若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：由|x|＜1得﹣1＜x＜1，则“x＜1”是“|x|＜1””的必要不充分条件，故选：B6.已知下列各式：①；

②③

④其中结果为零向量的个数为A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B略7.设，则的值分别为（） A.18，

B.36，

C.

，36

D.18，参考答案：D8.函数的单调递增区间是(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：本题即求函数y=sin（2x﹣）的减区间，令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得所求．解答： 解：由于函数=﹣sin（2x﹣），故函数的单调递增区间，即函数y=sin（2x﹣）的减区间．令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ+≤x≤kπ+，故所求的函数的单调递增区间是，故选B．点评：本题主要考查复合三角函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．9.若函数满足,且当时,,则函数与函数的图像的交点个数为（

）

A．个

B．个

C．个

D．个参考答案：C10.下列命题正确的是(

)A.

B.

C.

D.若参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是____________．参考答案：4考点：空间几何体的三视图与直观图试题解析：第4个不行，因为等边三角形的边与高不等，所以正视图和侧视图不相同。其余4个图都可以做俯视图。故答案为：412.已知等比数列{an}中，各项都是正数，且成等差数列，则

.参考答案：

13.观察下列式子：1+＜，1++＜，1+++＜，…，根据以上式子可以猜想1+++…+＜_________．参考答案：14.一个椭圆中心在原点，焦点在x轴上，是椭圆上一点，且成等差数列，则椭圆方程为

▲

．参考答案：【分析】设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），由已知结合椭圆性质及等差数列性质列出方程求出a，b，由此能求出椭圆方程．【详解】∵个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，∴设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），∵P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴，且a2=b2+c2，解得a=2，b=，c=，∴椭圆方程为．故答案为：．【点睛】本题考是椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．

15.设集合，且，在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对所表示的点中任取一个，若该点落在圆内的概率为，则满足要求的的最小值为

．参考答案：16.已知是一次函数，满足,则________。参考答案：17.已知圆经过点和，且点在直线上，则圆的方程

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设集合A=，关于x的不等式的解集为B(其中a<0)，设,,且是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.参考答案：解：（1）B=

是的必要不充分条件等价于是的必要不充分条件

即

A是B的真子集

所以

19.（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（1，），离心率e=，F1、F2为椭圆的左、右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设圆T的圆心T（0，t）在x轴上方，且圆T经过椭圆C两焦点．点P为椭圆C上的一动点，PQ与圆T相切于点Q．①当Q（﹣，﹣）时，求直线PQ的方程；②当PQ取得最大值为时，求圆T方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线和圆的方程的应用；椭圆的标准方程．【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设圆T方程为x2+（y﹣t）2=1+t2，①把Q的坐标代入圆的方程，解得t，由切线的性质，可得所求直线的斜率，进而得到PQ的方程；②设P（x0，y0）（﹣1≤y0≤1），运用勾股定理求得切线长，讨论t的范围，即可得到最大值，进而得到圆的方程．【解答】解：（1）∵e==，即a=c，∴b==c，∵椭圆C过点M（1，），∴+=1，∴a=，b=1，∴椭圆C的标准方程为+y2=1；（2）圆T半径r=，圆T方程为x2+（y﹣t）2=1+t2，∵PQ与圆T相切于点Q，∴QT⊥PQ，①把Q（﹣，﹣）代入圆T方程，解得t=，求得kQT=2，∴直线PQ的方程为y=﹣x﹣；②设P（x0，y0）（﹣1≤y0≤1），∵QT⊥PQ，∴PQ2=PT2﹣QT2=x02+（y0﹣t）2﹣（1+t2），又+y02=1，∴PQ2=﹣（y0+1）2+（1+t2），当t≥1时，且当y0=﹣1时，PQ2的最大值为2t，则2t=（）2=，解得t=（舍），当0＜t＜1时，且当y0=t时，PQ2的最大值为1+t2，则t2+1=解得t=（合）综上t=，圆T方程为x2+（y﹣）2=．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，及圆的方程的求法，注意圆的性质和勾股定理，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．20.(本小题满分14分)函数是定义域为的奇函数，且。⑴求的解析式；⑵用定义法证明在上是增函数；⑶解不等式。参考答案：⑴由，得又，得，所以…………5分⑵略……………9分⑶由得即，解得………………14分略21.（本小题满分14分）已知复数（1）当实数m为何值时，复数z为纯虚数

（2）当时，计算.参考答案：解：（1）复数

..................

4分

..................

6分即

..................

7分

（2）

..................14分

22.（本小题满分12分）已知椭圆：与抛物线：有相同焦点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知直线过椭圆的另一焦点，且与抛物线相切于第一象限的点，设平行的直线交椭圆于两点，当△面积最大时，求直线的方程．参考答案：（Ⅰ）由于抛物线的焦点为，得到，又得到．（Ⅱ）思路一：设，，

直线的方程为即且过点，切线方程为由，设直线的方程为，联立方程组由，消整理得设，，应用韦达定理得，由点到直线的距离为,应用基本不等式等号成立的条件求得思路二：，由已知可知直线的斜率必存在，设直线由消去并化简得根据直线与抛物线相切于点．得到，．根据切点在第一象限得；由∥，设直线的方程为由，消去整理得，思路同上．试题解析：（Ⅰ）抛物线的焦点为，，又椭圆方程为．

（Ⅱ）（法一）设，，

直线的方程为即且过点，切线方程为

因为，所以设直线的方程为，由，消整理得

，解得

①设，，则∴

直线的方程为，点到直线的距离为

，

由①，

（当且仅当即时，取等号）最大所以，所求直线的方程为：．

（法二），由已知可知直线的斜率必存在，设直线由

消去并化简得∵直线与抛物线相